<< Предыдущая

стр. 18
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(iii) v(p, e(p, x)) = u(? );
x
? ?
(iv) x(p, e(p, x)) = h(p, x).


Доказательство: (i) Теорема 27 показывает, что для любого x ? x(p, R) выполнено x ? h(p, x).
? ? ?
?
Отсюда, по определению функции расходов, e(p, x) = p? . В силу локальной ненасыщаемости
x
предпочтений p? = R.
x
(ii) То, что для любого x ? x(p, R) выполнено x(p, R) = h(p, x), является тривиальным
? ?
следствием пунктов (i) и (iv).
?
(iii) Пусть h ? h(p, x) при некотором x ? X . Согласно пункту (vi) Теоремы 25 при непре-
? ?
?
рывности предпочтений должно выполняться u(h) = u(? ). Кроме того, по доказанной теореме
x
? ?
двойственности h ? x(p, e(p, x)), т. е. набор h оптимален в прямой задаче при ценах p и дохо-
?
?
? ?
де e(p, x). Таким образом, по определению непрямой функции полезности v(p, e(p, x)) = u(h),
?
откуда v(p, e(p, x)) = u(? ).
x
(iv) Включение h(p, x) ? x(p, e(p, x)) доказано в теореме двойственности. Докажем обрат-
? ?
ное включение. Пусть x ? x(p, e(p, x)). Из пункта (i) Теоремы 27 следует, что x ? h(p, x), а из
?
?
пункта (i) доказываемой теоремы — что e(p, x) = e(p, x). Из пункта (v) Теоремы 26 следует,
что x ? x . Таким образом, h(p, x) = h(p, x), и поэтому x ? h(p, x).
? ? ?

Проиллюстрируем полезность установленных соотношений двойственности. Пусть, решив
задачу потребителя, мы нашли функцию спроса и непрямую функцию полезности. Как демон-
стрируют следующие примеры, этой информации достаточно для того, чтобы найти функцию
хиксианского спроса и функцию расходов, не решая соответствующую двойственную задачу.
Пример 16:
v v
Как показано в Примерaх 11 и 13, функции полезности u(x) = x1 + a x2 соответствует
маршаллианская функция спроса

a2 Rp1
Rp2
x(p, R) = ; .
p1 p2 + a2 (p1 )2 (p2 )2 + a2 p1 p2

R(p2 +a2 p1 )
и непрямая функция полезности v(p, R) = Из соотношения v(p, e(p, x)) = u(x),
.
p2 p1
e(p,x)(p2 +a2 p1 )
= u(x). Отсюда несложно выразить расходы через полезность: e(p, x) =
имеем p2 p1
3.1. Модель поведения потребителя: основные понятия и свойства 80
p1 p2 (u(x))2
. С учетом этого легко найти хиксианский спрос:
p2 +a2 p1
? ?
2 2
(u(x))2
p1 p2 p2 u(x) ap1 u(x)
h(p, x) = x(p, e(p, x)) = x p, =? ; ?.
p2 + a2 p1 p2 + a2 p1 p2 + a2 p1

Эти формулы совпадают с теми, которые получены в Примерaх 15 и 14.

Пример 17:
Для гомотетичных предпочтений (однородной функции полезности) непрямая функция
полезности и спрос имеют следующий вид: v(p, R) = a(p)R и x(p, R) = Rx(p, 1) (см. Приме-
ры 10 и 12). Используя соотношения двойственности, несложно увидеть, что функция расходов
и хиксианская функция спроса имеют вид

u(x) u(x)
e(p, x) = , h(p,x) = x(p, e(p, x)) = x(p, 1).
a(p) a(p)




x2


кривая безразличия




хиксианский
спрос x1


Рис. 3.3. «Толстая» кривая безразличия

Рассмотрим теперь пример, когда хиксианский и маршаллианский спрос не совпадают. Для
построения этого примера достаточно рассмотреть предпочтения, не обладающие свойством
локальной ненасыщаемости. В качестве таковых, рассмотрим предпочтения, порождающие
«толстую» кривую безразличия (такие кривые безразличия появятся, например, если взять в
качестве функции полезности целую часть какой-нибудь «нормальной» функции полезности).
Хиксианский спрос всегда будет лежать (случай двух благ) на левой границе «толстой» кривой
безразличия. На Рис. 3.3 эта граница изображена темной линией. Маршаллианский же спрос
может лежать внутри «толстой» кривой безразличия. (Найдите его на приведенном рисунке!)

В этом параграфе мы рассмотрели прямую и двойственную задачи потребителя, изучили
их свойства и рассмотрели некоторые основные соотношения связывающие эти задачи. В сле-
дующем параграфе мы продолжим рассмотрение основных свойств данных задач, используя
аппарат дифференциального исчисления.

3.1.4 Задачи
 90. Пусть допустимое потребительское множество

x ? Rl x1 x2 + x1
X= 1,
+
3.1. Модель поведения потребителя: основные понятия и свойства 81

потребитель имеет фиксированный доход R > 0, цены на товары задаются вектором p ? Rl .
++
Изобразите графически бюджетное множество потребителя при разных значениях (p, R). Яв-
ляется ли оно выпуклым? Замкнутым? Ограниченным? При каких значениях (p, R) бюджет-
ное множество пусто?
 91. Пусть допустимое потребительское множество

x ? Rl x1 x2
X= 2,
+


потребитель имеет начальный запас ? = (1, 1), цены на товары задаются вектором p ? Rl .
++
Изобразите графически бюджетное множество потребителя при разных значениях p. Являет-
ся ли оно выпуклым? Замкнутым? Ограниченным? При каких значениях p бюджетное мно-
жество непусто?
 92. Пусть допустимое потребительское множество

x ? Rl x1 , x2 — целые ,
X= +


потребитель имеет фиксированный доход R > 0, цены на товары задаются вектором p ? Rl . ++
Изобразите графически бюджетное множество потребителя.
 93. Пусть допустимое потребительское множество X = Rl , потребитель имеет начальный
+
l
запас ? = (1, 1), цены на товары задаются вектором p ? R++ . Изобразите графически бюд-
жетное множество потребителя, в случае если в экономике ввели налог с продаж, взимаемый
как процент от цены. Является ли бюджетное множество выпуклым?
 94. Пусть в экономике присутствует один потребительский товар, продаваемый по цене p.
Доход потребителя складывается из фиксированной части R > 0 и заработной платы wh, где
h — время, которое потребитель посвящает работе, а w — почасовая ставка оплаты труда.
Потребитель не может работать больше 24 часов в сутки. Запишите бюджетное множество
для этой задачи. Постройте его эскиз. Является ли оно выпуклым? Что произойдет, если в
модель ввести налог с заработной платы? Дохода? Предложите схему налогообложения, когда
бюджетное множество невыпукло.
 95. Предположим, что потребитель живет бесконечное число периодов времени (время дис-
кретно). В каждый период t он, используя имеющийся у него капитал kt , исходя из вогнутой
производственной функцией f (kt ) производит некоторый товар, который может либо потре-
бить ct , либо направить на увеличение своего капитала (инвестировать) it . Капитал предпо-
лагается убывающим от периода к периоду, с постоянной нормой выбытия 1 > ? > 0. Началь-
ный запас капитала в нулевой момент времени равен k0 . Предположим также, что значения
ct , it , kt могут принимать только неотрицательные значения. Запишите бюджетное множество
для этой задачи. Покажите, что оно выпукло.
 96. Для случая двух товаров изобразите эскиз бюджетного множества, если цена первого
товара зависит от объема, а цена второго постоянна, причем цена первого товара убывает при
росте объема. Доход потребителя предполагаем фиксированным. Является ли данное бюджет-
ное множество выпуклым?
 97. Докажите Теорему 22.
 98. При каких условиях в пунктах (vi) и (vii) Теоремы 22 нестрогие знаки (в том числе вклю-
чения) могут быть заменены строгими? Покажите, что без дополнительных предположений
этот факт, вообще говоря, неверен.
 99. Для каждой из нижеприведенных функций найдите маршаллианскую функцию спроса,
непрямую функцию полезности, хиксианскую функцию спроса, функцию расходов. Проиллю-
стрируйте соотношения двойственности между маршаллианской и хиксианской функциями
3.1. Модель поведения потребителя: основные понятия и свойства 82

спроса, а также между непрямой функцией полезности и функцией расходов.
v v v
(a) u(x) = x1 + x2 ; (b) u(x) = x1 + x2 ; (c) u(x) = x1 + x2 ;
x2 (f) u(x) = xx1 x22 ;
(d) u(x) = x1 x2 ; (e) u(x) = ln(x1 ) + 22 ; 1 +x
3.1. Модель поведения потребителя: основные понятия и свойства 83
(g) u(x) = x2 + x2 ; (h) u(x) = min{x1 , x2 }; (i) u(x) = max{x1 , x2 };
1 2
(j) u(x) = min{2x1 ? x2 , 2x2 ? x1 };
(k) u(x) = 28x1 + 28x2 ? 2x2 ? 3x1 x2 ? 2x2 ;
1 2
(l) u(x) = x2 + x2 + 4x1 + 4x2 + 2x1 x2 + 6.
1 2
Основываясь на полученных результатах, проверьте теоретические свойства маршаллианской
функции спроса, непрямой функции полезности, хиксианской функции спроса, функции рас-
ходов.
 100. Приведите пример функции полезности, для которой. . .
(a) средства, расходуемые потребителем на приобретение каждого блага, составляют посто-
янную (и положительную) долю совокупных расходов потребителя;
(b) спрос потребителя на любое благо зависит лишь от относительной цены данного блага и
совокупных потребительских расходов;
(c) спрос потребителя на первые l ? 1 благ зависит лишь от относительной цены этих благ;
(d) спрос потребителя на первые l ? 1 благо зависит лишь от цены данного блага;
(e) структура спроса потребителя постоянна (отношение величины покупок j блага к вели-
чине 1 блага, j = 1, . . . , l );
(f) множество оптимальных потребительских наборов при некоторых значениях цен и дохо-
дов не является выпуклым множеством.
 101. Покажите, что если функция полезности является квазилинейной, то непрямая функ-
ция полезности v(p, R) имеет вид v(p, R) = a(p) + b(p)R для тех значений p и R, при которых
оптимальный потребительский набор содержит все блага (в положительных количествах).
 102. Покажите, что если функция полезности потребителя однородна, то отношение функ-
ций спроса на любые два товара не зависит от уровня дохода.
 103. Пусть полезность потребителя зависит от двух благ, и первое благо является дискрет-
ным (доступные уровни его потребления — целые числа), а потребитель имеет квазилинейные
предпочтения. При каких ценах на благо 1 потребитель предъявляет спрос на него на уровне
1, 2, . . .?
 104. Покажите, что если функция полезности квазилинейна, то непрямая функция полез-
ности — выпуклая функция цен.
 105. Покажите, что если функция полезности квазилинейна, причем l -ое благо входит ли-
нейно, то хиксианский спрос на первые l ? 1 благо не зависит от выбора кривой безразличия.
Каков вид функции расходов в этом случае? При каких предположениях это справедливо?
 106. Докажите Теорему 25.
v
x
1
 107. Рассмотрите функцию полезности u = A?x2 (A > 0), где x1 0, 0 x2 < A.
(a) Является ли эта функция полезности вогнутой? Является ли она квазивогнутой? Изоб-
разите на графике кривые безразличия.
(b) Найдите функцию спроса. Какими свойствами она обладает?
v v
 108. [ABB] Рассмотрите функцию полезности вида u(x, y, z) = x + y + y + z/(1 + z).
(a) Покажите, что функция полезности строго монотонна, строго вогнута и непрерывна.
(b) Покажите, что если (x, y, z) ? R3 и z > 0, то (x, y + z, 0) (x, y, z).
+
(c) Пусть p > 0 и p2 = p3 . Покажите, что для вектора спроса выполнено равенство
z(p, R) = 0.
(d) Рассмотрите последовательность цен pn = (1, 1/n, 1/n). Чему равны пределы z(pn , R)
и y(pn , R)?
 109. В случае, когда в экономике наличествуют всего 2 товара, найдите, если это возмож-
но (или докажите, что это невозможно), маршаллианский, хиксианский спросы, непрямую
функцию полезности и функцию расходов для потребителя с лексикографическими предпо-
чтениями.
3.2. Дифференциальные свойства задачи потребителя 84

 110. Сформулируйте и докажите аналоги Теорем 23–27 для случая, когда доход потребителя
формируется за счет продажи начальных запасов w .
 111. Сформулируйте и докажите аналоги Теорем 23–27 для случая, когда доход потреби-
теля формируется за счет заработной платы. Почасовая ставка заработной платы равна w ,
потребитель располагает 24 часами времени в сутки. Время отдыха является одним из благ,
количество потребления которого выбирает потребитель.
 112. [MWG] Рассмотрите функцию расходов следующего вида:

p?k u(x) .
e(p, x) = exp ?k ln(pk ) + k
k?K k?K

При каких ограничениях на параметры ?k , ?k данная функция является функцией расходов?
С учетом ответа на первый вопрос найдите отвечающую ей непрямую функцию полезности.
 113. Пусть непрямая функция полезности имеет вид a(p) + b(p)R. Какими свойствами
должны обладать функции a(p) и b(p) для того, чтобы данная функция была непрямой
функцией полезности рационального потребителя.
 114. Функция полезности называется псевдовогнутой, если из условия u(x)(y ? x) 0,
следует, что u(y) u(x). Покажите, что если функция полезности является псевдовогнутой,
то условия Куна — Таккера являются достаточными условиями для нахождения решения за-
дачи потребителя. Покажите, что любая вогнутая функция является псевдовогнутой, а любая
псевдовогнутая функция является квазивогнутой.
 115. Пусть функция полезности равна u(x) = (x1 + x2 ? 2)3 . Цена на первый товар равна 1,
а на второй — 2. Доход потребителя равен 3. Проверьте, что целевая функция квазивогнута и

<< Предыдущая

стр. 18
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>