<< Предыдущая

стр. 19
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

локально ненасыщаема. Покажите, что точка (1, 1) удовлетворяет условиям Куна — Таккера,
но не является оптимальной.
 116. Пусть функция спроса некоторого потребителя равна x(p, R) = ?R , (1??)R , а непря-
p1 p2
?? (1??)(1??) R
мая функция полезности равна v(p, R) = . Найдите функцию расходов и хикси-
(1??)
p? p2
1
анский спрос.
R R
 117. Покажите, что функция v(p, R) = p1 + p2 удовлетворяет всем свойствам непрямой
функции полезности и вычислите на ее основе функцию расходов и функции спроса (маршал-
лианского и хиксианского).
 118. Проверьте выполнение соотношений двойственности (взаимности) в случае, если пове-
дение потребителя описывается функцией полезности: u(x) = [x1 x2 ], где [·] - оператор взятия
целой части.
 119. Пусть функция полезности потребителя аддитивно-сепарабельна, то есть имеет вид
u(x) = l ui (xi ). Запишите достаточные условия оптимальности для задачи потребителя
i=1
в предположении, что потребитель имеет выпуклые, локально ненасыщаемы предпочтения.
Покажите, что если ui (xi ) > +? при xi > 0, то потребитель покупает все блага в положи-
тельных количествах.
 120. Пусть обобщенная функция полезности, представляющая некоторые нетранзитивные
?1/2 1/2 ?1/2 1/2
предпочтения, имеет вид ?(x, y) = y1 x2 + ln(x3 ) ? x1 y2 ? ln(y3 ). Найдите маршал-
лианский спрос данного потребителя. (Для пояснения обозначений см. Теорему 21 на с. 59.)



3.2 Дифференциальные свойства задачи потребителя
В данном параграфе дополнительно предполагается, что функция спроса, непрямая функ-
ция полезности и функция расходов потребителя являются дифференцируемыми. (Условия,
3.2. Дифференциальные свойства задачи потребителя 85

гарантирующие дифференцируемость этих функций, приведены в приложении ??). При вы-
полнении условия дифференцируемости непрямой функции полезности, функции расходов и
функций маршаллианского и хиксианского спросов выполняются три важных свойства теории
потребителя: лемма Шепарда, тождество Роя и уравнение Слуцкого.
Связь между функциями расходов и (хиксианского) спроса описывается леммой Шепарда.
Теорема 29 (Лемма Шепарда16 ):
Пусть решение взаимной (двойственной) задачи внутреннее и выполнены условия Тео-
ремы 37, тогда17
?e(p, x)
= hi (p, x).
?pi

Доказательство: Учитывая значение этого результата для теории потребления, укажем несколь-
ко его обоснований.
Первое доказательство. По определению функции расходов e(p, x) = ph(p, x) ?p, x. Про-
дифференцировав это тождество по pi , получим соотношение:
l
?e(p, x) ?hj (p, x)
= hi (p, x) + pj .
?pi ?pi
j=1

Остается доказать, что второе слагаемое равно нулю.
Замечание: Данное свойство стоит проинтерпретировать. Хотя при изменении цен рассматри-
ваемых благ потребитель меняет свое поведение, предпочитая, вообще говоря, другой потре-
бительский набор, при расчете изменения расходов на приобретение нового набора в первом
приближении можно не учитывать этого изменения спроса потребителя. Другими словами, но-
вые расходы в первом приближении рассчитываются, как если бы оптимальный выбор остался
неизменным, т. е. эти новые расходы равны стоимости старого набора в новых ценах. Измене-
ние спроса проявляется лишь во втором приближении.
?h
Докажем это. Пусть второе слагаемое не равно нулю, например, положительно, т. е. p ?pi >
0. Рассмотрим наборы вида h? = h(p ? ?ei , x), где ei — i-й орт, ? > 0. Согласно пункту (vi)
?h
Теоремы 25 из непрерывности предпочтений следует h(p, x) ? x и h? ? x. Из p ?pi > 0
следует, что при достаточно малом ? будет выполнено неравенство p(h(p, x) ? h? ) > 0. Но это
?h
неравенство противоречит тому, что h(p, x) минимизирует расходы. Невозможность p ?pi < 0
доказывается аналогично, с помощью введения наборов вида h(p + ?ei , x).
Второе доказательство. Идея другого доказательства этого факта заключается в постро-
ении касательной для графика функции расходов.
Обозначим p?i = (p1 , . . . , pi?1 , pi+1 , . . . , pl ), и p = (pi , p?i ). Пусть p? — некоторая точка.
Зафиксируем все цены, кроме цены i-го блага p?i = p? . Покажем, что прямая pi hi (pi , p? , x)+
?i ?i
? h (p , p? , x) касается графика функции e(p , p? , x) в точке p? . Действительно, набор
j=i pj j i i
?i ?i i
? , x) при ценах p? требует минимальных расходов на приобретение из наборов, обеспечи-
h(p
вающих тот же уровень благосостояния, что и потребительский набор x. При любых других
ценах он допустим, но, вообще говоря, не минимизирует расходы. При ценах (pi , p? ) мини- ?i
мум расходов, необходимых для достижения того же уровня благосостояния, достигается на
потребительской корзине h(pi , p? , x). Другими словами, справедливо следующее неравенство:
?i

e(pi , p? , x) =
?i

= pi hi (pi , p? , x) + p? hj (pi , p? , x) pi hi (p? , x) + p? hj (p? , x).
?i ?i
j j
j=i j=i
16
R. W. Shephard: Theory of Cost and Production Functions, Princeton University Press, 1970.
17
На самом деле, для справедливости данного утверждения достаточно дифференцируемости функции рас-
ходов и непрерывности предпочтений.
3.2. Дифференциальные свойства задачи потребителя 86

При pi = p? здесь выполнено равенство. Таким образом, максимум функции f (pi ) = e(pi , p? , x)?
?i
i
pi hi (p? , x) достигается в точке p? . Из необходимого условия максимума (f (pi ) = 0) следует
i
доказываемое соотношение.


e,R (расходы)

pi hi (pi ,p? ,x)+ ? ?
j=i pj hj (pi ,p?i ,x)
?i




A
e(p? ,x)
e(pi ,p? ,x)
?i




pi
p?
i



Рис. 3.4. Иллюстрация доказательства леммы Шепарда

Второй способ доказательства иллюстрирует Рис. 3.4. Кривая e(pi , p? , x) лежит под пря-
?i
мой
pi hi (pi , p? , x) + p? hj (pi , p? , x)
?i ?i
j
j=i

и имеет с ней общую точку (p? , e(p? , x)) (точка A на рисунке). Значит, эта прямая является
i
? , x). Наклон прямой равен h (p? , x). Таким образом, производ-
касательной к кривой e(pi , p?i i
? , x) в точке p? равна h (p? , x):
ная функции e(pi , p?i i
i

?e(p, x)
= hi (p, x).
?pi
Из леммы Шепарда следует, что по функции расходов всегда можно построить функцию
(хиксианского) спроса. Отметим также, что из нее следует, что функции расходов является
дважды непрерывно дифференцируемой, так как непрерывно дифференцируемым является
хиксианский спрос.
Пример 18:
Выше (в Примере 15) мы нашли, что для потребителя с функцией полезности u(x) =
v v
x1 + a x2 функция расходов равна
v v
p1 p2 ( x1 + a x2 )2
e(p, x) = .
p2 + a2 p1
Убедимся для данной функции расходов в выполнении леммы Шепарда для первого товара.
Продифференцируем функцию расходов e(p, x) по p1 :
v v v v
p2 ( x1 + a x2 )2 (p2 + a2 p1 ) ? a2 p1 p2 ( x1 + a x2 )2
?e(p, x)
= =
(p2 + a2 p1 )2
?p1
v v
p2 ( x1 + a x2 )2
2
= = h1 (p, x).
(p2 + a2 p1 )2
Вполне естественно, что в качестве результата дифференцирования мы получили найден-
ный нами ранее в Примере 14 хиксианский спрос.
3.2. Дифференциальные свойства задачи потребителя 87

??он вообще по жизни француз Рене Руа :)
Теорема 30 (тождество Роя):
Пусть выполнены условия Теоремы 29, тогда

?v(p, R) ?v(p, R)
? = xi (p, R)
?pi ?R


Доказательство: Для доказательства этого тождества воспользуемся одним из тождеств вза-
имности:
v(p, e(p, x)) = u(x).
Продифференцируем это тождество по pi :
?v(p, e(p, x)) ?v(p, e(p, U )) ?e(p, x)
+ = 0.
?pi ?R ?pi
?e(p,x)
= hi (p, x), следовательно
По лемме Шепарда ?pi

?v(p, e(p, x)) ?v(p, e(p, x))
+ hi (p, x) = 0.
?pi ?R
В качестве x возьмем x = x(p, R).
Воспользуемся тождествами h(p, x(p, R)) ? x(p, R) и e(p, x(p, R)) ? R. Из них следует,
что верно соотношение
?v(p, R) ?v(p, R)
? = xi (p, R).
?pi ?R
.

Пример 19:
v v
Как показано ранее, для потребителя с функцией полезности u(x) = x1 + a x2 непря-
R(p2 +a2 p1 )
мая функция полезности равна v(p, R) = . Проиллюстрируем тождество Роя для
p2 p1
?v(p,R) ?v(p,R)
первого товара. Для этого найдем и ?p1 :
?R


(p2 + a2 p1 )
?v(p, R) 1
=
?R 2 Rp2 p1
и

a2 p1 p2 R ? p2 R(p2 + a2 p1 )
?v(p, R) 1 p2 p1
= =
R(p2 + a2 p1 ) (p2 p1 )2
?p1 2
?R
1 p2 p1
= .
R(p2 + a2 p1 ) (p1 )2
2

С учетом этого

(p2 + a2 p1 )
?v(p, R) ?v(p, R) p2 p1 R Rp2
? = = .
R(p2 + a2 p1 ) (p1 )2 p1 (p2 + a2 p1 )
?pi ?R Rp2 p1

Как и ожидалось, найденная функция представляет собой спрос на первый товар для функции
v v
полезности u(x) = x1 + a x2 .
3.2. Дифференциальные свойства задачи потребителя 88
Теорема 31 (уравнение Слуцкого18 ):
Пусть выполнены условия Теоремы 29, тогда

?hi (p, x(p, R)) ?xi (p, R) ?xi (p, R)
= + xj (p, R).
?pj ?pj ?R

Доказательство: Для доказательства воспользуемся одним из тождеств взаимности: x(p, e(p, x)) =
?
?
h(p, x). Продифференцируем это тождество по pj :
? ? ? ?
?xi (p, e(p, x)) ?xi (p, e(p, x)) ?e(p, x) ?hi (p, x)
+ = .

<< Предыдущая

стр. 19
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>