<< Предыдущая

стр. 20
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?pj ?R ?pj ?pj

Воспользуемся леммой Шепарда ?e(p,x) = hi (p, x). В качестве потребительского набора x
?pi
возьмем x(p, R). При этом в силу соотношений взаимности имеем hj (p, x(p, R)) = xj (p, R) и
e(p, x(p, R)) = R.
Следовательно,
?hi (p, x(p, R)) ?xi (p, R) ?xi (p, R)
= + xj (p, R).
?pj ?pj ?R

Пример 20:
Проиллюстрируем уравнение Слуцкого для первого товара и второй цены для рассмотрен-
v v
ной функции полезности u(x) = x1 + a x2 . Функция спроса для этой функции полезности
2 Rp
равна x(p, R) = p1 p2 +a2 (p1 )2 ; (p2 )a +a21 1 p2 . Функция хиксианского спроса равна h1 (p, x) =
Rp2
2 p
v v
p2 ( x1 +a x2 )2 ?x1 (p,R) ?x1 (p,R) ?h1 (p,x(p,R))
x2 (p, R)
. Найдем , и :
2
(p2 +a2 p1 )2 ?p2 ?R ?p2


R(p1 p2 + a2 (p1 )2 ) ? Rp1 p2
?x1 (p, R)
= =
(p1 p2 + a2 (p1 )2 )2
?p2
a2 R(p1 )2 a2 R
= = ;
(p1 )2 (p2 + a2 p1 )2 (p2 + a2 p1 )2


a2 Rp1
?x1 (p, R) p2
·
x2 (p, R) = =
p1 p2 + a2 (p1 )2 (p2 )2 + a2 p1 p2
?R
a2 Rp1 p2 a2 R
= = ;
p2 p1 (p2 + a2 p1 )2 (p2 + a2 p1 )2


2p2 (p2 + a2 p1 )2 ? 2(p2 )2 (p2 + a2 p1 ) v v
?h1 (p, x)
( x1 + a x2 )2 =
=
(p2 + a2 p1 )4
?p2
2a2 p1 p2 v v
( x1 + a x2 )2 ;
=
(p2 + a2 p1 )3


2a2 p1 p2
?h1 (p, x(p, R))
(v(p, R))2 =
= 2 p )3
?p2 (p2 + a 1
2a2 p1 p2 R(p2 + a2 p1 ) 2a2 R
·
= = .
(p2 + a2 p1 )3 (p2 + a2 p1 )2
p2 p1
18
E. Slutsky: Sulla teoria del bilancio del consumatore, Giornali degli economisti e rivista di statistica 51 (1915):
1–26, рус. пер. Е. Е. Слуцкий: К теории сбалансированного бюджета потребителя, в кн. Народнохозяйствен-
ные модели. Теоретические вопросы потребления, М.: Изд-во АН СССР, 1963
3.2. Дифференциальные свойства задачи потребителя 89

Проверка уравнения Слуцкого для первого товара и второй цены состоит в проверке ра-
венства:
?h1 (p, x(p, R)) ?x1 (p, R) ?x1 (p, R)x2 (p, R)
= + .
?p2 ?p2 ?R
Подставляя вычисленные производные, получим

2a2 R a2 R a2 R
= + .
(p2 + a2 p1 )2 (p2 + a2 p1 )2 (p2 + a2 p1 )2

Очевидно, что это равенство верно.

Теорема 32 (свойства матрицы замены):
?hi
Пусть выполнены условия Теоремы 29, тогда матрица S = { ?pj } эффектов замены (мат-
рица Слуцкого) является симметричной, отрицательно полуопределенной и вырожденной.

Доказательство: Как было отмечено выше при обсуждении леммы Шепарда, при сделанных
нами предположениях функция расходов является дважды непрерывно дифференцируемой.
Тогда, в силу теоремы Юнга19 , ее смешанные вторые производные совпадают, т. е.

? 2 e(p, x) ? 2 e(p, x)
= .
?pj ?pi ?pi ?pj

С учетом продифференцированного тождество Шепарда, получаем отсюда, что

?hi (p, x) ?hj (p, x)
= .
?pj ?pi

Таким образом, матрица коэффициентов замены (матрица вторых производных функции
расходов) рационального потребителя симметрична. Кроме того, поскольку функция расходов
e(p, x) — вогнутая функция цен, то матрица коэффициентов замены является отрицательно
полуопределенной. Вырожденность матрицы S читатель может доказать самостоятельно (см.
задачу 125).

Теперь получим основные соотношения, которые связывают производные спроса по ценам
и доходу.
Теорема 33:
Пусть x(p, R) — решение задачи потребителя. Предположим, также что x(p, R) —
непрерывно дифференцируемая функция. Тогда выполнены следующие свойства:

?xi (p, R)
pi + xj (p, R) = 0 для всех j ;
?pj
i

?xk (p, R) ?xk (p, R)
pi +R = 0 для всех k ;
?pi ?R
i

?xi (p, R)
pi = 1.
?R
i



Доказательство: Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения (см. зада-
чу 130).
19
См. Приложение ??
3.2. Дифференциальные свойства задачи потребителя 90

Данные соотношения должны быть знакомы читателю по курсам микроэкономики про-
межуточного уровня. Обычно они переформулируются в терминах эластичностей спроса по
доходу и ценам.
Определение 27:
Эластичностью спроса на i-ое благо по доходу называется величина
?xi (p, R) R
R R
Ei = Ei (p, R) = .
?R xi (p, R)
Эластичностью спроса на i-ое благо по цене i-го называется величина
?xi (p, R) pj
p p
Eij = Eij (p, R) = .
?pj xi (p, R)
Доля дохода, затрачиваемого на покупку i-го блага — это
pi xi (p, R) pi xi (p, R)
µi (p, R) = = .
px(p, R) R
В этих обозначениях Теорема 33 может быть переформулирована в следующем виде.
Теорема 34:
Пусть x(p, R) — решение задачи потребителя. Предположим, также что x(p, R) —
непрерывно дифференцируемая функция. Тогда выполнены следующие свойства:
p
µi Eij (p, R) = ?µj (p, R) для всех j ;
i
p
R
Ek (p, R) = ? Eki (p, R) для всех k ;
i
R
µi (p, R)Ei (p, R) = 1.
i

Доказательство: Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения (см. зада-
чу 130).
Перечисленные в данном параграфе соотношения важны для характеризации спроса, по-
рожденного моделью рационального поведения. В частности, полученные свойства функции
расходов (и матрицы Слуцкого) вместе с некоторыми из тех, которые указаны в Теореме 26
на с. 77, являются не только необходимыми (как мы только что установили), но и достаточ-
ными (как покажем далее) условиями того, что некоторая функция цен и уровней полезности
является функцией расходов рационального потребителя. Это дает возможность проверять
согласованность наблюдаемого потребительского поведения с моделью рационального пове-
дения и восстанавливать предпочтения потребителя на основе его рыночного поведения (см.
параграф 3.C).

3.2.1 Задачи
 121. Докажите аналог уравнения Слуцкого для случая, когда доход потребителя формиру-
ется за счет продажи начальных запасов ? .
 122. Сформулируйте и докажите аналог уравнения Слуцкого для случая, когда доход по-
требителя формируется за счет заработной платы. Почасовая ставка заработной платы равна
w , потребитель располагает 24 часами времени в сутки. Время отдыха является одним из благ,
количество потребления которого выбирает потребитель.
 123. Проверьте выполнение леммы Шепарда, тождества Роя и уравнения Слуцкого для сле-
дующих функций полезности:
3.2. Дифференциальные свойства задачи потребителя 91
(a) Кобба — Дугласа, (b) CES, (c) Леонтьева,
(d) линейной, (e) квазилинейной, (f) аддитивной.
 124. Пусть выполнен закон Вальраса и функция спроса однородна нулевой степени. Пусть,
кроме того, в экономике обращается только два товара. Докажите симметричность матрицы
Слуцкого, не пользуясь предположением о максимизации полезности потребителем.
 125. Пусть S — матрица коэффициентов замены. Докажите, что Sp = 0.
 126. В экономике 2 товара. Известно, что в матрице замены S11 = ?2 и S22 = ?1. Чему
равен элемент S21 ?
 127. Матрица замены при ценах p1 = 1, p2 = 2, p3 = 6 имеет вид
? ?
?10 ??
?4 ?? .
??
? ?
3 ??
Найдите пропущенные элементы. Может ли эта матрица быть матрицей замены рационального
потребителя?
 128. Пусть в экономике представлено 3 блага. Спрос на первое и второе блага имеет следу-
ющий вид:
R R
x1 (p, R) = , x2 (p, R) = .
2p1 (1 + p2 /p1 ) 2p2 (1 + p2 /p1 )
Проверьте выполнение уравнения Слуцкого.
 129. [MWG] В экономике с тремя благами потребитель имеет положительный доход R > 0
и его функции спроса на первое и второе благо равны
p1 p2 R p1 p2 R
x1 (p, R) = 100 ? 5 +? +? , x2 (p, R) = ? + ? +? +? ,
p3 p3 p3 p3 p3 p3
где ?, ?, ?, ? 0.
(a) Объясните, как можно рассчитать спрос не третье благо (вычисления делать не надо).
(b) Являются ли функции спроса для x1 и x2 однородными требуемой степени?
(c) Какие ограничения на параметры ?, ?, ?, ? должны выполняться, чтобы данные функ-
ции спроса могли быть порождены задачей максимизации полезности?
(d) Используя результаты предыдущего пункта для фиксированного значения спроса на
3-й товар, изобразите кривые безразличия в пространстве (x1 , x2 ).
(e) Что можно сказать о свойствах функции полезности этого потребителя? (Используйте
результаты предыдущего пункта.)
 130. Докажите Теоремы 33 и 34.
 131. Покажите, что если функция полезности потребителя однородна, то функции спроса
удовлетворяют соотношению
?xi (p, R) ?xj (p, R)
= .
?pj ?pi
 132. Пусть для некоторого потребителя значения эластичности спроса по доходу равны по
всем товарам. Найдите, чему равно это значение.
 133. Пусть функция полезности однородна первой степени. Чему равны эластичности спроса
по доходу?
 134. Используя теорему об огибающей, докажите, что hi (p, u) = ?e(p,u) (тождество Роя).
?pi
 135. Используя теорему об огибающей, докажите, что ?v(p,R) («предельная полезность де-
?R
нег») равна значению множителя Лагранжа задачи потребителя.
 136. Проверьте выполнение свойства, указанного в предыдущей задаче, для функции полез-
v v
ности u(x) = x1 + a x2 (см. Примеры 13 и 11).
3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя 92


3.3 Влияние изменения цен и дохода на поведение
потребителя
Данный параграф посвящен изучению того, как изменения условий, при которых рацио-
нальный потребитель осуществляет выбор, более конкретно, изменения его бюджетного мно-
жества, влияют на этот выбор и благосостояние потребителя.

3.3.1 Сравнительная статика: зависимость спроса от дохода и цен. Закон
спроса
В этом разделе мы обсудим поведение выбора потребителя при изменении цен благ и дохо-
да и установим условия, при которых это изменение соответствует обычным представлениям
(например, спрос на благо растет при росте дохода или снижении цены этого блага).
В этом параграфе мы будем рассматривать спрос либо как функцию, либо как отображе-
ние. Что именно имеется в виду должно быть понятно из контекста.
Пусть спрос представляет собой дважды дифференцируемую функцию, значения этой

<< Предыдущая

стр. 20
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>