<< Предыдущая

стр. 21
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

функции представляют собой внутренние потребительские наборы (x(p, R) ? X ), и для та-
ких наборов матрица Гессе функции полезности (H(x)) является отрицательно определенной,
и выполнено x u(x) > 0. Имеется следующая система уравнений, характеризующая спрос
и множитель Лагранжа бюджетного ограничения при данных ценах и доходе:

u(x(p, R)) = ?(p, R)p,
p x(p, R) = R.

Эти уравнения можно рассматривать как тождества. Дифференцируя их по ценам и доходу
и преобразуя, получаем

H?1 u
?x
=? (?)
u H?1 u
?R
и

H?1 ux + H?1 u u H?1
?x ?1
=? H ? , (??)
u H?1 u
?p

где ? = u x/R. Вычисления здесь несколько громоздкие, но не очень сложные. Читатель
может попробовать провести их самостоятельно (см. задачу 137). Полученные соотношения
выражают производные функции спроса через производные функции полезности в данной
точке x = x(p, R). Заметьте, что в эти формулы не входят цены, а доход влияет только на
множитель ?, но не на знак и структуру производных.
Обсудим сначала влияние изменения дохода. Обычные предположения о предпочтениях
потребителя (локальная ненасыщаемость, монотонность, выпуклость) мало что говорят о ха-
рактере этого влияния. Фактически, мы можем дать только определения, которые могут быть
полезными в дальнейших рассуждениях.
Определение 28:
Кривой Энгеля для заданного вектора цен p называется функция ?(R) = x(? , R), сопо-
? p
ставляющая доходу потребителя R его спрос на блага.

Как правило, ожидается, что если доход потребителя растет, то потребление благ тоже
растет. Блага, которые соответствуют таким ожиданиям принято называть нормальными.
3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя 93
Определение 29:
Благо i называется нормальным при ценах p и доходе R, если спрос на него растет в
точке (p, R) при увеличении дохода потребителя.
Благо i называется нормальным, если оно является нормальным при всех ценах и доходах,
для которых определен спрос.

Однако вполне можно вообразить такое благо, спрос на которое снижается при увеличении
дохода потребителя (по крайней мере в некоторой области сочетаний цен и дохода).
Определение 30:
Благо i называется малоценным при ценах p и доходе R, если спрос на него падает в
точке (p, R) при увеличении дохода потребителя.

Влияние дифференциально малых изменений дохода характеризует производная маршал-
лианского спроса по доходу (если спрос представляет собой дифференцируемую функцию).
Если доход меняется на величину dR, то в результате спрос должен измениться на величину

?x(p, R)
dx = dR.
?R
?xi (p,R)
> 0, то благо i следует назвать нормальным при ценах p и доходе R, а если
Если ?R
?xi (p,R)
< 0, то малоценным.
?R
Согласно уравнению (?) (с учетом того, что u H?1 u < 0), поведение спроса при изме-
нении дохода определяется вектором H?1 u. Если i-й элемент этого вектора отрицателен, то
i-е благо является нормальным, а если положителен, то малоценным.
Перейдем теперь к рассмотрению влияния изменения цен. Напомним, что согласно стан-
дартному определению функция спроса удовлетворяет закону спроса, если спрос на благо сни-
жается при росте его цены. Естественное обобщение этого свойства приводит с следующему
определению.
Определение 31:
Будем говорить, что отображение спроса x(·) удовлетворяет закону спроса, если для x =
x(p, R) и x = x(p , R) выполнено соотношение20

(p ? p)(x ? x) 0.

Действительно, данное свойство тесно связано с ожидаемым свойством спроса: если цена
i-го товара выросла при неизменности остальных цен, то приведенное неравенство означает,
что спрос на i-ый товар не может вырасти.
Как известно, закон спроса выполняется не для всех функций спроса, порожденных зада-
чей максимизиции полезности потребителя. Теоретически можно вообразить так называемые
товары Гиффена, спрос на которые растет при росте цены.
Эффект Гиффена, например, наблюдается в случае следующей функции полезности:

(2x1 + x2 ? 8)2 + 1.
u(x1 , x2 ) = 2x1 + 3x2 ?

Отметим, что эта функция является строго монотонной и строго квазивогнутой. На Рис. 3.5
изображены кривые безразличия для этой функции. Пунктиром показано, как меняется спрос
потребителя при постоянных доходе и цене второго блага (R = 3, p2 = 1). Точками пока-
зан спрос для двух разных бюджетных ограничений; при более высокой цене первого блага
потребитель предъявляет на него более высокий спрос.
20
В русской традиции закон спроса иногда называют свойством монотонности спроса.
3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя 94

4


3


2


1


0
0 1 2 3 4 5


Рис. 3.5. Пример эффекта Гиффена


Более слабое, чем закон спроса, свойство, используемое при изучении влияния изменения
цен на потребительский выбор, называется законом спроса при компенсирующем изменении
дохода по Слуцкому. Приведем его формулировку.
Пусть x0 — потребительский набор, который является спросом при некоторых заданных
ценах p0 , т. е., в предположении локальной ненасыщаемости предпочтений, x0 ? x(p0 , p0 x0 ).
Отображение, задаваемое формулой

xs (p, x0 ) = x(p, px0 ),

называется компенсированным спросом по Слуцкому. Закон спроса при компенсирующем изме-
нении дохода по Слуцкому заключается в следующем.
Определение 32:
Будем говорить, что отображение спроса x(·) удовлетворяет закону спроса при компенсирую-
щем изменении дохода по Слуцкому, если для x ? xs (p, x0 ) = x(p, px0 ) выполнено соотношение

(p ? p0 )(x ? x0 ) 0.

Если спрос является функцией, то это соотношение можно записать в виде

(p ? p0 )(xs (p, x0 ) ? xs (p0 , x0 )) 0.

Отметим очевидное отличие формулировки этого свойства от обычного закона спроса:
данное свойство должно выполняться при компенсированном, а не фиксированном доходе.
В отличие от закона спроса, закон спроса при компенсирующем изменении дохода по Слуц-
кому выполняется при естественных предположениях относительно предпочтений, что пока-
зывает нижеследующее утверждение.
Теорема 35:
Предположим, что предпочтения потребителя непрерывны и локально ненасыщаемы.
Тогда выполняется закон спроса при компенсирующем изменении дохода по Слуцкому.

Доказательство: Поскольку предпочтения локально ненасыщаемы, то бюджетное ограничение
выходит на равенство для набора x, являющегося спросом потребителя при ценах p и доходе
px0 , т. е. px = px0 . Аналогично, p0 x0 = R Пользуясь этим, получим

(p ? p0 )(x ? x0 ) = px ? px0 ? p0 x + p0 x0 = p0 x0 ? p0 x = R ? p0 x.
3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя 95

Очевидно, что x0 ? B(p, px0 ). Таким образом, если x ? B(p0 , R), то два набора выявленно эк-
вивалентны и x ? x(p0 , R) (см. пункт (vi) Теоремы 23 на с. 67), и поэтому, с учетом локальной
ненасыщаемости, p0 x = R, т. е. рассматриваемая величина равна нулю. Доказываемое нера-
венство будет строгим, если x ? B(p0 , R). Действительно, если x ? B(p0 , R), то p0 x > R, т. е.
/ /
рассматриваемая величина отрицательна.

Замечание: Доказанное свойство тесно связано с теорией выявленных предпочтений (см. па-
раграф 3.B). Действительно, набор x0 — спрос при ценах p0 , а набор x — спрос при ценах
p. По слабой аксиоме выявленных предпочтений (см. Определение 20 на с. 50) неравенства
px0 px и p0 x < p0 x0 не могут быть верными одновременно (не может быть, чтобы одновре-
менно набор x был выявленно не хуже x0 , а x0 — выявленно лучше x). Поскольку первое
неравенство выполнено (по определению компенсированного спроса по Слуцкому), то второе
неравенство неверно. Значит, p0 x p0 x0 .

Исходя из доказанной теоремы мы можем утверждать только, что закон спроса выполня-
ется при условии компенсирующего изменения дохода, т. е. при условии, что доход изменился
таким образом, чтобы компенсировать рост цены и позволить потребителю покупать прежний
потребительский набор. Тем не менее, данное свойство достаточно информативно и может
служить полезным инструментом анализа, как показывает, в частности, следующий пример.
Пример 21:
Рассмотрим экономику с двумя благами. В первый момент времени вектор цен был равен
p0 = (1, 1), а доход потребителя R0 = 8. Во второй момент времени цены изменились и стали
равны p1 = (1, 2), а доход стал равен R1 = 12. Спрос потребителя в первый момент време-
ни был равен x0 = (6, 2). Известно, что данный спрос порожден монотонной положительно
однородной первой степени функцией полезности. Попробуем найти все возможные значения,
которые может принимать спрос во второй период. В данном примере у нас изменились сразу
два параметра: цена второго блага и доход потребителя. Разложим это изменение на два после-
довательных: (1) изменение цены при компенсирующем доходе; (2) изменение дохода. Компен-
сированный доход, отвечающий изменению цен от (1, 1) до (1, 2) равен 10 (1 · 6 + 2 · 2). В силу
закона спроса при компенсирующем изменении дохода и в силу локальной ненасыщаемости
?
предпочтений спрос потребителя при таком изменении, x = (?1 , x2 ), должен удовлетворять
x?
двум условиям:

(1 ? 1)(?1 ? 6) + (2 ? 1)(?2 ? 2) = x2 ? 2
x1 + 2?2 = 10,
? x x x ? 0,

или
x1 + 2?2 = 10,
? x x2
? 2.


8 8 8

5 (7,2, 2,4)
(6, 2)
(6, 2)

8 10 12
8 10
8

Рис. 3.6. Оценка спроса при изменении цен и дохода в случае однородной функции
полезности

Теперь можно воспользоваться свойством отображения спроса для однородной функции
полезности, установленным нами в Примере 10. Точнее, мы установили, что если доход потре-
бителя увеличивается в ? раз, то и спрос в этом случае также увеличится в ? раз. С учетом
3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя 96

этого свойства получаем, что спрос во второй период подчинен следующим ограничениям:

x1 + 2?2 = 12,
? x x2
? 2,4.

Приведенные рассуждения иллюстрирует Рис. 3.6.

Аналогичное свойство спроса выполняется и при компенсации дохода по Хиксу, т. е. при
таком таком изменении дохода, при котором выборы характеризуются заданным уровнем по-
лезности. Это свойство мы будем называть законом спроса при компенсирующем изменении
дохода по Хиксу. Заметим, что хиксианский спрос часто называют компенсированным спро-
сом, поскольку это спрос при компенсирующем изменении дохода по Хиксу.
Определение 33:
Будем говорить, что отображение спроса x(·) удовлетворяет закону спроса при компен-
сирующем изменении дохода по Хиксу, если для любого допустимого набора x и любых цен
p, p ? Rl при h ? h(p, x) и h ? h(p , x) справедливо
++

(p ? p)(h ? h) 0.

Если спрос является функцией, то это соотношение можно записать в виде

(p ? p)(h(p , x) ? h(p, x)) 0.

Теорема 36:
Если предпочтения потребителя непрерывны, то для отображения спроса рациональ-
ного потребителя выполняется закон спроса при компенсирующем изменении дохода по
Хиксу.

Доказательство: При непрерывности предпочтений h ? h ? x. Утверждение непосредственно
следует из двух очевидных неравенств:

ph ph ph p h.
и

Сравним теперь два полученных нами варианта закона спроса при компенсирующем изме-
нении дохода по Слуцкому и по Хиксу. Пусть x0 — оптимальное решение задачи потребителя
при ценах p0 и доходе R = p0 x0 , и цены становятся равными p1 . Тогда рассматриваемые
свойства спроса можно переформулировать в следующем виде:

по Слуцкому: (p1 ? p0 )(x(p1 , p1 x0 ) ? x0 ) 0;
по Хиксу: (p1 ? p0 )(x(p1 , e(p1 , x0 )) ? x0 ) 0.

Таким образом, различие между двумя этими свойствами состоит, по сути, только в величине
компенсации.
Пусть, например, цена первого блага упала, а цены остальных благ остались неизменными.
Рассматриваемые компенсирующие изменения дохода делают новую ситуацию в определен-
ном смысле похожей на исходную. Поскольку падение цены расширяет бюджетное множество
потребителя, то доход должен упасть, т. е. следует произвести вычет из дохода, чтобы сделать
новую ситуацию похожей на исходную. Величина компенсирующего вычета по Слуцкому рав-

<< Предыдущая

стр. 21
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>