<< Предыдущая

стр. 22
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

на ?s = R ? p1 x0 , а величина компенсирующего вычета по Хиксу равна ?h = R ? e(p1 , x0 ).
Несложно понять, что ?s ?h . Действительно, это неравенство эквивалентно тому, что
p1 x0 e(p1 , x0 ) = p1 h(p1 , x0 ). Последнее неравенство непосредственно следует из определе-
ния функции расходов (потребительский набор x0 допустим в соответствующей двойственной
задаче, и его стоимость не может быть меньше минимума e(p1 , x0 )).
3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя 97

x2
x2
?s ?h
x0 x0



x1
x1


Рис. 3.7. Компенсирующие изменения дохода по Слуцкому и Хиксу при p0 > p1 , p0 = p1 = 1
1 1 2 2



Обе указанные формы компенсирующего изменения дохода имеют достаточно ясную гра-
фическую интерпретацию. Предположим, что в исходной ситуации цены равны p0 = (p0 , 1), 1
а доход составляет R. Предположим, что упала цена первого блага, а цена второго блага и
доход остались неизменными, т. е. p1 = (p1 , 1), p0 > p1 . На Рис. 3.7 показана разница в опреде-
1 1 1
лениях компенсирующего изменения дохода по Слуцкому и Хиксу. На левом рисунке показан
способ нахождения компенсирующего изменения дохода по Слуцкому. Строим обе бюджетные
линии. Находим спрос в исходной ситуации. После этого двигаем новую бюджетную линию
так, чтобы она проходила через точку исходного спроса. Разница между доходом, отвечающим
этому положению, и исходным доходом и будет компенсирующим изменением по Слуцкому.
На втором рисунке показан способ нахождения компенсирующего изменения дохода по
Хиксу. Отличие от предыдущего случая состоит в том, что в этот раз мы двигаем бюджетную
линию до точки касания с исходной кривой безразличия.
Заметим, что хотя изменения спроса по Хиксу и Слуцкому, вообще говоря, различаются,
они совпадают при дифференциально малом изменении цен, а именно,

?xs (p0 , x0 ) dx(p, px0 ) ?x(p0 , p0 x0 ) ?x(p0 , p0 x0 ) 0
= = + x
?p dp ?p ?R
p=p0

и
?h(p0 , x0 ) dx(p, e(p, x0 )) ?x(p0 , p0 x0 ) ?x(p0 , p0 x0 )
h(p0 , x0 ).
= = +
?p dp ?p ?R
p=p0

Приведенные выражения равны между собой, поскольку набор x0 является спросом при ценах
p0 и, следовательно,
h(p0 , x0 ) = x(p0 , e(p0 , x0 )) = x0 .

Оба выражения равны матрице замены S = S(p0 , x0 ). Таким образом, если цены меняются
на дифференциально малую величину dp, то компенсированный спрос меняется на величину
dx = Sdp. Видим, что закон спроса при компенсирующем изменении дохода для дифферен-
циально малых изменений будет иметь вид dp dx = dp Sdp 0. Очевидно, что это свойство
тесно связано с тем, что матрица замены S отрицательно полуопределена21 .
Вернемся теперь к обсуждению собственно закона спроса. В случае его выполнения мы
получаем информацию об изменении спроса, обусловленную только изменением цен, без ком-
пенсирующего изменения дохода. В частности, в этом случае при определенных предположе-
ниях можно сделать вывод об отсутствии товаров Гиффена, то есть товаров, спрос на которые
растет при росте цены.
21
Матрица замены не может быть отрицательно определенной, поскольку, как мы видели ранее, она вырож-
дена.
3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя 98

Если цены меняются на дифференциально малую величину dp, то маршаллианский спрос
?x
меняется на величину dx = ?p dp. Как следует из уравнения (??),

?x
= ?T,
?p
где через T = T(x) мы обозначили следующую матрицу:

H?1 ux + H?1 u u H?1
?1
?
T=H .
u H?1 u
«Локальный» закон спроса (dp dx 0) эквивалентен тому, что dp Tdp 0 для любого
изменения dp, т. е. тому, что матрица T является отрицательно полуопределенной. Как можно
показать, отрицательная полуопределенность матрицы T эквивалентна тому, что в данной
точке x = x(p, R) выполнено неравенство

ux x Hx
? 4. ()
u H?1 u ux
Для выполнения «глобального» закона спроса (см. Определение 31), необходимо и достаточно,
? ?
чтобы это неравенство было выполнено для всех x ? X , где X — область значений функции
спроса. Мы не станем приводить здесь доказательство данного утверждения (которое доста-
точно длинно и технично) и более точной его формулировки22 .
Отметим, что, прямая проверка выполнения сформулированного неравенства даже в слу-
чае двух товаров достаточно трудоемка, а в пространствах большей размерности вряд ли
представляется возможной, кроме как в простых случаях (например, когда предпочтения го-
мотетичны, см. задачу 148). Но оно может служить полезным источником для получения
достаточных условий выполнения закона спроса. В частности, в рамках сделанных предпо-
ложений, первое слагаемое отрицательно, поэтому закон спроса будет заведомо выполнен в
?
случае справедливости для всех x ? X следующего неравенства:
x H(x)x
? 4.
u(x) x
(Это условие можно использовать для решения задачи 147). Другое, еще более слабое, но более
?
удобное для проверки условие состоит в том, что ?H(x)x 4 u(x) для всех x ? X .
Уравнение Слуцкого (см. Теорему 31) можно записать в виде
?x ?h ?x
?
= x.
?p ?p ?R
Получаем, что изменение спроса вследствие дифференциально малого изменения цен dp равно
?x ?h ?x ?x
dp ? xdp = Sdp ?
dx = dp = xdp.
?p ?p ?R ?R
Данное уравнение указывает, что изменение спроса благо в результате бесконечно малого из-
менения цен dp можно разложить на две составляющие: эффект замены Sdp, и эффект дохода
?x
?R xdp. Для выяснения того, выполнен ли в данной точке закон спроса, следует изучить знак
?x
величины dp dx = dp Sdp ? dp ?R xdp. Как мы видели, первое слагаемое, соответствую-
щее эффекту замены, является неотрицательным. Таким образом, вывод зависит от величины
22
Заинтересованный читатель сможет найти эти сведения в книге В. М. Полтерович: Экономическое равно-
весие и хозяйственный механизм, М.: Наука, 1990, с. 69–77. Некоторый вариант этого утверждения в терминах
непрямой функции полезности можно найти в J. K. Quah: The Weak Axiom and Comparative Statics, Working
Paper, No. W15, Oxford: Nuffield College, 1999.
3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя 99
?x
dp ?R xdp, соответствующей эффекту дохода. В частности, если благо нормальное в том смыс-
?x
ле, что ?R > 0, то эффект дохода будет положительным, и, как следствие, будет выполнен
(локально) закон спроса.
Для приведенного разложения на эффект дохода и эффект замены можно предложить
аналог в случае, когда изменения цен не являются бесконечно малыми. Пусть, как и выше,
x0 — оптимальное решение задачи потребителя при ценах p0 и доходе R = p0 x0 , и цены
становятся равными p1 . Тогда разложение на эффект дохода и эффект замены при компен-
сирующем изменении дохода по Слуцкому будет иметь следующий вид:
?x = x1 ? x0 = [x1 ? x(p1 , p1 x0 )] + [x(p1 , p1 x0 ) ? x0 ].
Первое слагаемое соответствует эффекту дохода (изменению дохода с R = p0 x0 до p1 x0 ), а
второе слагаемое — эффекту замены. Аналогично, с использованием компенсирующего изме-
нения дохода по Хиксу получим следующее разложение:
?x = [x1 ? x(p1 , e(p1 , x0 ))] + [x(p1 , e(p1 , x0 )) ? x0 ].
Заметим, что еще два подобных разложения можно получить, поменяв в приведенных форму-
лах местами p0 и p1 (и, соответственно, x0 и x1 ). Таким образом, имеем четыре различных
естественных разложения на эффект дохода и эффект замены. Очевидно, что в пределе, при
малых приращениях, эти четыре разложения становятся идентичными.

3.3.2 Оценка изменения благосостояния.
В этом разделе мы приведем оценки изменения благосостояния потребителя при изменении
ситуации, в которой он осуществляет выбор, т.е. изменении цен p и доходов R.
Перед экономистами часто стоит задача оценить изменения в благосостоянии потребителей
при проведении мероприятий экономической политики. Рассмотрим две ситуации (до прове-
дения мероприятий экономической политики и после). В первой их них потребитель стал-
кивается с ценами p0 и доходом R0 , во второй — с ценами p1 и доходом R1 . Поскольку
рассматривается только выбор на классических бюджетных множествах, то здесь можно ис-
пользовать введенное ранее понятие непрямой функции полезности v(p, R). В то время как
обычная функция полезности u(x) соответствует оценке потребителем потребительских на-
боров x, непрямая функция полезности соответствует оценке потребителем самих ситуаций
выбора. Если v(p0 , R0 ) < v(p1 , R1 ), то вторая ситуация более благоприятна для потребителя,
а если v(p0 , R0 ) > v(p1 , R1 ), то менее благоприятна.
Вообще говоря, мы можем говорить лишь о направлении изменения благосостояния, а
не оценивать его величину. И, тем не менее, при расчетах издержек и выгод мероприятий
экономической политики пытаются получить количественные оценки таких изменений. При
этом используются так называемая непрямая денежная функция полезности.
Определение 34:
Непрямая денежная функция полезности µ(q; p, R) — это доход, который требуется, что-
бы при ценах q потребитель мог бы иметь тот же уровень полезности, что и при ценах p,
располагая доходом R, т. е. µ(q; p, R) = e(q, x(p, R)).

Другими словами, денежная непрямая полезность µ(q; p, R) определяется как непрямая
функция полезности для функции расходов e(q, x), рассматриваемой как функция полезности.
Опишем, как ее можно использовать и какие проблемы при этом возникают.
Непрямая денежная функция полезности определяется на основе некоторого (произволь-
ного) «эталонного» вектора цен q > 0. Оценка изменения благосостояния при этом будет
равна
?µ(q) = µ(q, p1 , R1 ) ? µ(q, p0 , R0 ) = e(q, x(p1 , R1 )) ? e(q, x(p0 , R0 )) = e(q, x1 ) ? e(q, x0 ),
3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя 100

где x0 — спрос потребителя в исходном состоянии, а x1 — спрос потребителя в новом со-
стоянии. Значение ?µ(q), вообще говоря, может быть различным для разных векторов q
и поэтому, соответствующие оценки изменения благосостояния содержат элемент субъекти-
визма. Исключением являются квазилинейные предпочтения (предпочтения, которые можно
описать квазилинейной функцией полезности).
В случае квазилинейности предпочтений все меры благосостояния эквивалентны с точ-
ностью до постоянного множителя, а в случае, когда цена последнего блага равна едини-
це (единица «квазилинейного» блага является единицей измерения, numeraire), они совпа-
дают. Покажем это, вычислив ?µ(q) для квазилинейной функции полезности u(x1 , . . . , xl ) =
s(x1 , . . . , xl?1 ) + xl в предположении, что pl = 1. Вспомним, что в этом случае непрямая
функция полезности имеет вид
l?1
v(p?l , 1, R) = s(x1 (p?l ), . . . , xl?1 (p?l )) + R ? pi xi (p?l ).
i=1

Пользуясь соотношениями двойственности, получаем, что функция расходов в случае ква-
зилинейных предпочтений??, как мы видели выше, имеет вид e(p, x) = u(x) ? s(x?l (p?l )) +
p?l x?l (p?l ). По определению непрямой денежной функции полезности µ(q, p, R) = e(q, x(p, R)),
поэтому
µ(q, p, R) = v(p, R) ? s(x?l (q?l )) + q?l x?l (q?l ).
Как видим, при любом фиксированном векторе цен q непрямая денежная функция полезности
совпадает с точностью до константы (зависящей от q) с той непрямой функцией полезности,
которая определяется естественной для квазилинейных предпочтений нормировкой. Отсюда
по определению ?µ(q) имеем

?µ(q) = µ(q, p1 , R1 ) ? µ(q, p0 , R0 ) = v(p1 , R1 ) ? v(p0 , R0 ).

В общем случае, когда значение ?µ(q) зависит от выбора q, естественными кандидатами
на роль вектора цен q представляются p0 и p1 (соответственно, цены в исходной ситуации,
до изменений, и цены после изменений). В первом случае получим меру изменения благососто-
яния, называемую эквивалентным изменением дохода (EV ), а во втором — меру изменения
благосостояния, называемую компенсирующим изменением дохода (CV ).
Определение 35:
Эквивалентное изменение дохода (эквивалентная вариация) — это такое приращение исход-
ного дохода, которое обеспечивает в исходного ценах тот же уровень благосостояния, что и
после изменений:
x(p0 , R0 + EV (p0 , R0 , p1 , R1 )) ? x(p1 , R1 ).

Несложно убедиться, что

EV (p0 , R0 , p1 , R1 ) = e(p0 , x1 ) ? R0 = ?µ(p0 ).

Действительно, доход, достаточный для того, чтобы при ценах p0 обеспечить данному потре-
бителю такой же уровень полезности, как и в ситуации после изменений (т. е. при ценах p1
и доходе R1 ), по определению непрямой денежной функции полезности равен µ(p0 , p1 , R1 ) =
e(p0 , x1 ). Поэтому требуемое изменение дохода по сравнению с исходным доходом R0 равно

e(p0 , x1 ) ? R0 = e(p0 , x1 ) ? e(p0 , x0 ) = µ(p0 , p1 , R1 ) ? µ(p0 , p0 , R0 ) = ?µ(p0 ),

где мы воспользовались тем, что если x0 — спрос потребителя при ценах p0 , то e(p0 , x0 ) = R0 .
3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя 101
Пример 22:
Пусть функция спроса и функция расходов потребителя равны
v v
p1 p2 ( x1 + a x2 )2
a2 Rp1
Rp2
x(p, R) = ; и e(p, x) =
p1 p2 + a2 (p1 )2 (p2 )2 + a2 p1 p2 p2 + a2 p1

соответственно. Найдем эквивалентную вариацию, отвечающую изменению цен от p0 = (2, 1)
до p1 = (1, 2) при условии, что доход оставался неизменным и был равен R. Непрямая денеж-
ная функция полезности для данного потребителя будет иметь вид

q1 q2 (p2 + a2 p1 )
µ(q, p, R) = R.
p2 p1 (q2 + a2 q1 )

Таким образом,

p0 p0 (p1 + a2 p1 )
12 2 1
EV (p0 , R, p1 , R) = µ(p0 , p1 , R) ? R = 1 p1 (p0 + a2 p0 ) R ? R.
p2 1 2 1

1?a2
Подставляя p0 = (2, 1) и p1 = (1, 2), получаем EV = R.
1+2a2

Определение 36:
Компенсирующее изменение дохода (компенсирующая вариация) — это такое уменьшение
дохода в новой ситуации, которое позволяет в новых ценах достигнуть уровень полезности
исходной ситуации:
x(p0 , R0 ) ? x(p1 , R1 ? CV (p0 , R0 , p1 , R1 )).

<< Предыдущая

стр. 22
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>