<< Предыдущая

стр. 23
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

По определению денежной непрямой функции полезности доход, достаточный для того,
чтобы при ценах p1 обеспечить данному потребителю такой же уровень полезности, как и в
ситуации до изменений (т. е. при ценах p0 и доходе R0 ), равен µ(p1 , p0 , R0 ) = e(p1 , x0 ). Кроме
того, µ(p1 , p1 , R1 ) = e(p1 , x1 ) = R1 . Поэтому компенсирующая вариация равна изменению
денежной непрямой функции полезности при q = p1 :

CV (p0 , R0 , p1 , R1 ) = e(p1 , x0 ) ? R1 = ?µ(p1 ),

Отметим, что введенное понятие компенсирующей вариации — это то же самое изменение
дохода, с которым мы сталкивались при рассмотрении закона спроса (см. ???).
Пример 23 (продолжение Примера 22):
В рассматриваемом случае при постоянном доходе компенсирующая вариация равна

p1 p1 (p0 + a2 p0 )
CV (p , R, p , R) = R ? µ(p , p , R) = R ? 0 2 1
1 2 1
0 1 0 1
0 (p + a2 p1 ) R.
p2 p1 2 1

(1?a2 )
При p1 = (1, 2) и p0 = (2, 1) компенсирующая вариация равна CV = R.
(2+a2 )

Рассмотрим соотношение между этими мерами изменения благосостояния в простом слу-
чае, когда изменяется только цена одного блага (случай, который интересует нас при анализе
последствий налогообложения): R0 = R1 = R, p0 > p1 , p0 = p1 = p?1 . Очевидно, что по-
?1 ?1
1 1
требитель при таком изменении не может ухудшить своего положения, поскольку множество
доступных ему потребительских наборов расширяется: v(p0 , R) v(p1 , R). Введем следующие
упрощенные обозначения:

EV = EV (p0 , R0 , p1 , R1 ), CV = CV (p0 , R0 , p1 , R1 ), x0 = x(p0 , R), x1 = x(p1 , R).
3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя 102

x2 x2
µ(p0 ,p1 ,R)
EV
R
R
CV
10
x1 x1
µ(p ,p ,R)
0 0
x x

x1 x1
R/p0 R/p1 R/p0 R/p1
1 1 1 1



Рис. 3.8. Эквивалентная и компенсирующая вариация при R0 = R1 = R, p0 > p1 , p0 = p1 = 1
1 1 2 2


Кроме того, поскольку в данном случае меняется только цена первого блага, с целью упро-
щения записи не будем в дальнейшем указывать остальные цены p?1 и доход R в качестве
аргументов функций.
Рис. 3.8 предлагает графическую иллюстрацию для эквивалентной и компенсирующей ва-
риаций в случае двух благ, когда цена второго блага равна единице (p0 = p1 = 1).
2 2
?e(p,x)
Проинтегрировав тождество ?p1 = h1 (p, x) (лемма Шепарда для теории потребления)
по цене первого блага от p1 до p0 , получим
1 1

p0
1
h1 (t, x)dt = e(p0 , x) ? e(p1 , x).
1 1
p1
1


Эквивалентную и компенсирующую вариации можно представить в аналогичном виде (как
уменьшение значения функции расходов для одной и той же кривой безразличия при падении
цены первого блага с p0 до p1 , см. Рис. 3.8):
1 1

EV = e(p0 , x1 ) ? R = e(p0 , x1 ) ? e(p1 , x1 ),
1 1 1

CV = R ? e(p1 , x0 ) = e(p0 , x0 ) ? e(p1 , x0 ).
1 1 1

Таким образом,
p0 p0
1 1
1
h1 (t, x0 )dt.
EV = h1 (t, x )dt, CV =
p1 p1
1 1

Как известно?? из курсов микроэкономики начального и промежуточного уровня, изменение
потребительского излишка вычисляется по формуле
p0
1
0 1
?CS = ?CS(p , p ) = x1 (t)dt.
p1
1


Из того, что p0 > p1 следует, что в данном случае все три величины неотрицательны (они
1 1
положительны, если спрос строго положителен):

EV 0, CV 0, ?CS 0.

Если эффект дохода неотрицателен (рассматриваемое благо — нормальное), то

h1 (t, x0 ) h1 (t, x1 ) при p1 p0 .
x1 (t) t
1 1

Докажем эти неравенства формально. Спрос потребителя на первое благо, если его це-
на равна t (где p1 p0 ) и доходе R равен x1 (t) = x1 (t, R). Пусть теперь доход по-
t
1 1
0 ). Несложно заметить, что доход потребителя уменьшился на
требителя стал равен e(t, x
3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя 103

неотрицательную величину CV (p0 , t) = R ? e(t, x0 ). В силу нормальности блага имеем, что
1
x1 (t, e(t, x0 )) x1 (t, R). Из соотношений взаимности имеем, что x1 (t, e(t, x0 )) = h1 (t, x0 ). Та-
ким образом, мы доказали левое из требуемых неравенств.
Аналогичным образом доказывается правое неравенство. Предположим, что доход потре-
бителя изменился с R до e(t, x1 ), т. е. увеличился на неотрицательную величину EV (t, p1 ) = 1
e(t, x1 ) ? R. При этом x1 (t, R) x1 (t, e(t, x1 )) = h1 (t, x1 ).

x2 x2


h(t,x1 )
h(p0 ,x0 )=x0
1
x(t) h(p1 ,x1 )=x1 x(t)
1
0
h(t,x )

x1 x1
h1 (t,x1 ) h1 (t,x0 ) x1 (t)
x1 (t)

Рис. 3.9. Соотношения между хисксианским и маршаллианским спросом, используемые при
доказательстве взаимосвязи эквивалентного, компенсирующего изменений дохода и
потребительского излишка

Эти неравенства (в случае двух благ) иллюстрирует Рис. 3.9.
Интегрируя доказанные неравенства по t от p1 до p0 , получаем, что имеет место соотно-
1 1
шение
CV ?CS EV.

Рис. 3.10 иллюстрирует это соотношение. Здесь CV = S(ABEF ), ?CS = S(ABDF ) (за-
штрихованная область), EV = S(ACDF ).

p1 h1 (p1 ,x1 )
C
B
A
p0
1


D
p1 x1 (p1 )
1
F E
h1 (p1 ,x0 ) x1


Рис. 3.10. Связь между потребительским излишком, эквивалентной и компенсирующей
вариациями


Пример 24 (продолжение Примеров 22 и 23):
Положим p1 = 1 до p0 = 1 в формулах для эквивалентной и компенсирующей вариации:
2 2


p1 (1 + a2 p0 ) p 0 ? p1
1 1
R= 0 1 1
CV = R ? 0 R,
2 p1 ) 2 p1 )
p1 (1 + a 1 p1 (1 + a 1

p0 (1 + a2 p1 ) p0 ? p 1
1 1
R?R= 1 1 1
EV = R.
1 (1 + a2 p0 ) 2 p0 )
p1 p1 (1 + a 1
1
3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя 104

Найдем также изменение потребительского излишка. Для этого требуется проинтегрировать
R
спрос на первое благо, равный x1 (p1 ) = p1 (1+a2 p1 ) . Как несложно проверить,

t 1
ln = .
1 + a2 t t(1 + a2 t)

С учетом этого
p0 p0 p1
1
1 1
? R ln
?CS = R x1 (t, 1, R)dt = R ln
1 + a2 p0 1 + a2 p1
p1 1 1
1

или
p0 (1 + a2 p1 )
1 1
?CS = R ln 1 (1 + a2 p0 ) .
p1 1
Можно заметить, что изменение потребительского излишка можно представить через эквива-
лентную и компенсирующую вариации следующим образом:

EV CV
= ?R ln 1 ?
?CS = R ln 1 + .
R R

При малых t верно приближение ln(1 + t) ? t, поэтому при малых изменениях цены все три
измерителя изменения благосостояния примерно равны. Кроме того, ln(1 + t) < t при t = 0,
поэтому, в подтверждение теории, выполнены неравенства CV < ?CS < EV .

В случае квазилинейных предпочтений (при достаточно большом доходе) отсутствует эф-
фект дохода для товара, который входит нелинейно. В этом случае записанные выше нера-
венства, связывающие маршаллианский и хиксианский спрос, выполняются как равенства и,
следовательно,
EV (p0 , p1 ) = ?CS(p0 , p1 ) = CV (p0 , p1 ).
Геометрически эта ситуация означает что все три кривые спроса, изображенные на диаграмме,
совпадают; следовательно, совпадают и три рассмотренные меры благосостояния.
Вообще говоря, полезности разных потребителей не сравнимы друг с другом, и их бес-
смысленно складывать. Однако на основе денежных мер изменения благосостояния можно
получать некоторые оценки мероприятий экономической политики.
Предположим, что существуют n потребителей с функциями полезности ui (xi ) и доходами
Ri . Пусть цены изменились с p0 до p1 . Пусть, кроме того, в результате этого изменения цен
суммарная величина компенсирующей вариации положительна, т. е.

CVi (p0 , Ri , p1 , Ri ) > 0.
i
1
Покажем, что существует такое перераспределение доходов {Ri }: i Ri i Ri ), что vi (p , Ri ) >
vi (p0 , Ri ) ?i, то есть, возможно компенсировать изменение цен каждому потребителю.
По определению компенсирующей вариации имеем, что

CVi (p0 , Ri , p1 , Ri ) = (Ri ? ei (p1 , xi (p0 , Ri ))) > 0
CV? =
i i

Мы можем выбрать Ri так, что Ri > ei (p1 , xi (p0 , Ri )) (достаточно взять Ri = ei (p1 , xi (p0 , Ri ))
+ CV? /n). Покажем, что в этом случае vi (p1 , Ri ) > vi (p0 , Ri ) ?i.
Воспользовавшись возрастанием непрямой функции полезности по доходу и свойством
двойственности между vi (·, ·) и ei (·, ·), получим

vi (p1 , Ri ) > vi (p1 , ei (p1 , xi (p0 , Ri ))) = vi (p0 , Ri ).
3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя 105

<< Предыдущая

стр. 23
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>