<< Предыдущая

стр. 24
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


Это можно интерпретировать следующим образом: мероприятие экономической политики, ха-
рактеризующееся положительной суммарной компенсирующей вариацией, может привести к
росту полезности всех затронутых потребителей, если дополнить его соответствующим пере-
распределением дохода23 . Однако следует отметить, что данная интерпретация предполагает,
что такое перераспределение доходов не вызовет изменения цен. В рамках концепции общего
равновесия, такое предположение оказываются, вообще говоря, некорректным.


3.3.3 Задачи

 137. Выведите формулы (?) и (??) (см. с. 92).
 138. Покажите, что если блага комплементарны ??/не определено/, то эффект замены отсут-
ствует, а если предпочтения квазилинейны (для спроса на благо, уровень полезности которого
нелинейно зависит от потребления этого блага) то отсутствует эффект дохода.
 139. Покажите, что если функция полезности аддитивно-сепарабельна и строго монотонна,
то в экономике не будет взаимодополняемых ??/не определено/ товаров
 140. Во вводных курсах микроэкономики обычно вводят следующее определение благ-заме-
нителей и комплементарных благ (в терминах функций спроса Маршалла):
«Благо 1 называется субститутом блага 2, если ?x1 < 0».
2
?p
«Благо 1 называется комплементарным для блага 2, если ?x1 > 0».
2
?p
(a) Покажите, что такое определение ведет к парадоксам. Например, возможна ситуация,
когда благо 1 является субститутом блага 2, а обратное неверно.
(b) Покажите также, что, аналогичные определения в терминах функции спроса Хикса
(приведите их) свободны от парадоксов такого типа.
 141. Покажите, что любой товар Гиффена является малоценным. Справедливо ли обрат-
ное?
 142. Могут ли все блага быть малоценными, если предпочтения локально ненасыщаемы?
 143. Пусть все исходные данные те же, что и в Примере 21. Укажите геометрическое место
точек, среди которых может находиться спрос потребителя, обладающего квазилинейными
предпочтениями.
 144. В экономике присутствует два товара. Потребитель имеет локально ненасыщаемые
3R
предпочтения. Функция спроса на первый товар имеет вид x1 (p, R) = 3p1 +4vp1 p2 . Найдите
компенсирующее изменение дохода по Слуцкому при p = (1, 1), p = (1, 4) и R = 121.
 145. Пусть непрямая функция полезности некоторого потребителя имеет вид v(p, R) =
R
min{p1 ,p2 } . Найдите компенсирующее изменение дохода по Хиксу при p = (1, 1), p = (1, 4) и
R = 121.
 146. Пусть потребитель имеет однородную первой степени функцию полезности. При ценах
p = (1, 1) и доходе R = 5 его функция спроса была равна x(p, R) = (2, 3).
(a) Определите геометрическое место точек, которые могут представлять спрос потребите-
ля, если на покупку первого товара ввели налог в размере 20% от цены, а доход потребителя
остался неизменным.
(b) Налог на доход потребителя??? изменился с 20 до 40 процентов. Ответьте на тот же
вопрос.
 147. Пусть функция полезности потребителя аддитивно-сепарабельна, то есть имеет вид
u(x) = l ui (xi ). Кроме того, предположим, что каждое слагаемое ui (xi ) положительно
i=1
однородно степени ?i 0. Покажите, что спрос данного потребителя удовлетворяет закону
спроса.
23
Ср. с Теоремой 80 в гл. 6 на с. 223.
3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя 106

 148. Пусть набор x является внутренним в потребительском множестве, и является спросом
потребителя при некоторых ценах и доходе.
(a) Докажите, используя уравнение Эйлера, что если предпочтения потребителя задаются
положительно однородной степени ? (0 < ? < 1) функцией полезности, то левая часть в
неравенстве ( ) равна нулю.
(b) Дайте интерпретацию полученных результатов в их связи с законом спроса.
(c) Докажите, пользуясь предыдущими результатами, что если предпочтения потребите-
ля задаются положительно однородной первой степени функцией полезности, принимающей
положительные значения, то выполнен закон спроса.
 149. Проверьте выполнение упоминавшихся в данном параграфе достаточных условий зако-
на спроса в случае функции полезности вида

1
u(x) = ? x Ax + b x,
2

где A — симметричная положительно определенная матрица.
 150. Функция полезности Андрея Экономова, u(·), зависит от потребления двух благ. Его
доход — R0 д. е., цена первого и второго блага — 1 д. е. Его шефы предлагает ему работу
без изменения заработной платы в филиале фирмы в другом городе, где цена первого блага
такая же, а цена второго в два раза выше. Экономов еще в университете познакомился с
понятием компенсирующей и эквивалентной вариации. Оценив предложение, он ответил, что
в принципе он не против, но переезд для него означал бы потерю в доходе в A д. е. Однако,
он готов принять предложение, если его зарплата возрастет на B д. е. Чему равны A и B ?
(a) Решите задачу при u(x) = min{x1 , x2 } и R0 = 240.
(b) Решите задачу при u(x) = 4x1 x2 и R0 = 10.
 151. Николай Здоровяков потребляет только два блага — кофе и сигареты, причем мо-
жет потреблять их только так, чтобы на чашку кофе приходилось три сигареты. Цена чашки
кофе — 9 д. е., а цена сигареты — 2 д. е. Доход Николая составляет 180 д. е. в день. Пра-
вительство ввело 50%-й налог на сигареты. Найдите изменение потребительского излишка,
компенсирующую и эквивалентную вариации. Сравните их (по абсолютной величине) с нало-
говыми доходами правительства, полученными от Николая.
 152. На потребление одного из благ (первое) введен налог, так что цена блага для потреби-
теля для потребителя стала равной p1 + t, где p1 — исходная рыночная цена. Цены остальных
благ и доход потребителя остались неизменными. Пусть EV — эквивалентная вариация, свя-
занная с соответствующим увеличением цены блага, а T — поступление от налога, x1 (p1 ) —
функция спроса.
(a) Объясните, почему величину ?EV ? T можно назвать чистыми потерями от налога.
(b) Запишите формулы для EV и T и покажите, что чистые потери неотрицательны.
(c) Предложите аналогичный измеритель чистых потерь, основанный на компенсирующей
вариации. Совпадают ли эти два измерителя?
 153. не по теме задача?? Предположим, что первое благо доступно лишь в дискретных
количествах, а второе благо — деньги (используемые на приобретение других благ), и функция
полезности квазилинейна: u(x) = v(x1 ) + x2 . Пусть, далее, ri — резервная цена приобретения
i-ой единицы первого блага и определяется соотношением

u(i ? 1, x2 ? (i ? 1)ri ) = u(i, x2 ? iri ).

(a) Покажите, что если потребитель приобретает n единиц первого блага, то цена p1 на
него удовлетворяет соотношению: rn p1 rn?1 . При каких условиях верно и обратное
утверждение?
3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя 107
i,
(b) Покажите, что если v(0) = 0, то v(n) = ir а потребительский излишек

CS = v(n) + R ? p1 n

совпадает с «чистой» выгодой от приобретения первого блага
(c) Покажите, что потребительский излишек совпадает с суммой компенсации, при которой
потребитель готов полностью отказаться от потребления первого блага (увеличив тем самым
потребление второго блага на величину компенсации).
 154. Сформулируйте определение компенсирующей, эквивалентной вариаций и потребитель-
ского излишка непосредственно в терминах функции спроса и функции полезности ?? и вы-
числите на этой основе их величины при l = 2, R0 = R1 = 100, p0 = (1, 1), p1 = (2, 1), когда. . .
(a) предпочтения представимы квазилинейной функцией полезности;
(b) блага абсолютно заменимы;
(c) блага комплементарны;
(d) предпочтения описываются функцией Кобба — Дугласа.
 155. Проделайте то же, что и в предыдущей задаче, в случае, когда цена на первое благо
падает (R0 = R1 = 100, p0 = (0,5, 1), p1 = (1, 1)). Сравните результаты.
 156. В ситуациях, рассмотренных в двух предыдущих задачах, проиллюстрируйте на графи-
ке поведение кривых спроса (на первое благо) Хикса и Маршалла, и укажите соответствующие
фигуры, площади которых измеряют компенсирующую, эквивалентную вариацию и потреби-
тельский излишек.
 157. В экономике есть два блага. Цена второго блага и доход потребителя остаются неиз-
менными.
(a) Для заданной на плоскости (x1 , p) системы кривых спроса Хикса на первое благо изоб-
разите возможное положение кривых спроса Маршалла на это благо.
(b) Укажите на графике соответствующие компенсирующую, эквивалентную вариацию и
потребительский излишек при (i) падении и (ii) росте цены первого блага.
(c) Каковы соотношения между величинами компенсирующей, эквивалентной вариаций
и потребительского излишка в разных ситуациях, различающихся типом благ (нормальное/
малоценное благо) и характером изменения цен (падение/рост)?
 158. Пусть в экономике присутствует два товара. В результате некоторого мероприятия эко-
номической политики изменилась цена первого блага. При этом цена второго блага и доход
потребителя остались неизменными. Как соотносятся компенсирующая, эквивалентная вари-
ации и потребительский излишек в случае если. . .
(a) цена первого блага выросла и первый товар нормальный;
(b) цена первого блага выросла и первый товар — товар Гиффена;
(c) цена первого блага упала и первый товар малоценный;
(d) цена первого блага упала и первый товар — товар Гиффена?
Докажите соответствующие неравенства.
 159. Покажите, что при изменении одной цены ?CS обладает свойством аддитивности.
 160. [Laffont] Предположим, что цена на все блага, кроме первого, постоянна, доход посто-
янен и равен R0 , а цена первого блага меняется с p0 до p1 . Спрос потребителя таков, что
1 1
эластичность спроса на первое благо по доходу постоянна и равна ? .
(a) Проинтерпретируйте условие постоянства эластичности спроса по доходу как диффе-
ренциальное уравнение для спроса (рассматриваемого как функция дохода). Решите это урав-
нение и покажите, что
?
R
0
x1 (p1 , R) = x1 (p1 , R ) .
R0
3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя 108

(b) Объясните, почему из леммы Шепарда следует следующее дифференциальное уравне-
ние для функции расходов (рассматриваемой как функция цены первого блага):

?e
= x1 (p1 , e).
?p1

Подставив в это дифференциальное уравнение соотношение из пункта (a), решите его, исходя
из того, что ? < 1, и покажите, что

e(p0 , x)1?? ? e(p1 , x)1?? = (1 ? ?)(R0 )?? ?CS,
1 1

p0
где ?CS = p11 x1 (t, R0 )dt — изменение потребительского излишка, связанное с рассматрива-
1
емым изменением цены первого блага.
(c) Выразите e(p0 , x1 ) и e(p1 , x1 ) через R0 и эквивалентную вариацию, связанную с рас-
1 1
сматриваемым изменением. Покажите, что при ? < 1 эквивалентная вариация является функ-
ций эластичности, дохода и изменения потребительского излишка следующего вида:
1
1?? 1??
0
? R0 .
EV = R 1+ ?CS
R0

(d) Получите аналогичную формулу для компенсирующей вариации при ? < 1, выразив
для этого e(p0 , x0 ) и e(p1 , x0 ) через R0 и компенсирующую вариацию.
1 1
(e) Получите формулы для эквивалентной и компенсирующей вариаций при ? = 1.
 161. [Laffont] Предположим, что цена на все блага, кроме первого, постоянна, доход посто-
янен и равен R0 , а цена первого блага меняется с p0 до p1 . Непрямая функция полезности
1 1
потребителя имеет форму Гормана

v(p, R) = a(p) + b(p)R.

(a) Записав определение компенсирующей вариации CV с помощью непрямой функции
полезности, покажите, что

v(p1 , R0 ) ? v(p1 , R0 ? CV ) = v(p1 , R0 ) ? v(p0 , R0 ).
1 1 1 1

Выведите отсюда формулу
R0 p0
?v(p1 , R) ?v(t, R0 )
1
1 0
dR = x1 (t, R ) dt,
?R ?R
p1
R0 ?CV 1


воспользовавшись тождеством Роя.
(b) Приняв во внимание форму непрямой функции полезности, покажите, что

p0 b(t)
1
x1 (t, R0 )
CV = dt.
b(p1 )
p1 1
1


?? ??
(c) Применяя тождество Роя и меняя порядок дифференцирования ( ?p1 ?R = ), по-
?R ?p1
кажите, что для непрямой функции полезности указанного вида выполнено

?b(p1 ) ?x1 (p1 , R)
=? b(p1 ).
?p1 ?R
p1 ?x1 (t,R0 )
b(p1 )
dt.
Решите соответствующее дифференциальное уравнение и выразите через p1
b(p1 ) ?R
1
1
3.A. Дифференцируемость функций спроса 109

(d) Покажите, пользуясь предыдущими результатами, что компенсирующая вариация вы-
числяется по следующей формуле Сида:
p0 ?x1 (t, R0 )
p1
1
dt x1 (p1 , R0 )dp1 .
exp ?
CV =
?R
p1 p1
1 1


(e) Покажите, что если в рассматриваемом случае эластичность спроса на первое благо по
доходу постоянна и равна ? , то формула Сида примет вид:

R0 ? ?0 ?CS
1?e R
CV = .

<< Предыдущая

стр. 24
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>