<< Предыдущая

стр. 25
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?

Подсказка: Введите обозначение
p1
?CS(p1 , p1 ) x1 (t, R0 )dt
I(p1 ) = =
1
p1
1


и воспользуйтесь тем, что x1 (p1 , R0 ) = I (p1 ).
(f) С использованием формулы, выведенной в предыдущем пункте, продемонстрируйте,
что компенсирующая вариация и потребительский излишек должны совпадать в случае ква-
зилинейных предпочтений.


Приложение 3.A Дифференцируемость функций спроса
В этом приложении мы приведем условия (в терминах свойств функции полезности), га-
рантирующие дифференцируемость функции спроса и связанных с ней функций, характери-
зующих поведение потребителя.
Теорема 37:
Пусть X = Rl и пусть, кроме того,
+
• функция полезности u(·) дважды непрерывно дифференцируема на Rl ; ++
• u(x) = 0 при всех x > 0;
• матрица вторых частных производных функции полезности H(x) является отрица-
тельно определенной при всех x > 0;
• спрос потребителя положителен (x(p, R) > 0) при всех ценах при p ? Rl и доходах
++
R > 0.
Тогда,
(i) функция маршаллианского спроса x(p, R) и непрямая функция полезности v(p, R)
непрерывно дифференцируемы по ценам и доходу при p ? Rl , R > 0;
++
(ii) функция хиксианского спроса h(p, x) и функция расходов e(p, x) непрерывно диф-
ференцируемы по ценам и x при p ? Rl , x ? Rl .
++ ++



Доказательство: Как было показано в пункте 3.1.2, приведенные предположения гарантируют,
что условия Куна — Таккера являются необходимыми и достаточными условиями того, что
внутренний потребительский набор является решением задачи потребителя. Также было по-
казано, что при выполнении этих условий множитель Лагранжа положителен. Таким образом,
потребительский спрос при ценах p и доходе R определяется следующими уравнениями:

u(x) ? ?p = 0;
px ? R = 0.
3.B. Выявленные предпочтения в модели потребителя 110

По теореме о неявной функции (см. Приложение ??) функция спроса x(p, R) и множитель
Лагранжа как функция цен и дохода ? = ?(p, R) будут непрерывно дифференцируемыми,
если матрица
H(x(p, R)) p
,
p 0
является невырожденной. Невырожденность этой матрицы при ценах p и доходе R эквива-
лентна невырожденности матрицы

H(x) u(x)
?
H=
u(x) 0

при x = x(p, R) (см. задачу 177).
?
Покажем, что при сделанных нами предположениях матрица H является невырожденной.
Предположим противное. Тогда существует такой вектор y и число z , что Hy + z u(x) = 0
и u(x)y = 0, где (y, z) = 0. Случай y = 0 и z = 0 невозможен, поскольку u(x) = 0.
Если же y = 0, то y Hy + y u(x) z = y Hy = 0, что противоречит тому, что матрица H
отрицательно определенная.
Таким образом, доказано, что функция маршаллианского спроса и множитель Лагранжа
? являются непрерывно дифференцируемыми по ценам и доходу. Поскольку непрямая функ-
ция полезности определяется как v(p, R) = u(x(p, R)), а функция полезности и функция
спроса непрерывно дифференцируемы, то непрямая функция полезности непрерывно диффе-
ренцируема по ценам и доходу. В силу свойств взаимности v(p, e(p, x)) = u(x). С учетом
монотонности непрямой функции полезности по доходу и непрерывной дифференцируемости
непрямой функции полезности имеем непрерывную дифференцируемость функции расходов
по ценам. Наконец, в силу соотношения x(p, e(p, x)) = h(p, x), непрерывной дифференцируе-
мости функции спроса по доходу и непрерывной дифференцируемости функции расходов по
ценам имеем непрерывную дифференцируемость хиксианского спроса по ценам.
В задаче 178 читателю предлагается доказать непрерывную дифференцируемость функции
расходов и хиксианского спроса по x.

Отрицательная определенность матрицы Гессе функции полезности (и, являющаяся след-
ствием строгая вогнутость функции полезности) в этой теореме является слишком ограничи-
тельным условием, не имеющим содержательной экономической интерпретации. Это условие
несложно заменить на более слабое, некоторый вариант квазивогнутости функции полезности
(см. задачу 180).


Приложение 3.B Выявленные предпочтения в модели
потребителя
Рассмотрим потребителя, в основе выбора которого лежат неоклассические предпочтения.
Предположим, что при некоторых ценах p потребитель выбрал набор x , и для некоторого
допустимого набора x ? X выполнено p x p x . Набор x был доступен в данной ситуации
выбора, поэтому если бы он был лучше x , то это бы противоречило рациональности потре-
бителя. Поэтому должно быть выполнено x x . Таким образом, если при ценах p выбран
набор x и выполняется соотношение p x p x , то это означает, что набор x выявленно не
хуже, чем набор x .
Пусть, далее, при ценах p потребитель выбрал набор x , а при ценах p потребитель
p x . Если для некоторого допустимого набора x ? X вы-
выбрал набор x , причем p x
полнено p x p x , то должно быть выполнено x x , поскольку x x и x x . Если
3.B. Выявленные предпочтения в модели потребителя 111

бы при этом выполнялось p x p x , то из этого непосредственно бы следовало x x.В
этом случае можно сказать, что x непосредственно выявленно не лучше, чем x . В противном
случае (p x > p x ) требуется проводить рассуждения по цепочке. В этом случае x косвенным
образом (через посредство x ) выявленно не лучше, чем x .
Рис. 3.11 иллюстрирует случай косвенного выявления предпочтений. На рисунке p x <
p x , и поэтому x x , p x < p x , и поэтому x x . Следовательно, x x . Однако,
мы не можем установить этот факт сразу, поскольку x не попадает в бюджетный треуголь-
ник, заданный сочетанием (p , x ).


x2



x



x
x
x1


Рис. 3.11. Косвенное отношение выявленного предпочтения

При локальной ненасыщаемости предпочтений если для некоторого допустимого набора
x выполнено строгое неравенство p x < p x , то должно быть выполнено x x . Поскольку
x x , то достаточно показать, что x ? x невозможно. Действительно, можно найти такую
окрестность набора x, что любой набор из нее можно купить, имея доход p x (это следует
из непрерывности функции p x). В этой окрестности набора x по локальной ненасыщаемости
?
можно найти набор x , который лучше x, и, следовательно, эквивалентного ему набора x .
? ?
Получаем x x и p x < p x , но это невозможно при рациональности потребителя. Соотно-
шение p x < p x , таким образом, означает, что набор x выявленно лучше набора x 24 .
Несложно распространить эти рассуждения на случай произвольного количества наблюде-
ний за ценами и поведением потребителя при этих ценах. Рассмотрим (pi , xi ), i = 1, . . . , n,
где pi — это вектор цен, а xi — выбранный при этих ценах потребительский набор.
Если имеется цепочка pi xj pi xi , pj xk pj xj , . . ., pr xq pr xr для подмножества
нашего набора данных, i, j, k, . . . , q, r , то должно выполняться xi xj xk · · · xq xr . В
этом случае набор xi выявленно не хуже, чем набор xr . Такое определение подразумевает, что
xi может быть непосредственно (если цепочка включает только xi и xr ) или же косвенно (если
цепочка более длинная) выявленно не хуже, чем набор xr . Это многошаговый (усиленный)
вариант выявленного отношения предпочтения. Мы будем использовать именно усиленный
вариант и обозначать его xi xr .
Если имеется цепочка pi xj pi xi , pj xk pj xj , . . ., pr xq pr xr , где одно из неравенств
строгое, то должно быть xi xr . Т. е. здесь набор xi выявленно лучше набора xr . Здесь
(и ниже) мы используем термин «выявленно лучше» тоже в усиленном смысле. Мы будем
обозначать это усиленное отношение через xi xr .




24
Другой классический вариант строгого отношения выявленного предпочтения основан на свойствах предпо-
чтений, гарантирующих единственность оптимального набора в задаче потребителя. При однозначности выбора
p x p x , означает, что набор x выявленно лучше набора x , если эти два набора не совпадают.
3.B. Выявленные предпочтения в модели потребителя 112

3.B.1 Оценки для верхнего лебеговского множества
Как следует из предыдущего обсуждения выявленных предпочтений, для произвольного
допустимого потребительского набора x ? X , имея совокупность данных (pi , xi ), i = 1, . . . , n,
мы в некоторых случаях можем сказать, что он выявленно не лучше или выявленно хуже
набора xi из наших данных (xi x и xi x соответственно). Это позволяет получать
+ (xi ) (множеств наборов, которые не хуже, чем xi ). Построим
оценку сверху для множества L
?
множество L+ (xi ) из всех таких наборов, которые не являются выявленно худшими, чем xi .
?
Тогда, очевидно, выполнено L+ (xi ) ? L+ (xi ). Т. е. настоящее верхнее лебеговское множество
будет лежать внутри нашей оценки.
На Рис. 3.12 показано, как можно по данным (p , x ), (p , x ), (p , x ) получить указанную
?
оценку L+ (x ). Здесь x выявленно лучше, чем x и x , поэтому требуется отсечь все точки,
которые лежат хотя бы в одном из трех бюджетных треугольников p x < p x , p x px
или p x p x .

x2
p



x
p

p

x
x x1


Рис. 3.12. Оценка сверху для верхнего лебеговского множества

Если не привлекать дополнительную информацию о виде предпочтений, то оценка снизу
для верхнего лебеговского множества будет состоять из тех наблюдаемых наборов, которые
выявленно не хуже данного набора. Так на Рис. 3.12 мы знаем только, что x ? L+ (x ). О
множестве L+ (x ) мы можем сказать только, что ему принадлежат x , x и x .
Если предположить, что предпочтения выпуклы, то оценка снизу будет включать не только
сами выявленно лучшие точки, но и их выпуклую оболочку. Например, на Рис. 3.12 L+ (x )
будет включать треугольник с вершинами в x , x и x .
Если предположить, что предпочтения монотонны, то вместе с каждой точкой xj , которая
выявленно не хуже (xj xi ), оценка снизу для L+ (xi ) должна включать и точки, которые
лучше, чем xj , по монотонности, т. е. наборы из множества xj + Rl . +
В предположении выпуклости и монотонности предпочтений оценка снизу для L+ (xi )
должна включать вместе с каждой точкой xj , которая выявленно не хуже xi , также и множе-
ство xj + Rl , и, кроме того, она должна включать все выпуклые комбинации таких множеств
+
(см. Рис. 3.13).

Рационализация. Теорема Африата25 .
3.B.2
Мы рассмотрели получение по совокупности данных (p1 , x1 ), . . . , (pn , xn ) оценки для мно-
жества L+ (xi ) для одного из наборов, xi . Можно поставить более сложную задачу рацио-
25
См. S. N. Afriat: The Construction of a Utility Function from Expenditure Data, International Economic
Review 8 (1967): 67–77; A. Fostel, H. E. Scarf, and M. J. Todd: Two New Proofs of Afriat’s Theorem, Economic
Theory 24 (2004): 211–219
3.B. Выявленные предпочтения в модели потребителя 113

x2




x




x
x x1


Рис. 3.13. Оценка снизу для верхнего лебеговского множества L+ (x )


нализации данного набора наблюдений: найти предпочтения, которые могли бы порождать
такие наблюдения. Ясно, что такая задача не имеет однозначного решения, но хотелось бы
получить хотя бы одно подходящее решение. Если мы не уверены, что данные получены на ос-
нове рационального выбора, то решения у данной задачи может не быть. Поэтому желательно
иметь алгоритм, с помощью которого можно было бы определить, можно ли рационализовать
имеющиеся данные.

, , ? на X рационализуют наблюдения за вы-
Неоклассические предпочтения
1 , x1 ), . . . , (pn , xn ) (xi ? X ?i), если xi
бором (p x для всех i = 1, . . . , n и всех
x ? X , таких что pi x pi xi .

Это уточнение Определения 16 для случая потребительского выбора. При этом потреби-
тель выбирает из бюджетного множества. Неявно предполагается, что предпочтения локально
ненасыщаемы, так что если при ценах pi был выбран набор xi , то доход потребителя был ра-
вен pi xi .
Предположим, что мы имеем цепочку наборов i, j, k, . . . , r и опять i, такую что pi xj
pi xi , pj xk pj xj , . . . , pr xi pr xr . Другими словами, в этой цепочке по кругу каждый набор
непосредственно выявленно не хуже последующего. В этой цепочке ни одно неравенство не
может быть строгим. Действительно, например, pr xi < pr xr влекло бы xi xi , т. е. xi xi
(набор лучше самого себя), что невозможно. Невозможность существования подобных цик-
лов, т. е. невозможность того, чтобы набор по цепочке был выявленно лучше самого себя, по
аналогии с общим определением, данным в гл. 2 (Определение 17 на с. 47) следует назвать
обобщенной аксиомой выявленных предпочтений (GARP).Таким образом, имеем следующую
переформулировку GARP для модели поведения потребителя26 :

<< Предыдущая

стр. 25
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>