<< Предыдущая

стр. 26
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Совокупность данных (p1 , x1 ), . . . , (pn , xn ) удовлетворяет обобщенной аксиоме вы-
явленных предпочтений, если не существует циклов вида pi xj pi xi , pj xk pj xj ,
. . ., pr xi pr xr , где одно из неравенств строгое.

Найти предпочтения, рационализующие набор данных, можно только тогда, когда он удо-
влетворяет требованиям обобщенной аксиомы выявленных предпочтений. Теорема 12 гл. 2 (см.
26
Данное требование впервые было сформулировано в несколько более слабом виде Хаутеккером (см.
H. S. Houthakker: Revealed Preference and the Utility Function, Economica, 17 (1950): 159–174) в предположе-
нии, что выбор потребителя однозначен, и получило название «усиленной аксиомы выявленных предпочтений»
(SARP). Ср. со сноской 39 на с. 50, где сравниваются две формулировки «слабой аксиомы выявленных предпо-
чтений» (Самуэльсона и Эрроу). GARP в приведенном здесь виде сформулирована Африатом под названием
«цикличекая непротиворечивость».
3.B. Выявленные предпочтения в модели потребителя 114

с. 47) демонстрирует, как при выполнении GARP сконструировать предпочтения на конечном
множестве точек {xi }i=1,...,n . Если множество допустимых наборов X более широкое, то нуж-
но каким-то образом непротиворечиво распространить найденные предпочтения на остальные
наборы из X .
Теорема Африата предлагает такое продолжение предпочтений на все множество X . Более
того, согласно этой теореме, тот факт, что наблюдаемый выбор удовлетворяет GARP, экви-
валентен существованию «хорошей» функции полезности, рационализующей данный выбор.

Теорема 38 (теорема Африата):
Набор данных удовлетворяет GARP, тогда и только тогда, когда существует кусочно-
линейная, непрерывная и вогнутая функция полезности, которая их порождает.

Доказательство: То, что это необходимое условие, мы уже видели. Нетривиальным утвержде-
нием здесь является достаточность.
Предположим, что мы сконструировали предпочтения на множестве точек {xi }i=1,...,n так,
что выполнены необходимые условия рациональности

xi xj ? xi xj ,
xi xj ? xi xj ,

и отсортировали свой набор данных согласно этим предпочтениям так, что x1 x2 · · · xn .
Введем обозначения aij = pi (xj ? xi ). Выполнение неравенства aij ? 0 означает, что
xi xj , если же неравенство строгое, то xi xj .
Для упрощения доказательства мы предположим, что aij = 0 при i = j , т. е. что в наших
данных нет совпадений, и на каждой бюджетной гиперплоскости pi x лежит только один из
наблюдаемых наборов — xi . Теорема верна и без этого предположения, но оно несколько
упрощает рассуждения.
Чтобы доказать теорему, следует доказать, что существует набор чисел u1 , . . . , un и ?1 , . . . ,
?n > 0, которые бы удовлетворяли следующей системе линейных неравенств (назовем их
неравенствами Африата):
uj ui + ?i aij для всех i, j.
или, тaк как ajj = 0,
uj + ?j ajj ui + ?i aij для всех i, j.
Если такие числа найдутся, то функцию полезности можно построить по формуле

u(x) = min{ui + ?i pi (x ? xi )}.
i

Несложно проверить, что ui — значение этой функции в точке xi :

u(xj ) = min{ui + ?i pi (xj ? xi )} = min{ui + ?i aij } = uj + ?j ajj = uj .
i i

Далее, для любого набора xj из нашей совокупности, если для произвольного вектора x вы-
полнено соотношение pj x pj xj , то u(x) u(xj ). Действительно,

uj + ?j pj (x ? xj ) uj = u(xj ).
u(x)

Первое неравенство здесь следует из определения u(x), а второе — из положительности ?j .
Тем самым, как мы видим, существование решения неравенств Африата гарантирует суще-
ствование «хорошей» функции полезности, которая могла бы породить эти данные (любой
набор, доступный в i-й ситуации выбора не лучше xi по этой функции полезности).
3.B. Выявленные предпочтения в модели потребителя 115

Доказательство существования решения неравенств Африата проведем по индукции. При
n = 1 величины u1 и ?1 можно выбрать произвольным образом; требуется только, чтобы
?1 > 0.
Пусть существуют u1 , . . . , un?1 и ?1 , . . . , ?n?1 > 0, являющиеся решением неравенств Аф-
риата для наборов i = 1, . . . , n ? 1. Найдем решение в случае n наборов.
Выберем un так, чтобы

un {ui + ?i pi (xn ? xi )} = {ui + ?i ain }.
min min
i=1,...,n?1 i=1,...,n?1

Затем выберем ?n так, чтобы

uj un + ?n anj для j = 1, . . . , n ? 1.

Требуется показать, что такое ?n существует.
Наборы упорядочены так, что среди x1 , . . . , xn?1 нет ни одного, который был бы выявленно
хуже, чем xn . Поэтому pn xj > pn xn при j = 1, . . . , n ? 1, т. е. anj = pn (xj ? xn ) > 0 при
j = 1, . . . , n ? 1. (Как сказано выше, мы делаем упрощающее предположение aij = 0 при
i = j .) Поскольку anj > 0 при j = 1, . . . , n ? 1, то найдется достаточно большое ?n , которое
бы удовлетворяло всем этим неравенствам27 . Это такое ?n , что
uj ? un
n
? max .
anj
j=1,...,n?1

Таким образом, мы доказали по индукции, что неравенства Африата имеют решение, и
тем самым доказали, что u(x) рационализует наблюдаемый выбор.
В формуле
u(x) = min{ui + ?i pi (x ? xi )}.
i

каждая из функций ui + ?i pi (x ? xi ) является линейной, а потому непрерывной и вогнутой.
Следовательно, их поточечный минимум u(x) — кусочно-линейная, непрерывная и вогнутая
функция.

?
Поясним смысл неравенств Африата. Пусть x — решение задачи потребителя при ценах
? ??
p и доходе px . Соответствующая функция Лагранжа задачи потребителя имеет вид

L(x, ?) = u(x) + ?? (? ? x).
px
?
?
Если выполнены условия регулярности ( p = 0), то существует множитель Лагранжа ? 0,
x?
такой что (? , ?) — седловая точка функции Лагранжа. (Если предпочтения локально ненасы-
? ?p x
щаемы, то здесь ? > 0.) Отсюда следует, что x максимизирует функцию u(x)+?? (? ?x). Поль-
?
зуясь этим условием, получаем, что если существует функция полезности u(·), которая рацио-
нализует имеющиеся наблюдения, то xi должен максимизировать функцию u(x)+?i pi (xi ?x)
при некотором множителе Лагранжа ?i > 0. В частности, при x = xj должно быть выполнено

u(xi ) = u(xi ) + ?i pi (xi ? xi ) u(xj ) + ?i pi (xi ? xj ).



Замечание: Если дополнительно предположить, что pi > 0 при всех i, и X = Rl , то функция
+
u(x), определяемая данной теоремой, является также строго монотонной, поскольку строго
монотонна каждая из функций ui + ?i pi (x ? xi ). Соответственно, u(x) будет также локально
ненасыщаемой.
27
Если бы здесь anj = 0 при каком-то j , то не всегда можно было бы добиться выполнение данных неравенств
увеличением ?n .
3.B. Выявленные предпочтения в модели потребителя 116

Замечание: Следствием этой теоремы является то, что непрерывность, монотонность и вогну-
тость функции полезности (непрерывность, монотонность и выпуклость предпочтений) нельзя
опровергнуть на основе конечного набора данных о выборе потребителя на бюджетных мно-
жествах.

Замечание: То, что теорема Африата основана на конструировании «хорошей» функции по-
лезности, ни в коем случае не означает, что данные нельзя рационализовать какой-то другой
функцией, не обладающей указанными свойствами.



3.B.3 Задачи
 162. Индивидуум при ценах (4, 6) выбирает набор (6, 6), а при ценах (6, 3) он выбирает
набор (10, 0). Удовлетворяют ли эти наблюдения аксиоме выявленных предпочтений?
 163. При ценах (1, 4) выбор потребителя был (2, 3). Какой из следующих наборов выявленно
лучше, чем этот набор: (a) (5, 2), (b) (8, 1), (c) (15, 0)?
 164. При ценах (2, 1) выбор потребителя был (2, 2). Какой из следующих наборов выявленно
лучше, чем этот набор: (a) (1, 5), (b) (5, 0), (c) (0, 5)?
 165. Совместимы ли с моделью рационального поведения с локально ненасыщаемой функ-
цией полезности следующие наблюдения за рыночным поведением потребителя:

x(10, 10, 10) = (10, 10, 10); x(10, 1, 2) = (9, 25, 15/2); x(1, 1, 10) = (15, 5, 9)

(т. е. спрос при ценах (10, 10, 10) равен соответственно (10, 10, 10) и т. д.).
 166. Рациональный потребитель в базовом периоде при ценах pb выбрал объем потребления
xb , а в периоде t при ценах pt выбрал объем потребления xt . Индексы физического объема
потребления Пааше и Ласпейреса по определению равны

pt xt pb xt
Pq = t b , Lq = b b .
px px

Какой из наборов xt , xb лучше для потребителя (a) если Pq > 1, (b) если Lq > 1?
 167. Индексы цен Пааше и Ласпейреса по определению равны

pt xt pt xb
Pp = , Lp = .
pb xt pb xb

Пусть M — отношение потребительских расходов в период t к потребительским расходам в
pt xt
базовом периоде, т. е. M = pb xb . Какой из наборов xt , xb лучше для потребителя (a) если
Pp > M , (b) если Lp > M ?
 168. Имеются следующие наблюдения за выбором потребителя: x1 = (5, 3), p1 = (1, 4),
x2 = (2, 2), p2 = (1, 3), x3 = (2, 5), p3 = (3, 1).
(a) Продемонстрируйте, что эти наблюдения удовлетворяют обобщенной аксиоме выявлен-
ных предпочтений.
(b) Предложите функцию полезности, рационализующую эти наблюдения.
 169. Пусть при одних и тех же ценах p потребитель выбирал разные наборы x1 , . . . , xn .
(a) Объясните, почему эти наблюдения не могут не удовлетворять обобщенной аксиоме
выявленных предпочтений.
(b) Предложите простую функцию полезности, рационализующую такие наблюдения.
3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений 117


Приложение 3.C Интегрируемость функций спроса:
восстановление предпочтений
Пусть в нашем распоряжении имеется система функций спроса x(p, R) потребителя (на-
пример, оцененная эконометрическими методами). Можно поставить перед собой две близкие,
но несколько разные по смыслу задачи. Во-первых, можно по спросу восстанавливать функ-
цию полезности (если предполагается, что такая функция у потребителя есть). Во-вторых,
можно пытаться по спросу сконструировать ее (если не предполагается, что такая функция
у потребителя есть), т. е. рационализовать наблюдаемый спрос некоторой функцией полезно-
сти. При решении этой второй задачи желательно уметь определять, возможно ли в принципе
ее решить (если потребитель ведет себя непоследовательно, то, значит, в основе его поведения
не может лежать функция полезности).
Традиционные подходы к решению данных задач опираются на то, что решение задачи
потребителя характеризуются некоторыми соотношениями, которые можно рассматривать как
дифференциальные уравнения. Решая эти дифференциальные уравнения (что, как правило,
связано с вычислением интеграла), можно получить непосредственно функцию полезности,
либо тесно связанные с ней функции. Поэтому в микроэкономике в этом контексте принято
говорить об интегрировании и интегрируемости.
Ясно, что задача восстановления функции полезности не имеет однозначного решения, по-
скольку существует бесконечно много функций полезности, соответствующих одним и тем же
предпочтениям. Поэтому речь может идти только о восстановлении такой функции полезно-
сти, которая чем-то уникальна. Если известно (или берется в качестве предположения), что
предпочтения принадлежат некоторому классу, то, возможно, для этого класса предпочтений
существует некоторая уникальная нормировка. Классический пример — так называемые ква-
зилинейные предпочтения.

3.C.1 Восстановление квазилинейных предпочтений
Функция полезности вида u(x1 , . . . , xl ) = s(x1 , . . . , xl?1 ) + xl называется квазилинейной.
Очевидно, что две разные квазилинейные функций полезности, соответствующие одним и тем
же предпочтениям, должны совпадать с точностью до константы. Таким образом, в данном
случае уникальность нормировки определяется самим видом функции. Дополнительно, для
нахождения константы, можно потребовать, чтобы выполнялось s(0) = 0.
Выведем сначала характеристики функции спроса. Предположим, что s(·) — строго вогну-
тая дифференцируемая функция, и выбор потребителя при некоторых ценах и доходе содер-
жит все продукты в положительном количестве, т. е. x(p, R) > 0. Тогда по теореме Куна —
?s
Таккера при некотором положительном ?, верны соотношения ?xi = ?pi (i = l ) и pl ? = 1.
?s
Будем предполагать без потери общности, что pl = 1. Тогда ? = 1, и ?xi (x1 , . . . , xl?1 ) = pi ,
i = l . Из этих уравнений следует, что спрос на все блага, кроме последнего, не зависит от
дохода:
xi = xi (p1 , . . . , pl?1 ) = xi (p?i ), i = l.
Кроме того, можно заметить, что эти уравнения, фактически, задают обратные функции спро-
са вида pi (x?l ) для всех благ, кроме l -го /если функция спроса обратима??/.
Эти рассуждения приводят к следующим дифференциальным уравнениям:

?s
i = 1, . . . , l ? 1.
= pi (x1 , . . . , xl?1 ),
?xi

Решая их, восстановим функцию s(·).
3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений 118
Пример 25:
Пусть l = 3 и спрос на первые два блага задается следующими функциями:

1 1
x1 (p1 , p2 ) = , x2 (p1 , p2 ) = .
p3 p2 p1 p3
1 2

Соответствующие обратные функции спроса имеют вид
?3/4 1/4 1/4 ?3/4
p1 (x1 , x2 ) = x1 x2 , p2 (x1 , x2 ) = x1 x2 .

Решив дифференциальные уравнения (их можно решать по аналогии с Примером ?? ниже.)

?s ?s
?3/4 1/4 1/4 ?3/4
= x1 x2 , = x1 x2 ,
?x1 ?x2
получим
1/4 1/4
s(x1 , x2 ) = 4x1 x2 + const.
Чтобы выполнялось s(0, 0) = 0, константа должна быть равна нулю. Окончательно получаем
следующую квазилинейную функцию полезности:

<< Предыдущая

стр. 26
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>