<< Предыдущая

стр. 27
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

1/4 1/4
u(x1 , x2 , x3 ) = 4x1 x2 + x3 .

Особенно простой задача восстановления предпочтений оказывается, если известно (допол-
нительно к квазилинейности), что функция полезности сепарабельна, т. е.

l?1
u(x1 , . . . , xl ) = si (xi ) + xl .
i=1

Условия первого порядка для задачи потребителя в предположении, что потребитель при
рассматриваемых ценах и доходах предъявляет спрос на все блага (x(p, R) > 0), а цена по-
следнего блага равна единице, имеют вид

si (xi (p)) = pi .

Эти уравнения, фактически, задают обратную функцию спроса вида pi (xi ). При этом спрос
на каждое благо зависит только от его цены, т. е. xi (p) = xi (pi ). Проинтегрировав уравнения
si = pi (xi ), получим следующие выражения для функций si (·):
xi
si (xi ) = pi (t)dt + si (0).
0

Интеграл в этом соотношении является так называемым потребительским излишком, поэтому

si (xi ) = CSi (xi ) + si (0)

и
l?1
u(x1 , . . . , xl ) = CSi (xi ) + xl + const.
i=1

Таким образом, если предпочтения представимы квазилинейной функцией полезности, то
по спросу (предварительно обратив его) можно восстановить непосредственно функцию полез-
ности.
3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений 119

Другой подход к восстановлению квазилинейной функции полезности состоит в восстанов-
лении соответствующей непрямой функции полезности. При таком подходе тождество Роя

?v(p, R) ?v(p, R)
? = xi (p, R)
?pi ?R
рассматривается как система дифференциальных уравнений.
Учитывая вид функции спроса, получаем, что непрямая функция полезности имеет вид
l?1
v(p?l , 1, R) = s(x1 (p?k ), . . . , xl?1 (p?l )) + R ? pi xi (p?l ).
i=1


При этом ?v(p,R) = 1, и ?v(p,R) не зависит от R. Поэтому, интегрируя l ? 1 уравнение тож-
?R ?pi
дества Роя по p1 , . . . , pl?1 соответственно, мы можем получить (с точностью до константы
интегрирования) искомую функцию v(·, ·). Соответствующие интегралы будут равны измене-
нию потребительского излишка как функции цен.
Если предпочтения квазилинейные и сепарабельные, то непрямая функция полезности име-
ет вид
l?1 l?1
si (xi (pi )) + R ?
v(p, R) = pi xi (pi ).
i=1 i=1

Из тождества Роя получаем соотношение:

?v(p, R) ?vi
xi (pi ) = ? =? (pi ),
?pi ?pi

где vi (pi ) = si (xi (pi )) ? pi xi (pi ), и, следовательно,
+? +?
?vi
? (t)dt = xi (t)dt,
?pi
pi pi

откуда
+?
vi (pi ) ? lim vi (pi ) = xi (t)dt,
pi >+? pi
или
+?
vi (pi ) = xi (t)dt + const.
pi

Интеграл в последнем соотношении есть по определению потребительский излишек как
функция цены:
+?
CSi (pi ) = xi (t)dt.
pi

Отсюда
l?1 l?1
v(p, R) = vi (pi ) + R = CSi (pi ) + R + const.
i=1 i=1

Знание непрямой функции полезности и системы функций спроса позволяет нам сопоста-
вить каждому потребительскому набору, который может быть выбран как наилучший при неко-
торых ценах p и доходе R, значение полезности по следующему правилу: u(x(p, R)) = v(p, R).
Однако данное правило задает полезность не всех наборов, а только для наборов из области
значений функции спроса. Эту проблему мы еще обсудим ниже в случае функции полезности
общего вида.
3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений 120

3.C.2 Восстановление предпочтений на основе функции расходов
Существует простой способ выбора уникальной функции полезности, представляющей дан-
ные предпочтения. Если зафиксировать некоторый вектор цен p, то можно поставить задачу
для данного набора x ? X подобрать эквивалентный ему набор h ? X , который бы стоил как
можно меньше в ценах p. Тогда набору x в качестве величины полезности можно сопоставить
стоимость набора h в ценах p, т. е. ph.
Рис. 3.14 иллюстрирует эту идею. Набор x определяет кривую безразличия. Среди набо-
ров на этой кривой h имеет наименьшую стоимость в ценах p (наклон штриховой линии,
проходящей через h соответствует отношению цен). Так же точно h при тех же ценах име-
ет наименьшую стоимость среди наборов, эквивалентных x . Поскольку x лежит на более
высокой кривой безразличия, чем x , то его полезность ph будет выше, чем полезность x ,
равная ph .

x2




h
h
x


x
x1



Рис. 3.14. Функция расходов как функция полезности

Очевидно, что выбранная указанным способом функция полезности является функцией
расходов (см. Определение 26 на с. 77). Действительно, нам известно (см. Теорему 26), что при
фиксированных ценах p функция расходов e(p, x) = ph(p, x) = px(p, e(p, x)) представляет
собой функцию полезности:
x y ? e(p, x) e(p, y).
В этом разделе мы покажем, что знание системы функций спроса позволяет восстановить
функцию расходов, а, следовательно, и предпочтения на множестве потребительских набо-
ров, которые могут быть выбраны потребителем при некоторых значениях цен и доходов, т. е.
на множестве значений спроса. В последующем мы обсудим, как имеющаяся информация о
спросе потребителя позволяет восстановить (оценить) предпочтения и для остальных потре-
бительских наборов.
Заметим сначала, что по лемме Шепарда (Теорема 29)

?e(p, x)
= hi (p, x),
?pi

где по определению h(p, x) ? x(p, e(p, x)). Тем самым, мы имеем систему дифференциальных
уравнений относительно функции расходов e(p, x) при фиксированном x:

?e(p, x)
= xi (p, e(p, x))
?pi
или
p e(p, x) = x(p, e(p, x)). ()
3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений 121

К ней следует добавить граничные условия e(p , x) = R, где p — вектор цен, который при
доходе R может породить спрос x, т. е. такой вектор цен, что x = x(p , R).
Решая эти уравнения, мы для каждого набора x из области значений функции спроса
найдем значение функции расходов e(p, x) при всех возможных ценах p, т. е. минимальное
значение расходов потребителя, достаточное, чтобы при ценах p обеспечить ему не меньший
уровень полезности, чем тот, который обеспечивается набором x.
Будем предполагать в дальнейшем, что функция спроса имеет является непрерывно диф-
ференцируемой (и по ценам, и по доходу). Можно заметить следующее. Если функция e(p)
является решением системы дифференциальных уравнений ( ), то она является дважды
непрерывно дифференцируемой. Кроме того, l ? l матрица S(p, R) с элементами Sij (p, R) =
?xi (p,R)
+ ?xi?R xj (p, R) («матрица замены») должна быть симметричной. Действительно,
(p,R)
?pj
продифференцировав уравнения ( ) по ценам, увидим, что матрица S совпадает с матрицей
вторых производных по ценам функции e(·). Но последняя матрица должна быть симметрич-
ной (согласно теореме Юнга).
Оказывается, симметричность матрицы S является не только необходимым, но и доста-
точным условием существования и единственности решения системы ( ). Это классический
результат теории дифференциальных уравнений в частных производных (так называемая тео-
рема Фробениуса). Кроме того, известно, что решение будет непрерывно дифференцируемой
функцией параметров p , R, задающих граничные условия. Заметим, однако, что эти резуль-
таты гарантируют существование только локального решения. Для того, чтобы гарантировать
существование глобального решения, нужны дополнительные предположения28 .
Пример 26:
Продемонстрируем восстановление функции расходов e(p, x) из функции спроса вида x(p, R) =
a2 Rp1
Rp2
2 (p )2 ; (p )2 +a2 p p
. Мы не проверяем выполнение требуемых условий, так как, фактиче-
p1 p2 +a 1 2 12
ски, все это уже было сделано в предыдущих параграфах. Нам требуется решить следующую
систему дифференциальных уравнений в частных производных:

a2 ep1
?e ep2 ?e
= =
и
p1 p2 + a2 (p1 )2 (p2 )2 + a2 p1 p2
?p1 ?p2

Решим первое уравнение, рассматривая p1 как переменную, а p2 и x как параметры.
Заметим, что оно представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Кроме того,
a2
p2 p2
дробь p1 p2 +a2 (p1 )2 допускает разложение p1 p2 +a2 (p1 )2 = p11 ? p2 +a2 p1 . Используя это, можем
записать
a2 dp1
de dp1
?
= + const.
p2 + a2 p1
e p1
Интегрируя, получим
ln(e) = ln(p1 ) ? ln(p2 + a2 p1 ) + const,

или
p1
e=A ,
p2 + a2 p1
где A зависит от p2 и x, которые мы при решении рассматривали как неизменные параметры:
A = A(p2 , x).
28
См. L. Hurwicz and H. Uzawa: On the Integrability of Demand Functions, in Preferences, Utility and Demand:
A Minnesota Symposium, J. S. Chipman et al. (ed.), New York: Harcourt, Brace, Jovanovich, 1971: 174–214. В
этой классической статье делается предположение, что производные функций спроса по доходу равномерно
p p } ? R+ , где p < p , p , p ? Rl , и что при
ограничены на множествах цен и доходов вида { p | p ++
нулевом доходе спрос равен нулю вне зависимости от цен p ? Rl .
++
3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений 122

Подставим полученное выражение для e(p, x) во второе уравнение и получим дифферен-
циальное уравнение для A:
a2 p1
?A p1 p1 p1
· ?A ·
=A
?p2 p2 + a2 p1 (p2 + a2 p1 )2 (p2 )2 + a2 p1 p2 p2 + a2 p1
или
a2 p1
?A 1 1
=A +A =A .
(p2 )2 + a2 p1 p2 p2 + a2 p1
?p2 p2
Отсюда
dA dp2
= + const.
A p2
Интегрируя, получим решение следующего вида: A(p2 ) = Bp2 , где B — множитель, который
зависит от набора x, который мы в данном случае рассматривали как постоянный параметр,
т. е. A(p2 , x) = B(x)p2 .
Таким образом, получили следующее выражение для функции расходов:
p1 p2
e(p, x) = B(x) .
p2 + a2 p1
Для вычисления B(x), требуется использовать граничные условия. Для этого сначала найдем
цены, при которых потребитель предъявит спрос на данный набор x (другими словами, найдем
обратную функцию спроса p(x, R)). Уравнения спроса
a2 Rp1
Rp2
x1 = x2 =
и
p1 p2 + a2 (p1 )2 (p2 )2 + a2 p1 p2
при этом следует рассматривать как систему уравнений относительно цен p1 и p2 . Данную
систему несложно преобразовать к виду
?
x1 p2
?
= ,

<< Предыдущая

стр. 27
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>