<< Предыдущая

стр. 28
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?
?
x2 ap1
?
? p x + p x = R.
?11 22

Это дает линейные уравнения относительно p1 и p2 , решая которые, найдем
R aR
p1 = v v v p2 = v v v .
и
x1 ( x1 + a x2 ) x2 ( x1 + a x2 )
Подставив эти цены в функцию расходов, мы должны получить доход R:
p1 p2
B(x) = R.
p2 + a2 p1
Отсюда найдем выражение для B(x):
R(p2 + a2 p1 ) v v
B(x) = = x1 + a x2 .
p1 p2
Окончательно, получим следующую функцию расходов:
v v
p1 p2
e(p, x) = ( x1 + a x2 ).
p2 + a2 p1
Как мы уже говорили, функция расходов при фиксированных ценах есть функция полезно-
сти. Поскольку первый множитель здесь не зависит от потребительского набора x, то он не
представляет интереса при восстановлении предпочтений. Поэтому более простая функция
v v
B(x) = x1 + a x2 тоже является функцией полезности, порождающей рассматриваемый
спрос.
Заметим, что предложенное здесь решение можно упростить, положив (без потери общно-
сти) p2 = 1 и интегрируя только по первой цене.
3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений 123

3.C.3 Проблема восстановимости предпочтений на всем множестве
потребительских наборов
Из проведенного выше анализа следует, что знание системы функций спроса (полученной
на основе максимизации полезности) позволяет восстановить предпочтения (представляющие
их функции полезности) на каждом потребительском наборе, который может быть выбран как
наилучший при некоторых ценах p и доходе R.
Однако, вообще говоря, не все возможные потребительские наборы принадлежат области
значений системы функций спроса. Так, функции полезности u(x1 , x2 ) = min{2x1 ? x2 , 2x2 ?
x1 } соответствует система функций спроса, для которой x1 (p, R) = x2 (p, R). Как несложно
понять, предложенное правило не позволяет задать полезность для наборов (x1 , x2 ) таких,
что x1 = x2 .
Заметим, что хотя, вообще говоря, нам не удалось построить полностью функцию полезно-
сти, но зато, фактически, мы построили полностью непрямую функцию полезности v(p, R) =
e(p0 , x(p, R)). Непрямую функцию полезности такого вида принято называть денежной непря-
мой функцией полезности (см. Определение ?? на с. ??). Денежная непрямая полезность
µ(q; p, R) — это непрямая функция полезности для функции расходов e(q, x), если рассмат-
ривать последнюю как функцию полезности.
Мы столкнулись здесь с частным проявлением общей проблемы: хотя каждая функция
полезности однозначно определяет непрямую функцию полезности, обратное, вообще говоря,
неверно. Т. е. по непрямой функции полезности v(p, R) = u(x(p, R)) не всегда можно восста-
новить обычную функцию полезности.
Тем не менее, по информации, содержащейся в функции спроса или непрямой функции по-
лезности, можно построить некоторые аппроксимации для соответствующей прямой функции
полезности. Эта аппроксимация оказывается достаточно хорошей в том смысле, что совпа-
дает с функцией полезности всюду на множестве значений функции спроса и порождает по
существу тот же спрос, что и данная функция полезности. Покажем это.
Пусть функция полезности u(·) определена на множестве допустимых потребительских
? ?
наборов X , однако она известна (восстановлена) только на множестве X , где X — множе-
ство значений функции спроса, определенной на P ? R++ , где P — некоторое множество
?
цен. Можно доопределить функцию полезности на множестве X\X на основе выявленных
предпочтений, что, как мы покажем, дает оценку сверху для функции полезности в точке
?
x ? X\X .
?
?
Приведем соответствующее построение. Рассмотрим некоторый набор x из X . По опре-
?
делению x = x(p, R) при некоторых ценах p и доходе R. Если при этих ценах и доходах
рассматриваемый набор x мог быть куплен, то можно с уверенностью сказать, что набор
?
x не может быть лучше, чем x . По аналогии с анализом выявленных предпочтений можно
?
сказать, что набор x выявленно не лучше, чем x . Таким образом, для рассматриваемой функ-
ции полезности должно выполняться соотношение u(x) u(? ) = u(x(p, R)). Следовательно,
x
u(x) v(p, R) при всех ценах и доходах, таких что px R. Это дает следующую оценку для
u(x):
inf v(p, R) p ? P, px
u(x) R.

(Поскольку непрямая функция полезности v(p, R) положительно однородна нулевой степени,
то в качестве дохода R здесь можно взять произвольное положительное число, например,
R = 1.)
Возникает идея рассматривать в качестве аппроксимации функции полезности эту оценку,
полученную на основе выявленных предпочтений, а именно,

u? (x) = inf v(p, R) p ? P, px R.
3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений 124

Другими словами, в качестве полезности набора x выбираем значение следующей задачи:

v(p, R) > inf
p?P
(¦)
px R.

Заметим, что в общем случае речь должна идти об инфимуме, а не о минимуме. Это
объясняется тем, что оптимизация ведется на множестве, которое не обязательно является
замкнутым. В частности, целевая функция (непрямая функция полезности) может быть не
определена в случае, когда хотя бы одна из цен обращается в ноль. В силу этого замена ин-
фимума на минимум невозможна, так как последний может, вообще говоря, не существовать.
В то же время, инфимум существует, хотя при некотором значении параметров и может быть
равен ??.
В принципе, данная процедура позволяет построить «функцию полезности» u? (x) на мно-
жестве всех наборов благ. Однако ясно, что она может не везде совпадать с исходной функцией
полезности. Мы можем быть уверены только, что u? (x) u(x), поскольку это непосредствен-
но следует из определения функции u? (·). Если x — вектор, который не реализуется как
спрос участника ни при каких ценах и доходе (при которых x является допустимым в задаче
потребителя), то u(x) может быть меньше u? (x).
Приведем соответствующий пример.
Пример 27:
Рассмотрим случай приведенной выше функции полезности

u(x1 , x2 ) = min{2x1 ? x2 , 2x2 ? x1 }.

Тогда непрямая функция полезности (как и в случае леонтьевской функции полезности u(x1 , x2 ) =
min{x1 , x2 }) имеет вид v(p, R) = max{p1 ,p2 } . Найдем значение u? (x) при P = R2 , т. е. значе-
R
++
ние задачи

R
> inf
max{p1 , p2 } p1 ,p2 >0

p1 x1 + p2 x2 R.

Рассмотрим сначала случай положительного потребительского набора (x1 , x2 > 0). Из «бюд-
R R
xi , откуда max{p1 , p2 }
жетного ограничения» следует что pi min{x1 ,x2 } . Таким образом,
u? (x1 , x2 ) min{x1 , x2 }. Покажем, что это точная нижняя граница, построив соответству-
ющую последовательность цен. Пусть, например, x1 x2 . Рассмотрим последовательность
{(pn , pn )}, где
12
R1 R 1
pn = , pn = 1? .
1 2
x1 2n x2 2n
Для этой последовательности цен pn pn , поэтому
1 2

R R x2
v(pn , R) = n , p n } = pn = .
max{p1 2 1
1 ? 2n
2


Таким образом, u? (x1 , x2 ) = x2 = min{x1 , x2 }. При x1 x2 аналогично u? (x1 , x2 ) = x1 =
min{x1 , x2 }.
Если xi = 0, то найдется допустимая последовательность с pn = n, которая обеспечивает
i
u? (x1 , x2 ) = 0 = min{x1 , x2 }. Таким образом, u? (x1 , x2 ) = min{x1 , x2 } при любом допустимом
наборе x.
3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений 125

Несмотря на возможность несовпадения, данная аппроксимация обладает свойствами, де-
лающими ее полезной для моделирования поведения потребителя: во-первых, u? (x) = u(x)
для всех точек x из области значений функции спроса, во-вторых, функция u? (·) порождает
по существу тот же спрос, что и исходная функция полезности.
Теорема 39:
Пусть u(·) — исходная функция полезности, v(·, ·) — соответствующая ей непрямая
функция полезности, а функция u? (·) построена на основе задачи (¦) указанным выше
способом. Предположим, что x — оптимальный потребительский набор при ценах p ? P
? ?
? p?
и доходе R > 0, т. е. x ? x(? , R). Тогда верно следующее:
?
?
? ?
(i) Вектор цен p является решением задачи (¦) c x = x и R = R, и выполнено u(? ) =
x
p?
v(? , R) = u? (? ).
x
(ii) Набор x является решением задачи потребителя с функцией полезности u? (·) при
?
?
при ценах p ? P и доходе R > 0.
?


Доказательство: (i) Пусть p ? P — произвольный вектор, являющийся допустимым в задаче
? ?
? ?
(¦) c x = x и R = R, т. е. p? x R. Это неравенство, с другой стороны, означает, что x
?
допустим в задаче потребителя при ценах p и доходе R. Этот набор не может иметь большую
?
полезность, чем набор x ? x(p, R), являющийся оптимальным в задаче потребителя при ценах
?
? p? ? ?
p и доходе R, т. е. u(? ) x u(? ), или v(? , R)
x v(p, R). Отсюда следует, что p оптимален в
? p? ? (? ).
?
задаче (¦) c x = x и R = R. Таким образом, мы получили, что v(? , R) = u x
?
(ii) Пусть x — произвольный потребительский набор, удовлетворяющий бюджетному огра-
? ?? ? ?
? ?
ничению при ценах p и доходе R: px R. Рассмотрим задачу (¦) с x = x c и R = R.
Цены p являются допустимыми в этой задаче, а u? (? ) — значение этой задачи. Поэтому
? x
p? p?
? (? ). Как только что доказано, u? (? ) = v(? , R), поэтому u? (? ) u? (? ).
v(? , R) u x x x x

3.C.4 Интегрируемость (рационализуемость) спроса
В предыдущих пунктах данного параграфа мы предполагали, что рассматриваемые функ-
ции спроса порождены задачей максимизации некоторой функции полезности. В этом пункте
мы откажемся от данного априорного предположения и укажем на те свойства функций спро-
са, которые позволяют построить предпочтения, приводящие к тем же функциям спроса (т. е.
рационализовать рассматриваемый спрос). Предположим, что функция x(p, R) определена на
P ? R++ , где P ? Rl — некоторое открытое выпуклое множество векторов цен (например,
++
? ? Rl — область значений этой функции. Необходимые условия того, что
l
P = R++ ), и X
данная функция порождена моделью рационального поведения, нам известны:

Функция спроса x(p, R) однородна нулевой степени по ценам и доходу.
t


Функция спроса x(p, R) удовлетворяет закону Вальраса (p, x(p, R)) = R (если предпочте-
t
ния потребителя локально ненасыщаемы).

Матрица замены
t

?xi ?xi
+ xj .
?pj ?R i,j

является симметричной и отрицательно полуопределенной29 .
29
Отрицательная полуопределенность матрица замены является следствием закона спроса при компенси-
рующем изменении дохода по Слуцкому, который, в свою очередь, следует из слабой аксиомы выявленных
предпочтений (см. пункт 3.3.1). Поэтому отрицательную полуопределенность матрицы замены здесь можно
заменить на требование выполнения для спроса слабой аксиомы выявленных предпочтений.
3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений 126

Возникает вопрос о том, можно ли рационализовать эту «функцию спроса» некоторой
функцией полезности на X . Оказывается, что эти условия являются и достаточными, т. е.
любая функция, удовлетворяющая этим условиям (и еще некоторым техническим условиям,
которые упоминались ранее), может быть порождена моделью рационального поведения.
Заметим, что приведенные условия не являются независимыми, поскольку из последних
двух следует первое, так что фактически выполнение закона Вальраса для данных функций
спроса и симметричность и отрицательная полуопределенной матрицы коэффициентов замены
являются достаточными условиями существования предпочтений, порождающих эти функции
спроса. Покажем это.
Теорема 40:
Пусть функция спроса x(p, R) дифференцируема по ценам и доходу, удовлетворяет
?xi ?xi
закону Вальраса (px(p, R) = R), а матрица коэффициентов замены + ?R xj i,j , яв-
?pj
ляется симметричной, тогда функция спроса x(p, R) однородна нулевой степени по ценам
и доходу.

Доказательство: Рассмотрим вектор-функцию fi (t) = xi (tp, tR), где i — одно из благ. В силу

<< Предыдущая

стр. 28
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>