<< Предыдущая

стр. 29
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

дифференцируемости функции спроса по ценам и доходу для любого t > 0 имеем, что (при
проведении этих выкладок для упрощения записи аргументы (tp, tR) функции спроса и ее
производных будем опускать):

?xi ?xi ?xi ?xi
fi (t) = pj + R= pj + px =
?pj ?R ?pj ?R
j j

?xi ?xi ?xi ?xi ?xj ?xj
= pj + pj xj = pj + xj = pj + xi =
?pj ?R ?pj ?R ?pi ?R
j j j
?xj ?xj
= ?xi + xi = 0.
= pj + xi pj
?pi ?R
j j

?x
pj ?pj + xi = 0
При проведении этих преобразований мы воспользовались тождествами j i
?x j
и j pj ?R = 1, которые получаются путем дифференцирования уравнения закона Вальраса
(см. Теорему 33 на с. 89). Таким образом, fi (t) — константа и, тем самым, для любого t верно,
что fi (t) = fi (1), откуда x(tp, tR) = x(p, R) = t0 x(p, R). Последнее и означает, что функция
спроса x(p, R) однородна нулевой степени по ценам и доходу.

Перейдем теперь к построению предпочтений, рационализирующих данные «функции спро-
са». По аналогии с рассмотренной выше ситуацией, когда априорно предполагается, что дан-
ный спрос порожден задачей максимизации полезности, для этих функций можно определить
?
«функцию расходов» на P ? X , так что она удовлетворяет дифференциальным уравнениям

p e(p, x) = x(p, e(p, x))

с граничными условиями e(p , x) = R, где p — такой вектор цен, что x ? x(p , R).
При этом полученная функция e(·, ·) обладает следующими свойствами:

• Функция e(p, x) дифференцируема по p.
• Функция e(p, x) однородна первой степени по p.
• Функция e(p, x) не убывает по p, если функция спроса неотрицательна.
• Функция e(p, x) вогнута по p, в силу отрицательной полуопределенности матрицы Слуц-
кого.
3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений 127

• Если для некоторого p верно соотношение e(p, x) = e(p, x ), то оно также верно и для
любого p , т. е. e(p , x) = e(p , x ). (Данное свойство ни что иное, как следствие един-
ственности решения предложенного дифференциального уравнения.)

Покажем, что при любом фиксированном векторе цен q ? P для функции полезности
u(x) = e(q, x) функция x(p, R) задает спрос потребителя. Предварительно докажем ряд вспо-
могательных утверждений. Первое из них показывает, что упорядочение потребительских на-
боров на основе полученных таким образом «функций расходов» не зависит от выбора кон-
кретной функции расходов, т. е. фиксированного вектора цен, используемого для расчета сто-
имости потребительских наборов.
Теорема 41:
?
Пусть x, x ? X и при некотором векторе цен p ? P выполнено

e(p, x) e(p, x ).

Тогда аналогичное соотношение выполняется для любого другого вектора цен q ? P :
e(q, x) e(q, x ).

Доказательство: Случай, когда для некоторого p ? P справедливо соотношение e(p, x) =
e(p, x ), очевиден, как уже упоминалось, в силу единственности решения. Поэтому разберем
случай, когда для некоторых цен p ? P выполнено e(p, x) > e(p, x ). Предположим противное,
а именно, что нашлись такие цены q ? P , для которых e(q, x) < e(q, x ). Рассмотрим функцию
f (t) = e(p + t(q ? p), x) ? e(p + t(q ? p), x ). Эта функция непрерывна, так как непрерывна
по ценам функция e(·, ·). Кроме того, f (0) > 0 > f (1), откуда в силу непрерывности следует
? ?
существование такого t , что f (t) = 0. Другими словами найдется такой вектор q ? P , что
?
для него справедливо равенство e(? , x) = e(? , x ). Но это означает, что равенство должно
q q
выполняться и для первоначального вектора цен, т. е. e(p, x) = e(p, x ). Противоречие.

Заметим теперь, что поскольку e(p, x) однородна первой степени по p, то по формуле
?
Эйлера e(p, x) = p p e(p, x) для всех x ? X и p ? P . По построению функции e(·, ·), если
набор x является значением спроса при ценах p, т. е. x = x(p, px), то x = p e(p, x) (откуда
следует, что e(p, x) = px). Данные свойства функции e(·, ·) позволяют установить следующее
утверждение.
Теорема 42:
?
Для каждого набора x ? X и вектора цен p ? P выполнено e(p , x) p x.
?
Доказательство: Поскольку x ? X , то этот набор представим в виде x = x(p, R) при некото-
рых p ? P и R > 0. Вогнутость функции e(·, ·) по ценам влечет, что e(·, ·) как функция цен
лежит ниже своей касательной, поэтому выполнено неравенство

e(p, x) + (p ? p)
e(p , x) p e(p, x),

откуда, сократив e(p, x) и p p e(p, x), получим

e(p , x) p p e(p, x).

Подставляя вместо градиента x, получаем требуемое соотношение.

Поясним смысл доказываемого неравенства. Пусть e(·, ·) — функция расходов рациональ-
ного потребителя. По определению e(p , x) — это минимальные расходы в ценах p на дости-
жение по крайней мере того уровня благосостояния, который обеспечивается вектором x. Сам
вектор x может не минимизировать расходы, поэтому, вообще говоря, e(p , x) p x.
3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений 128

Другими словами, выполнение неравенства e(p , x) p x — это одно из свойств функции
расходов рационального потребителя. Таким образом, Теорема 42, фактически, устанавливает,
что сконструированная как решение дифференциального уравнения «функция расходов» не
противоречит одному из естественных требований, связанных с рациональностью.Более того,
как тривиальное следствие Теоремы 42 получаем, что данная «функция расходов», рассматри-
ваемая как функция полезности, действительно рационализует предпочтения, т. е. порождает
точно такой же спрос, как тот, на основе которого она построена.
?
Пусть x — некоторый набор из X . Для этого набора найдутся цены p ? P , такие что
?
x = x(p , p x ). Из доказанной только что теоремы следует, что если взять X в качестве мно-
жества потребительских наборов, e(·, ·) как функцию второго аргумента в качестве функции
полезности, p в качестве вектора цен, а e(p , x ) в качестве дохода, то x является решением
соответствующей задачи потребителя. Другими словами, x является решением задачи

e(p , x) > max
?
x?X
px e(p , x ).

?
Действительно, возьмем произвольный набор x ? X , такой что p x e(p , x ). По доказанной
теореме для него выполнено p x e(p , x), и, следовательно, e(p , x ) e(p , x).
Заметим далее, что в качестве функции полезности в задаче потребителя мы могли бы
взять e(q, ·) с любым вектором цен q ? P . Отсюда следует, что функция e(q, ·) рационализует
?
x(·, ·) на X . А именно, при всех ценах и доходах x(p, R) является решением соответствующей
задачи потребителя:

e(q, x) > max
?
x?X
px R.

Отметим, что в данном случае условие симметричности «матрицы замены» S — это усло-
вие математической интегрируемости (т. е. условие существования и единственности ре-
шения системы дифференциальных уравнений), а ее отрицательная полуопределенность —
условие экономической интегрируемости, которое гарантирует, что найденное решение раци-
онализует спрос.

3.C.5 Задачи
 170. Пусть функция u(·) — функция полезности, представляющая строго выпуклые и стро-
го монотонные предпочтения, заданные на Rl , v(·) — соответствующая непрямая функция
+
полезности. Покажите, что если функция u? (·) построена на основе задачи (¦), то

u? (x) = u(x) ?x ? Rl .
++

Указание: Используйте теорему отделимости (см. доказательство утверждения о восстановле-
нии технологического множества по функции прибыли в Теореме 54 на с. 149). Множество
L++ (x) = { y | y x } можно отделить от точки x. Поскольку предпочтения строго монотон-
ны, то нормаль p к отделяющей гиперплоскости — вектор с положительными коэффициен-
тами. Тогда p — решение задачи (¦).
 171. Пусть u(x) — функция полезности. Вычислите для нее непрямую функцию полезности,
решите задачу (¦) и вычислите «восстановленную» функцию полезности u? (x). Совпадает ли
она с исходной функцией полезности? Решите задачу для следующих функций полезности:
(a) u(x) = l ?k ln(xk ); (b) u(x) = mink {?k xk };
k=1 v
2 + x2 ; (d) u(x) = 3 x1 x2 + x3 .
(c) u(x) = x1 2
3.D. Агрегирование в потреблении 129

 172. Для функций полезности предыдущей задачи найдите функцию расходов и непрямую
денежную функцию полезности.
 173. Для функций полезности предыдущей задачи найдите спрос, восстановите функцию
расходов (или, что то же самое, непрямую денежную функцию полезности), и постройте «вос-
становленную» функцию полезности u? (x). Правильно ли восстановлены исходные предпочте-
ния? Найдите спрос, соответствующий функции полезности u? (x). Совпадает ли он с исходным
спросом?
 174. Функция спроса потребителя на первое из двух имеющихся в экономике благ равна
x1 (p1 , p2 ) = a?bp1 /p2 (не зависит от дохода). Найдите соответствующую функцию полезности.
 175. Найдите функцию полезности, которая рационализует спрос, полученный на основе
лексикографических предпочтений.
 176. ??? задача 112 на с. 84



Приложение 3.D Агрегирование в потреблении
В этом параграфе мы рассмотрим условия, при которых функция рыночного спроса может
быть порождена как решение задачи максимизации полезности отдельного (репрезентативно-
го) потребителя. Такого рода конструкции, когда рыночный спрос представляется порождае-
мым некоторым воображаемым субъектом, является рабочим аппаратом современной макро-
экономики и поэтому такая постановка вопроса интересна, осмысленна и является одним из
базовых оправданий микрооснований макроэкономики.
Рассмотрим сначала какие свойства предпочтений гарантируют, что совокупный спрос
можно представить в том же виде, что и индивидуальный спрос, т.е. совокупный спрос за-
висит только от цен и совокупного дохода. Это свойство совокупного дохода является необ-
ходимым условием существования репрезентативного потребителя. Предположим, что в эко-
номике присутствуют n потребителей, каждый из которых имеет функцию спроса xi (p, Ri ).
xi (p, Ri ), вообще говоря, за-
Как несложно заметить, совокупный спрос этих потребителей
висит от распределения доходов между ними. Пусть потребители в экономике имеют доходы
(R1 , . . . , Rn ) и предположим, что доходы каждого из потребителей изменились на дифферен-
циально малую величину dRi , причем dRi = 0. Изменение суммарного спроса в экономике в
dxi (p,Ri )
dRi . В случае если суммарный спрос
результате этого изменения доходов составит: dRi
xi (p, Ri ) = x(p, Ri ) это изменение совокуп-
не зависит от распределения доходов, т. е.
dxi (p,Ri )
dRi = 0 и быть справедливым для всех
ного спроса должно быть равно 0, т. е. dRi
dRi = 0. Что возможно лишь в ситуации
перераспределений удовлетворяющих условию
dxj (p,Rj )
когда dxidRi i ) = dRj .
(p,R

Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия для выполнения этого усло-
вия «всюду» и соответственно для глобального агрегирования предпочтений.

Теорема 43:
xi (p, Ri ) не зависит от распределения доходов потребителей, т. е.
Рыночный спрос
xi (p, Ri ) = x(p, Ri ) тогда и только тогда, когда индивидуальные функции спроса
порождены одним и тем же гомотетичным отношением предпочтения .

Доказательство: Предположим, что каждая индивидуальная функция спроса xi (p, Ri ) полу-
чена на основе совпадающих гомотетичных предпочтений. Как было показано выше, в случае
гомотетичных предпочтений индивидуальная функция спроса будет положительно однород-
x(p, Ri ) = Ri x(p, 1) = ( Ri )x(p, 1) =
на первой степени по доходу. Таким образом,
x(p, Ri ).
3.5. Задачи к главе 130

Предположим теперь, что существует некоторая функция спроса x(·, ·), такая что xi (p, Ri ) =
x(p, Ri ) для всех p, R1 , . . . , Rn . Рассмотрим некоторого потребителя i и распределение дохо-
дов Ri = R, и Rj = 0, при j = i. Тогда x(p, R) = xi (p, R), откуда следует, что все потребители
одинаковы и имеют одни и те же предпочтения. Для того, что бы показать, что спрос x(·, ·),
получен исходя из гомотетичных предпочтений, покажем, что функция x(·, ·) линейна по R.
Это, например, следует из того факта, что x(p, R1 + R2 ) = x(p, R1 ) + x(p, R2 ).

Если отказаться от требования, что суммарный спрос всюду не зависит от распределения
дохода, а требовать это свойство только локально, то класс предпочтений позволяющих ло-
кальное агрегирование расширится.
Одним из важных классов функций полезности позволяющих локальное агрегирование
является класс квазилинейных функций полезности. Подробнее этот вопрос мы рассмотрим
при рассмотрении квазилинейной экономики.


3.5 Задачи к главе
 177. Покажите, что невырожденность матрицы

H(x) u(x)
?
H=
u(x) 0,

где x = x(p, R), H — матрица вторых производных функции полезности, является (наряду
с другими предположениями) достаточным условием дифференцируемости функции спроса.
(См. Теорему 37.)
 178. Восполните доказательство Теоремы 37, доказав, что при сделанных предположениях
функция расходов и функция хиксианского спроса являются непрерывно дифференцируемы-
ми по x.
 179. Является ли дифференцируемой на положительном ортанте функция спроса потреби-
теля с функцией полезности u(x) = x3 x2 + x1 x3 . (Данный пример показывает, что для диф-
1 2
ференцируемости спроса недостаточно строгой квазивогнутости, дважды непрерывно диффе-
ренцируемости и строгой монотонности.)
 180. Усильте Теорему 37, заменив условие отрицательной определенности матрицы Гессе
функции полезности H(·) на сильную квазивогнутость функции полезности. Квазивогнутая
функция u(x) называется сильно квазивогнутой, если для каждого x из области определения

<< Предыдущая

стр. 29
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>