<< Предыдущая

стр. 30
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

z H(x)z < 0 для каждого z такого, что z u(x) = 0 и z = 0, где H(·) = 2 u(·) — матрица
вторых частных производных.
 181. Покажите на примере, что функция совокупного спроса, полученная на основе сумми-
рования конечного числа маршаллианских функций спроса, вообще говоря, не удовлетворяет
слабой аксиоме выявленных предпочтений.
 182. Покажите, что если предпочтения потребителей одинаковы, а представляющая их
функция полезности — непрерывная строго вогнутая и положительно однородная первой сте-
пени, то функция совокупного спроса удовлетворяет аксиоме выявленного предпочтения.
 183. В случае двух товаров спрос задается следующими функциями:

p2 p1 R
x2 = ?
x1 = , , x3 = .
p3 p3 p3

(a) Проверьте что данная система функций спроса удовлетворяет закону Вальраса и од-
нородна нулевой степени по ценам и доходу.
3.5. Задачи к главе 131

(b) Покажите, что для данной системы функций спроса не выполняется слабая аксиома
выявленных предпочтений
 184. Докажите, что если предпочтения потребителя монотонны и строго вогнуты, то его
функция спроса удовлетворяет слабой аксиоме выявленных предпочтений.
sssssssssssssssssssssssssssss
Глава




4
Поведение производителя
?? нет ссылок


4.1 Технологическое множество и его свойства
Рассмотрим экономику с l благами. Для конкретной фирмы естественно рассматривать
часть из этих товаров как факторы производства и часть — как выпускаемую продукцию.
Следует оговориться, что такое деление довольно условно, так как фирма обладает доста-
точной свободой в выборе ассортимента производимой продукции и структуры затрат. При
описании технологии будем различить выпуск и затраты, представляя последние как выпуск
со знаком минус. Для удобства представления технологии продукцию, которая и не затрачи-
вается и не выпускается фирмой, будем относить к ее выпуску, причем объем производства
этой продукции считаем равным 0. В принципе не исключена ситуация, в которой продукт,
производимый фирмой, также потребляется ею в процессе производства. В этом случае мы
будем рассматривать только чистый выпуск данного продукта, т. е. его выпуск минус затраты.
Пусть число факторов производства равно n, а число видов выпускаемой продукции рав-
но m, так что l = m + n. Обозначим вектор затрат (по абсолютной величине) через r ? Rn ,+
m . Вектор (?r, yo ) будем называть вектором чистых выпус-
а объемы выпусков через y ? R+
ков. Совокупность всех технологически допустимых векторов чистых выпусков y = (?r, yo )
составляет технологическое множество Y . Таким образом, в рассматриваемом случае любое
технологическое множество — это подмножество Rn ? Rm .
? +
Такое описание производства носит общий характер. При этом можно не придерживаться
жесткого деления благ на продукты и факторы производства: одно и то же благо может при
одной технологии затрачиваться, а при другой — производится. В этом случае Y ? Rl .
Опишем свойства технологических множеств, в терминах которых обычно дается описание
конкретных классов технологий.
1. Непустота
Технологическое множество Y непусто.
Это свойство означает принципиальную возможность осуществления производственной де-
ятельности.
2. Замкнутость
Технологическое множество Y замкнуто.
Это свойство скорее техническое; оно означает, что технологическое множество содержит
свою границу, и предел любой последовательности технологически допустимых векторов чи-
стого выпуска также является технологически допустимым вектором чистых выпусков.
3. Свобода расходования:

если y ? Y и y y, то y ? Y.

Это свойство можно интерпретировать как наличие возможности производить тот же самый
объем выпуска, но посредством больших затрат, или меньший выпуск при тех же затратах.
4. Отсутствие «рога изобилия» (“no free lunch”)

если y ? Y и y 0, то y = 0.

132
4.1. Технологическое множество и его свойства 133

Это свойство означает, что для производства продукции в положительном количестве необхо-
димы затраты в ненулевом объеме.

y2



Y
y1




Рис. 4.1. Технологическое множество с возрастающей отдачей от масштаба.

5. Невозрастающая отдача от масштаба:

если y ? Y и y = ?y, где 0 < ? < 1, тогда y ? Y.

Иногда это свойство называют (не совсем точно) убывающей отдачей от масштаба. В случае
двух благ, когда одно затрачивается, а другое производится, убывающая отдача означает, что
(максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не возраста-
ет. Если за час вы можете решить в лучшем случае 5 однотипных задач по микроэкономике,
то за два часа в условиях убывающей отдачи вы не смогли бы решить более 10 таких задач.
5 . Неубывающая отдача от масштаба:

если y ? Y и y = ?y, где ? > 1, тогда y ? Y.

В случае двух товаров, когда один затрачивается, а другой производится, возрастающая отда-
ча означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фак-
тора не убывает.
5 . Постоянная отдача от масштаба — ситуация, когда технологической множества удовле-
творяет условиям 5 и 5 одновременно, т. е.

если y ? Y и y = ?y , тогда y ? Y ?? > 0.

Геометрически постоянная отдача от масштаба означает, что Y является конусом (возможно,
не содержащим 0).
В случае двух товаров, когда один затрачивается, а другой производится, постоянная от-
дача означает, что средняя производительность затрачиваемого фактора не меняется при из-
менении объема производства.

y2




Y
y1




Рис. 4.2. Выпуклое технологическое множество с убывающей отдачей от масштаба
.
4.1. Технологическое множество и его свойства 134

6. Выпуклость:

если y , y ? Y и 0 < ? 1, то ?y + (1 ? ?)y ? Y.

Свойство выпуклости означает возможность «смешивать» технологии в любой пропорции.
7. Необратимость
если y ? Y и y = 0, то (?y) ? Y.
/
Пусть из килограмма стали можно произвести 5 подшипников. Необратимость означает, что
невозможно произвести из 5-ти подшипников килограмм стали.
8. Аддитивность .
если y ? Y и y ? Y , то y + y ? Y.
Свойство аддитивности означает возможность комбинировать технологии.
9. Допустимость бездеятельности:
0 ? Y.
Теорема 44:
1) Из невозрастающей отдачи от масштаба и аддитивности технологического множества
следует его выпуклость.
2) Из выпуклости технологического множества и допустимости бездеятельности следу-
ет невозрастающая отдача от масштаба. (Обратное не всегда верно: при невозрастающей
отдаче технология может быть невыпуклой, см. Рис. 4.3.)
3) Технологическое множество обладает свойствами аддитивности и невозрастающей
отдачи от масштаба тогда и только тогда, когда оно — выпуклый конус.

Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения.



y2



Y

y1



Рис. 4.3. Невыпуклое технологическое множество с невозрастающей отдачей от масштаба.

Не все допустимые технологии в равной степени важны с экономической точки зрения.
Среди допустимых особо выделяются эффективные технологии. Допустимую технологию y
принято называть эффективной, если не существует другой (отличной от нее) допустимой
технологии y , такой что y y . Очевидно, что такое определение эффективности неявно
подразумевает, что все блага являются в определенном смысле желательными. Эффективные
технологии составляют эффективную границу технологического множества. При определенных
условиях оказывается возможным использовать в анализе эффективную границу вместо всего
технологического множества. При этом важно, чтобы для любой допустимой технологии y
нашлась эффективная технология y , такая что y y . Для того, чтобы это условие было
выполнено, требуется, чтобы технологическое множество было замкнутым, и чтобы в пределах
технологического множества невозможно было увеличивать до бесконечности выпуск одного
блага, не уменьшая при этом выпуск других благ. Можно показать, что если технологическое
4.1. Технологическое множество и его свойства 135

y2



Y
y1



Рис. 4.4. Эффективная граница технологического множества


множество обладает свойством свободы расходования, то эффективная граница однозначно
задает соответствующее технологическое множество.
Начальные курсы и курсы промежуточной сложности, при описании поведения произво-
дителя, опираются на представление его производственного множества посредством производ-
ственной функции. Уместен вопрос, при каких условиях на производственное множество та-
кое представление возможно. Хотя можно дать более широкое определение производственной
функции, однако здесь и далее мы будем говорить только об «однопродуктовых» технологиях,
т. е. m = 1.
Пусть R — проекция технологического множества Y на пространство векторов затрат,
т. е.
R = { r ? Rn | ?y o ? R : (?r, y o ) ? Y } .
Определение 37:
Функция f (·) : R > R называется производственной функцией, представляющей техноло-
гию Y , если при каждом r ? R величина f (r) является значением следующей задачи:

y o > max
oy

(?r, y o ) ? Y.

Заметим, что любая точка эффективной границы технологического множества имеет вид
(?r, f (r)). Обратное верно, если f (r) является возрастающей функцией. В этом случае y o =
f (r) является уравнением эффективной границы.
Следующая теорема дает условия, при которых технологическое множество может быть
представлено??? производственной функцией.
Теорема 45:
Пусть для технологического множества Y ? R ? (?R) для любого r ? R множество

F (r) = { y o | (?r, y o ) ? Y }

замкнуто и ограничено сверху. Тогда Y может быть представлено производственной функ-
цией.

Доказательство: Замкнутость и ограниченность сверху множества F (r) гарантируют, что су-
ществует f (r) ? F (r) такой, что f (r) y ?y ? F (r).

Замечание: Выполнение условий данного утверждения можно гарантировать, например, если
множество Y замкнуто и обладает свойствами невозрастающей отдачи от масштаба и отсут-
ствия рога изобилия.
4.1. Технологическое множество и его свойства 136
Теорема 46:
Пусть множество Y замкнуто и обладает свойствами невозрастающей отдачи от мас-
штаба и отсутствия рога изобилия. Тогда для любого r ? R множество
F (r) = { y o | (?r, y o ) ? Y }
замкнуто и ограничено сверху.

Доказательство: Замкнутость множеств F (r) непосредственно следует из замкнутости Y .
Покажем, что F (r) ограничены сверху. Пусть это не так и при некотором r ? R суще-
ствует неограниченно возрастающая последовательность {yn }, такая что yn ? F (r). Тогда
вследствие невозрастающей отдачи от масштаба (?r/yn , 1) ? Y . Поэтому (вследствие замкну-
тости), (0, 1) ? Y , что противоречит отсутствию рога изобилия.

Отметим также, что если технологическое множество Y удовлетворяет гипотезе свобод-
ного расходования, и существует представляющая его производственная функция f (·), то
множество Y описывается следующим соотношением:
Y = { (?r, y o ) | y o f (r), r ? R } .
Установим теперь некоторые взаимосвязи между свойствами технологического множества
и представляющей его производственной функции.
Теорема 47:
Пусть технологическое множество Y таково, что для всех r ? R определена производ-
ственная функция f (·). Тогда верно следующее.
1) Если множество Y выпукло, то функция f (·) вогнута.
2) Если множество Y удовлетворяет гипотезе свободного расходования, то верно и об-
ратное, т. е. если функция f (·) вогнута, то множество Y выпукло.
3) Если Y выпукло, то f (·) непрерывна на внутренности множества R.
4) Если множество Y обладает свойством свободы расходования, то функция f (·) не
убывает.

<< Предыдущая

стр. 30
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>