<< Предыдущая

стр. 31
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

5) Если Y обладает свойством отсутствия рога изобилия, то f (0) 0.
6) Если множество Y обладает свойством допустимости бездеятельности, то f (0) 0.

Доказательство: (1) Пусть r , r ? R. Тогда (?r , f (r )) ? Y и (?r , f (r )) ? Y , и
(??r ? (1 ? ?)r , ?f (r ) + (1 ? ?)f (r )) ? Y ?? ? [0, 1],
поскольку множество Y выпукло. Тогда по определению производственной функции
?f (r ) + (1 ? ?)f (r ) f (?r + (1 ? ?)r ),
что означает вогнутость f (·).
(2) Поскольку множество Y обладает свойством свободного расходования, то множество
Y (с точностью до знака вектора затрат) совпадает с ее подграфиком. А подграфик вогнутой
функции — выпуклое множество.
(3) Доказываемый факт следует из того, что вогнутая функция непрерывна во внутренно-
сти ее области определения.
r (r , r ? R). Поскольку (?r , f (r )) ? Y , то по свойству свободы расхо-
(4) Пусть r
дования (?r , f (r )) ? Y . Отсюда, по определению производственной функции, f (r ) f (r ),
то есть f (·) не убывает.
(5) Неравенство f (0) > 0 противоречит предположению об отсутствии рога изобилия. Зна-
чит, f (0) 0.
(6) По предположению о допустимости бездеятельности (0, 0) ? Y . Значит, по определению
производственной функции, f (0) 0.
4.1. Технологическое множество и его свойства 137

В предположении о существовании производственной функции свойства технологии можно
описывать непосредственно в терминах этой функции. Покажем это на примере так называе-
мой эластичности масштаба.
Пусть производственная функция дифференцируема. В точке r, где f (r) > 0, определим
локальную эластичность масштаба e(r) как:

df (?r) ?
e(r) = .
d? f (r) ?=1

Если в некоторой точке e(r) равна 1, то считают, что в этой точке постоянная отдача от
масштаба, если больше 1 — то возрастающая отдача, меньше — убывающая отдача от масштаба.
Вышеприведенное определение можно переписать в следующем виде:
?f (r)
i ?ri ri
e(r) = .
f (r)
Теорема 48:
Пусть технологическое множество Y описывается производственной функцией f (·) и
в точке r выполнено e(r) > 0. Тогда верно следующее:
1) Если технологическое множество Y обладает свойством убывающей отдачи от мас-
штаба, то e(r) 1.
2) Если технологическое множество Y обладает свойством возрастающей отдачи от
масштаба, то e(r) 1.
3) Если Y обладает свойством постоянной отдачи от масштаба, то e(r) = 1.

Доказательство: (1) Рассмотрим последовательность {?n } (0 < ?n < 1), такую что ?n > 1.
Тогда (??n r, ?n f (r)) ? Y , откуда следует, что f (?n r) ?n f (r). Перепишем это неравенство
в виде:
f (?n r) ? f (r)
f (r).
?n ? 1
Переходя к пределу, имеем

df (?r) ?f (r)
= ri f (r).
d? ?ri
i
?=1

Таким образом, e(r) 1.
Свойства (2) и (3) доказываются аналогично.

Технологические множества Y можно задавать в виде неявных производственных функций
g(·). По определению, функция g(·) называется неявной производственной функцией, если
технология y принадлежит технологическому множеству Y тогда и только тогда, когда g(y)
0.
Заметим, что такую функцию можно найти всегда. Например, подходит функция такая,
что g(y) = 1 при y ? Y и g(y) = ?1 при y ? Y . Заметим, однако, что данная функция не
/
является дифференцируемой. Вообще говоря, не каждое технологическое множество можно
описать одной дифференцируемой неявной производственной функцией, причем такие тех-
нологические множества не являются чем-то исключительным. В частности, технологические
множества, рассматриваемые в начальных курсах микроэкономики, часто бывают такими, что
для их описания нужно два (или больше) неравенства с дифференцируемыми функциями,
поскольку требуется учитывать дополнительные ограничения неотрицательности факторов
производства. Чтобы учитывать такие ограничения, можно использовать векторные неявные
4.1. Технологическое множество и его свойства 138

производственные функции, для которых условие технологической допустимости имеет вид
g(y) 0. Тем не менее, целью упрощения изложения мы в дальнейшем для описания техно-
логий будем использовать только одно ограничение, т. е. скалярную функцию.
Укажем здесь на связь неявной производственной функции и более привычной (явной) про-
изводственной функцией: в ситуации, когда технология такова, что ресурсные ограничения
оказываются несущественными, значение неявной производственной функции можно опреде-
лить как
g((?r, y o )) = f (r) ? y o .


4.1.1 Задачи

 185. Пусть технологическое множество фирмы задается условием:

ln(1 ? y2 ), где y2 < 1.
y1

Какими свойствами обладает данная технология?
 186. Докажите Теорему 44.
 187. Технологические способы (?5, 4), (?4, 0) и (?2, 2) принадлежат некоторому технологи-
ческому множеству Y . Можно ли гарантировать, что технологический способ (?3, 2) принад-
лежит Y , если известно, что Y выпукло? Изобразите графически множество технологических
способов, про которые можно утверждать, что они принадлежат Y .
 188. Технологические способы (?5, 4), (?4, 0) и (?2, 2) принадлежат некоторому технологи-
ческому множеству Y . Можно ли гарантировать, что технологический способ (?2, 1) принад-
лежит Y , если известно, что Y выпукло и характеризуется убывающей отдачей? Изобразите
графически множество технологических способов, про которые можно утверждать, что они
принадлежат Y .
 189. Технологические способы (?8, 10), (?2, 3) и (?4, 2) принадлежат некоторому техно-
логическому множеству Y . Можно ли гарантировать, что технологический способ (?5, 5)
принадлежит Y , если известно, что Y характеризуется свободой расходования? Изобразите
графически множество технологических способов, про которые можно утверждать, что они
принадлежат Y .
 190. Пусть однопродуктовая технология может быть представлена производственной функ-
цией. Показать, что производственное множество удовлетворяет свойству постоянной отдачи
от масштаба тогда и только тогда, когда соответствующая производственная функция одно-
родна первой степени.
 191. Покажите, что если технологическое множество Y замкнуто и выпукло и ?Rl ? Y ,+
то оно обладает свойством свободы расходования.
 192. Назовем вектор ? направлением рецессии технологического множества, если суще-
ствует y ? Y и неограниченная последовательность положительных чисел {?i }, такая что
y + ?i ? ? Y .
(a) Покажите, что если технологическое множество Y замкнуто и выпукло, то множество
рецессивных направлений ? является замкнутым выпуклым конусом. В случае, если Y удо-
влетворяет условию свободы расходования, то множество ? содержит ?Rl . +
(b) Предположим, что Y замкнуто и выпукло, 0 ? Y . Докажите, что тогда ? является
рецессивным направлением технологического множества Y тогда и только тогда, когда ?? ?
Y ?? 0.
(c) Докажите, что если технологическое множество Y замкнуто и выпукло, то Y + ? = Y .
4.2. Задача производителя и ее свойства 139


4.2 Задача производителя и ее свойства
Гипотеза, лежащая в основе модели поведения производителя заключается в том, что про-
изводитель выбирает технологически допустимый вектор чистых выпусков, максимизирую-
щий прибыль. В терминах чистых выпусков прибыль есть скалярное произведение вектора
чистых выпусков y ? Y на вектор цен: py . Таким образом, если производитель, приобретая
факторы производства и продавая производимые блага на рынках с совершенной конкурен-
цией блага, сталкивается с некоторым вектором цен p, то его выбор оказывается решением
следующей задачи на экстремум:
Задача 3.
py > max .
y?Y

Отметим, что если все цены положительны (все блага желательны), то решение задачи
производителя должно лежать на эффективной границе технологического множества.

y2
эффективная
граница



p2 /p1
Y



y1


Рис. 4.5. Иллюстрация решения задачи производителя

Обозначим множество цен, на котором существует решение Задачи 3, через P .
Определение 38:
Отображением предложения y(p) будем называть отображение, которое ставит в соответ-
ствие каждому вектору цен p ? P множество решений этой задачи. Если решения единствен-
ны, то говорят о функции предложения.
Определение 39:
Функция прибыли — это функция, которая ставит в соответствие каждому вектору цен
p ? P значение Задачи 3:
?(p) = py(p).

Существенное отличие задачи производителя (Задача 3) от задачи потребителя (Задачи
1) состоит в том, что множество ее допустимых решений Y , как правило, не ограничено.
Более того, для технологий с неубывающей отдачей существование допустимых технологий
с положительной прибылью означает существование допустимых технологий, дающих сколь
угодно большую прибыль.
Пример 28 ((Отсутствие решения задачи производителя)):
Пусть технологическое множество имеет вид

Y = { (y1 , y2 ) | y1 0},
0, y2 + ?y1

цены благ равны p1 , p2 . Если выбрать y2 = ??y1 , то прибыль будет равна ?(?p2 ? p1 )y1 .
Поэтому если ?p2 > p1 , то прибыль не ограничена сверху, и решение отсутствует.
4.2. Задача производителя и ее свойства 140

Если ?p2 < p1 , то решение единственно — y1 = 0 и y2 = 0. Если ?p2 = p1 , то решением
этой задачи является любая технологически допустимая пара (y1 , y2 ), такая что y2 +?y1 = 0.

Таким образом, существование решений можно гарантировать лишь при дополнительных
предположениях относительно вектора цен p и структуры множества Y . Ниже мы докажем
существование решения для всех неотрицательных цен при следующем (сильном) предполо-
жении: существует компактное множество Y , такое что

Y ? Y ? Rl .
Y ?Y и (?)
+




Y
Y

Y ?R2
+
Y




Рис. 4.6. Иллюстрация предположения, гарантирующего существование решения задачи
максимизации прибыли

Заметим (что легко увидеть из предлагаемых иллюстраций Рис. 5), что множество Y ,
обладающее указанным свойством, если существует, то определяется множеством Y не един-
ственным образом.
Теорема 49:
Пусть выполнено соотношение (?). Тогда решение Задачи 3 существует при любом неот-
рицательном векторе цен благ.

Доказательство: Докажем, что задача максимизации прибыли на Y в определенном смысле
сводится к задаче максимизации прибыли на Y . Пусть y ? Y и y ? Y . Тогда по условию
/
(?) найдется вектор y ? Y такой, что y ? y = 0. Тем самым, мы нашли допустимое
решение, для которого прибыль не меньше, чем для y . Из этого следует, что нам достаточно
рассматривать только y ? Y .
Поскольку Y — компактное множество, а прибыль py непрерывна по y , то по теореме
Вейерштрасса решение Задачи 3 на множестве Y всегда существует.

Ясно, что предположения этой теоремы слишком ограничительны, что не позволяет уста-
навливать существование решения задачи производителя для многих популярных технологи-
ческих множеств. Так, для производственной функции Кобба — Дугласа с убывающей отдачей
(f (K, L) = K ? L? , ? + ? < 1) мы можем гарантировать существование решения при положи-
тельных ценах, а условию теоремы она не удовлетворяет.
Существование решение задачи производителя в этом случае гарантируется тем фактом,
что на всех «рецессивных направлениях» данного технологического множества прибыль при-
нимает отрицательные значения. Поясним сказанное и приведем утверждения, обобщающие
доказанную выше теорему.
Введем соответствующие понятия.
Пусть Y удовлетворяет свойству невозрастающей отдачи от масштаба. Назовем вектор ?
рецессивным направлением (направлением «удаления в бесконечность»), если ?? ? Y ?? 0.
4.2. Задача производителя и ее свойства 141

Обозначим через ? множество всех рецессивных направлений. По построению ? является ко-
нусом. Построим на основе ? следующее множество (множество цен, которые на рецессивных
направлениях дают отрицательную прибыль):
?
P = { p | p? < 0 ?? ? ? : ? = 0 } .

Справедлива следующая теорема.
Теорема 50:
Пусть технологическое множество Y непусто, замкнуто и удовлетворяет свойству свой-
?
ству невозрастающей отдачи от масштаба. Тогда при всех p ? P Задача 3 имеет решение.
?
Доказательство: Рассмотрим p ? P и предположим, что Задача 3 не имеет решения. Тогда
существует неограниченная последовательность технологий {yi }, такая что

yi+1 > yi

и
lim pyi = sup py.
y?Y

Без ограничения общности можно считать, что yi = 0. Рассмотрим последовательность yi / yi .

<< Предыдущая

стр. 31
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>