<< Предыдущая

стр. 32
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Эта последовательность ограничена и поэтому содержит сходящуюся подпоследовательность.
Обозначим эту подпоследовательность через {? i }, а ее предел через y . Покажем, что y ? ?.
? ?
y
? ?y / ?y
Пусть это не так, и найдется ?, такое что ?? ? Y . Рассмотрим последовательность ?? i .
Из свойства невозрастающей отдачи и того, что исходная последовательность yi неограничен-
но возрастает, следует, что начиная с некоторого i эта последовательность принадлежит Y .
?y
Пределом этой последовательности будет вектор ?? . Поскольку технологическое множество
?y
замкнуто, то ?? ? Y . Полученное противоречие доказывает, что y ? ?.
?
? и y ? ?, то p? < 0. Отсюда следует, что для достаточно больших i
Поскольку p ? P ? y
выполняется p? i < 0, поэтому lim pyi = ??. C другой стороны, поскольку Y непусто, то
y
supy?Y py > ??.

Из доказанной теоремы следует, что если множество рецессивных направлений ? совпадает
с Rl , то (в предположениях теоремы) решение задачи производителя существует при любых
?
положительных ценах. Примером служит технология, задаваемая производственной функцией
Кобба — Дугласа с убывающей отдачей.
Докажем некоторые свойства функции прибыли и отображения (функции) предложения.
Теорема 51 ((Свойства функции ?(p) )):
1) Функция ?(p) положительно однородна 1-й степени:

?(?p) = ??(p) ?p ? int P.

2) Если технологическое множество замкнуто, то функция прибыли ?(p) выпукла на
любом выпуклом подмножестве множества P (множества цен, при которых Задача 3 имеет
решение).
3) Функция ?(p) непрерывна на внутренности множества P , int P .
4) Если множество Y строго выпукло, то ?(p) непрерывно дифференцируема на p ?
int P .

Доказательство: 1) Доказательство однородности оставляем в качестве упражнения.
2) Докажем выпуклость ?(·). Пусть от некоторых двух цен p, p взята выпуклая комби-
нация — цена
p? = ?p + (1 ? ?)p (0 < ? < 1).
4.2. Задача производителя и ее свойства 142

Учитывая условия максимизации прибыли, имеем для y? = y(p? ):

py? ?(p), p y? ?(p ).

Складывая эти неравенства с множителями ? и 1 ? ? соответственно, получим требуемое
неравенство:
?(p? ) ??(p) + (1 ? ?)?(p ).
Выпуклость функции ?(·) можно также доказать, используя тот факт, что поточечный мак-
симум семейства выпуклых функций — выпуклая функция, заметив, что ?(·) является пото-
чечным максимумом выпуклых (линейных) функций py , y ? Y .
3) Непрерывность функции ?(·) на множестве int P следует, например, из того факта, что
выпуклая функция непрерывна во внутренности ее области определения.
4) Дифференцируемость функции ?(·) следует из того, что решение задачи производителя
y(p) единственно при любых при любых положительных ценах, градиент ?(p) = y(p).
Поскольку y(p) непрерывна на int P , ?(p) непрерывно дифференцируема на int P .

Аналогом тождества Роя является следующая лемма Хотеллинга, результат, который мы
использовали при доказательстве предыдущей теоремы и который мы установим сейчас при
более сильных, чем это необходимо, предположениях.
Теорема 52:
Пусть функция прибыли ?(·) непрерывно дифференцируема в точке p ? int P .
Тогда
??(p)
= yk (p).
?pk


Доказательство: Пусть p ? int P — некоторый вектор цен. Для доказательства леммы опре-
?
делим две функции от цены k -го блага pk . Первая из них представляет собой прибыль как
?
функцию pk при условии, что остальные цены зафиксированы на уровне p?k , т. е.

?k (pk ) = ?(? ?k , pk ) = ?(?1 , . . . , pk?1 , pk , pk+1 , . . . , pl ).
p p ? ?

?
Обозначив y = y(? ), определим вторую функцию как
p

?(pk ) = pk yk +
? ps y s .
??
s=k

Она является линейной функцией pk .
??
По определению, ?(? ) = py , а это означает, что ?k (?k ) = ?(?k ). При других ценах, вообще
p p p
?
говоря, y = y(? ) может не давать максимум прибыли, т. е. ?k (pk )
p ?(pk ). Таким образом,
прямая ?(pk ) является касательной графика функции ?k (pk ) в точке pk (точка A на Рис. 4.7).
?
В точке касания производные совпадают, поэтому

??(? )
p
= ?k (?k ) = ? (?k ) = yk ,
p p ?
?pk

что и означает справедливость Леммы.

Теорема 53 ((Свойства отображения предложения)):



• Отображение (функция) предложения y(p) однородно нулевой степени.
4.2. Задача производителя и ее свойства 143




A
pk y k +
? ps y s
??
?(? ?k , pk )
p
s=k


pk
pk
?


Рис. 4.7. Иллюстрация доказательства Леммы Хотеллинга


• Если множество Y строго выпукло, то y(p) — однозначная функция на p ? P ,
причем y(p) непрерывна на p ? int P .

• Если функция прибыли ?(·) дважды непрерывно дифференцируема, то матрица Яко-
би M = {?ys /?pk } функции y(p) симметрична и положительно полуопределена,
p ? int P .


Доказательство: Доказательство оставляем в качестве упражнения.

Если технологическое множество может быть представлено посредством производственной
функции, то задача производителя сводится к следующей задаче максимизации прибыли:

po f (r) ? wr > max,
r?R

где po — цена выпускаемой продукции, r — количество затрачиваемых факторов производ-
ства, w — вектор цен факторов. Прибыль здесь определяется как разность между выручкой
po y o и издержками wr.
Пусть r(w, po ) — функция спроса на факторы производства при векторе цен (w, po ),
y o (w, po ) — функция предложения продукции при векторе цен (w, po ). Заметим, что если
po > 0, то y o (w, po ) = f (r(w, po )). В данном контексте функция прибыли записывается в
следующем виде:
?(w, po ) = po f (r(w, po )) ? wr(w, po ).
Поясним связи переменных этой задачи с ранее рассмотренными. Как не трудно понять трудно
понять p = (w, po ) и y(p) = (?r(w, po ), y o (w, po )).
Как результаты доказанные в этом параграфе, так и те которые будут доказаны впослед-
ствии, могут быть доказаны и в случае, когда первичным объектом рассмотрения является не
технологическое множество, а производственная функция.
Если ? — внутреннее решение задачи максимизации прибыли (? ? int R) и производствен-
r r
ная функция дифференцируема, то ? удовлетворяет следующим условиям первого порядка:
r

?f (?)
r
po = wk ?k ? K.
?rk

т. е. предельная производительность каждого фактора производства равна его цене. В вектор-
ной записи
po f (?) = w.
r
4.2. Задача производителя и ее свойства 144

При po > 0 получим следующую дифференциальную характеристику задачи производителя:

?f (?)
r wk
= o,
?rk p

т. е. предельный продукт каждого фактора производства равен его относительной цене (про-
порции обмена этого производственного фактора на продукт).
Предположим, что множество R задается неравенствами r 0. Тогда любое решение
удовлетворяет соотношению
?f (?)
r
po wk ,
?rk
причем (условия дополняющей нежесткости)

?f (?)
r
po = wk , если rk > 0,
?rk
и
?f (?)
r
rk = 0, если po < wk .
?rk
Указанные необходимые условия оптимальности оказываются достаточными в случае, если
производственная функция вогнута.
Соотношения леммы Хотеллинга в этом случае приобретают следующий вид:

??(w, po )
= f (r(w, po )),
o
?p

??(w, po )
= ?rk (w, po ).
?wk
Можно получить аналогичную дифференциальную характеристику решения задачи про-
изводителя и в случае, если технологическое множество задано неявной производственной
функцией g(·), которая является дифференцируемой.
Заметим, что если технологическое множество задано неявной производственной функцией
g(·), то задача производителя записывается как

py > max
y

g(y) 0.

При дифференцируемости функции g(·) решение этой задачи можно охарактеризовать при
помощи теоремы Куна — Таккера в дифференциальной форме. Функция Лагранжа для задачи
производителя равна
L(? , ?) =
y pk yk + ?g(y),
k?K

где ? — множитель Лагранжа, соответствующий технологическому ограничению.
По теореме Куна — Таккера (при выполнении условий регулярности, которые в данном
случае эквивалентны тому, что g(y) = 0) существует множитель Лагранжа ? 0, такой
?
что решение задачи, y , удовлетворяет условиям

?L(? , ?)
y
= 0 ?k ? K,
?yk
или
?g(? )
y
= pk ?k ? K.
?
?yk
4.2. Задача производителя и ее свойства 145

В векторных обозначениях,
? g(? ) = p,
y
то есть градиент неявной производственной функции коллинеарен вектору цен.
Если не все цены равны нулю (p = 0), то ? > 0. Исключая множитель Лагранжа ?, для
любых двух благ k, s ? K , таких что pk = 0, получаем, что

ps ?g(? )/?ys
y
= .
pk ?g(? )/?yk
y

Следовательно, решение задачи производителя характеризуется равенством предельной нор-
мы трансформации любых двух благ отношению цен этих благ.
Условия первого порядка задают систему уравнений, любое решение которой по обратной
теореме Куна — Таккера является решением задачи производителя, если выполнено дополни-

<< Предыдущая

стр. 32
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>