<< Предыдущая

стр. 33
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

тельное условие, что функция g(·) вогнута.

4.2.1 Задачи
 193. Объясните, почему при не равных нулю ценах решение задачи производителя должно
лежать на границе технологического множества.
 194. Докажите, что все точки эффективной границы выпуклого технологического множе-
ства являются решением задачи производителя при некоторых неотрицательных, не равных
нулю ценах. Приведите пример, показывающий, что в этом утверждении нельзя заменить
неотрицательные цены на положительные.
 195. Для случая, когда технологическое множество может быть представлено посредством
производственной функции, сформулируйте и докажите лемму Хотеллинга, пользуясь фор-
мулой вычисления прибыли и условиями первого порядка для внутреннего решения задачи
производителя.
 196. Для случая, когда Y представлено дифференцируемой неявной производственной функ-
цией, можно доказать лемму Хотеллинга используя теорему Куна — Таккера. Проведите это
доказательство. (Подсказка: см. первое доказательство леммы Шепарда для теории потребле-
ния).
 197. Докажите Теорему 53.
 198. Покажите, что если производственная функция f (·) строго вогнута, и, кроме того,
f (0) = 0, то прибыль в точке оптимума неотрицательна.
 199. Покажите, что если производственная функция в точке максимума прибыли обладает
возрастающей отдачей от масштаба, то прибыль не может быть положительной. На основании
этого выведите, что в случае возрастающей отдачи от масштаба задача производителя либо
не имеет решения, либо в точке решения прибыль равна нулю.
 200. Пусть r(w, po ) — функция спроса на факторы, y o (w, po ) = f (r(w, po )) — функция
предложения, а H = 2 f (r) — матрица вторых производных производственной функции
f (r). Выведите следующие соотношения сравнительной статики для задачи производителя:

?y o 1 ?r 1
= ? o f H?1 f, = ? o H?1 f,
?po ?po
p p
?y o 1 ?r 1
= o H?1 f, = o H?1 .
?w p ?w p
На основании этого сделайте заключение о поведении выпуска производителя и его спроса на
факторы для вогнутых производственных функций. Проиллюстрируйте эти соотношения для
производственной функции типа Кобба — Дугласа.
4.2. Задача производителя и ее свойства 146

 201. Пусть множество производственных возможностей фирмы задается условием:

ln(1 ? y2 ), где y2 < 1.
y1

Постройте функции спроса (предложения) на y1 , y2 . Постройте функцию прибыли для данной
технологии.
 202. Для технологии, описываемой производственной функцией f (r) = r? , вычислите:
- функцию прибыли,
- функцию спроса на производственный фактор,
- функцию предложения,
Покажите, что
- функция прибыли однородна и выпукла (по цене продукции, po , и цене производственного
фактора, w ),
- функция спроса удовлетворяет закону спроса,
- функция предложения удовлетворяет закону предложения
 203. Найдите функцию прибыли, функцию предложения и функцию спроса на факторы
для перечисленных производственных функций:
?
(а) f (r) = i ri i , ?i > 0 (функция Кобба — Дугласа),
?
(б) f (r) = i ai ri ,
(в) f (r) = n?1 fi (ri ) + rn .
i=1
Какими свойствами обладают найденные функции? Покажите, что для данных функций
выполнена лемма Хотеллинга.
 204. Докажите, что валовой доход фирмы, не может вырасти, если цены на все факторы
производства увеличатся пропорционально.
 205. Покажите, что валовой доход фирмы не может вырасти, если упадет цена по крайней
мере одного из выпускаемых ею продуктов.
 206. Покажите, что прибыль фирмы упадет, если вырастет цена по крайней мере на один
из используемых ею факторов производства.
 207. Покажите, что прибыль фирмы упадет, если упадет цена по крайней мере на один из
выпускаемых ею продуктов.
 208. Предположим, что производственная функция для некоторой технологии вогнута и
сепарабельна, причем предельный продукт любого фактора производства как угодно мал при
достаточно больших объемах затрат этого фактора производства. Покажите, что
- валовой доход фирмы упадет, если возрастет цена по крайней мере на один из использу-
емых ею факторов производства;
- функция спроса (предложения) данной фирмы удовлетворяет условиям валовой замени-
мости;
- спрос данной фирмы на любой фактор производства неограниченно возрастает при паде-
нии цены этого фактора производства;
- предложение данной фирмы неограниченно возрастает при росте выпускаемой этой фир-
мой продукции.
 209. Покажите, что в случае однородной производственной функции показатель отдачи от
масштаба не зависит от цен факторов.
 210. Покажите, что в случае однородной производственной функции отношение функций
спроса на любые два фактора производства не зависит от цены продукции.
 211. Покажите, что функция прибыли сепарабельна тогда и только тогда, когда сепарабель-
на функция спроса.
4.3. Восстановление технологического множества 147


4.3 Восстановление технологического множества

Аналог концепции выявленных предпочтений для модели производителя имеет довольно
простой вид. Пусть (pi , yi ), i = 1, . . . , n — последовательность наблюдений: при ценах pi
наблюдался вектор чистого выпуска yi . Если при каком-то векторе цен pi выполнено pi yj >
pi yi , то yi не максимизирует прибыль при ценах pi . А это противоречит рациональности
производителя.
Если же pi yj pi yi ?i, j , то последовательность наблюдений (pi , yi ), i = 1, . . . , n не
противоречит гипотезе максимизации прибыли. Технологическое множество, которое порож-
дает такие выборы производителя, может быть построено разными способами. Рассмотрим
некоторые из них.




(1) (2)
y1
y1

y2
y2
Y1
Y2


y3
y3



(3) (4)
y1
y1

y2
y2
Y4
Y3


y3
y3




y1 (5)

y2
Y5


y3



Рис. 4.8. Возможные способы восстановления множества Y по наблюдаемым точкам
4.3. Восстановление технологического множества 148

Наиболее простым является вариант, когда технологическое множество, которое при мак-
симизации прибыли порождает такие выборы, состоит только из точек yi , т. е.

Y1 = {y1 , y2 , . . . , yn }.

Также можно в качестве технологического множества Y можно взять выпуклую оболочку Y2
точек y1 , y2 , . . . , yn (если мы предполагаем, что технологическое множество выпукло). Если
мы предполагаем выпуклость и свободу расходования, то в качестве Y можно взять разность
между Y1 и Rl : +
Y3 = Y1 ? Rl ,
+

и между Y2 и R+ :
Y4 = Y2 ? Rl .
+

Еще один вариант — пересечение полупространств, отсекаемых соответствующими гиперплос-
костями:
Y5 = { y | pi y pi yi , i = 1, . . . , n } .
Все эти варианты для случая n = 2 изображены на приведенных выше рисунках. Прямые,
нарисованные пунктиром, изображают цены. Отметим, что

Y1 ? Y2 ? Y4 ? Y5

и
Y1 ? Y3 ? Y4 ? Y5 .
Таким образом, существует несколько множеств, порождающий указанный спрос, причем
Y5 является «максимальным» из этих множеств (т. е. содержит любое другое множество).
Покажем, что аналогичная процедура позволяет построить подходящее технологическое мно-
жество и в случае, когда количество наблюдений может быть бесконечно.
Предположим, что функция y(p), определенная на множестве цен P , такова, что y(p)
является решением задачи максимизации прибыли при ценах p. Требуется на основе y(p)
и соответствующей функции прибыли ?(p) восстановить соответствующее технологическое
множество Y .
Заметим, что существование вектора y ? Y , такого что py > ?(p) при некоторых ценах
p, противоречило бы гипотезе максимизации прибыли на Y . Объединим все векторы y не
противоречащие этому условию при всех неотрицательных??

{ y | py ?(p) } = { y | py ?(p) ?p ? P } .
Y? =
p?P

Очевидно, что по построению выполнено Y ? Y? (т. е. построенное технологическое множество
будет в общем случае шире, чем исходное), и y(p) является решением задачи производителя
с технологическим множеством Y? при ценах p ? P . Как следствие, функция прибыли для
технологического множества Y? определена при всех p ? P и совпадает с ?(p).
Таким образом, мы нашли (максимальное) технологическое множество, которое порождает
данные наблюдения.
Уместен вопрос: совпадет ли множество Y? с технологическим множеством Y , на основе
которого оно построено? Положительный ответ на этот вопрос позволил бы нам восстанавли-
вать технологические множества по наблюдаемому поведению.
Ответ на вопрос зависит от свойств технологического множества Y и от множества цен
P , при которых наблюдается предложение.
В общем случае Y и Y? могут не совпадать, поскольку описанный метод построения Y?
порождает выпуклые множества (пересечение полупространств), а технологическое множество
4.3. Восстановление технологического множества 149

Y может быть невыпуклым (как на Рис. 4.8.1 и 4.8.3). Кроме того, ясно, что множество цен
P может быть недостаточно «богатым» для того, чтобы технологическое множество было
адекватно представлено наблюдаемыми выборами при этих ценах.
Рассмотрим частный случай, когда P = Rl . В этом случае Y и Y? могут не совпадать,
++
поскольку наш метод построения Y? порождает множества, удовлетворяющее свойству свобо-
ды расходования, а технологическое множество Y может не удовлетворять свойству свободы
расходования (как на Рис. 4.8.1 и 4.8.2).
Теорема 54:
Пусть технологическое множество Y непусто, замкнуто, выпукло и удовлетворяет свой-
ству свободы расходования. Тогда при P = Rl оно совпадает с порождаемым им множе-
++
ством Y? .

Доказательство: Поскольку Y ? Y? , то остается показать только, что Y? ? Y .
?
Рассмотрим точку y , не принадлежащую технологическому множеству Y . По теореме
?
отделимости для непустого выпуклого замкнутого множества Y и точки y , не принадлежащей
?
этому множеству, существует вектор коэффициентов p , не равный нулю, и число q , такие что
py ?y ? Y.
?? ?
py > q
?
Покажем, что p может быть вектором цен. Для этого нужно, чтобы он не имел нулевых или
отрицательных компонент.
Предположим, что pi < 0. Рассмотрим некоторую точку y ? Y и луч y ? ?ei при ? 0,
?
где ei — орт (i-я компонента равна 1, а остальные — нули). Этот луч целиком лежит во
множестве Y , так как Y удовлетворяет свойству свободы расходования. Величина py ???i не
? p
ограничена сверху. Это противоречит тому, что py > py ?y ? Y . Мы пришли к противоречию,
?? ?
?
поэтому p 0.
Более того, можно выбрать вектор коэффициентов так, что в нем не будет нулевых компо-
нент. Действительно, рассмотрим вектор p + ?p , где p — произвольный вектор цен из Rl .
? ++
Величины p y при y ? Y ограничены сверху значением ?(p ), поэтому, если ? достаточно
мало, то все еще будут выполняться неравенства
(? + ?p )? > (? + ?p )y ?y ? Y.
p y p
Следовательно, существует вектор p > 0, такой что py > py ?y ? Y . Отсюда следует, что
? ?? ?
py > ?(? ), и, значит, y ? Y? .
?? p /
Мы показали, что любая точка, которая не принадлежит Y , не принадлежит и Y? . А это
значит, что Y? ? Y .


y2

?
y


Y


<< Предыдущая

стр. 33
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>