<< Предыдущая

стр. 34
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

y1


Рис. 4.9. Иллюстрация отделимости

Ниже Рис. 4.10 приведены примеры ситуаций, когда при нарушении предположений тео-
ремы ее утверждение (Y? ? Y ) неверно и, тем самым, невозможно восстановить Y на основе
функции прибыли.
4.3. Восстановление технологического множества 150
Эти точки нельзя отделить
гиперплоскостью с
Эти точки неотрицательным наклоном
нельзя
отделить y2
y2
y1



Y Y
y1
Не выполнено условие свободы
Не выполнено условие выпуклости расходования

Рис. 4.10. Ситуации, когда невозможно восстановить Y .


Обсудим теперь следующую проблему: как для данной функции ?(p) и функции y(p),
заданных на множестве цен P , определить, могут ли они являться соответственно функцией
прибыли и функцией предложения рационального производителя?
Понятно, что необходимыми требованиями к функции прибыли являются ее выпуклость,
однородность первой степени и непрерывность. Оказывается, что эти условия являются и до-
статочными для того, чтобы произвольная функция ?(p) была функцией прибыли для неко-
торого технологического множества. В качестве такого множества можно взять рассмотренное
выше множество

Y? = { y | py ?(p) ?p ? P } .


Следующий набор утверждений формализует сказанное выше:
(1) Если функция ?(p) удовлетворяет набору необходимых условий для функции прибыли,
то построенная на ее основе функция y(p) удовлетворяет набору необходимых условий для
функции предложения производителя.
(2) Если функция y(p) удовлетворяет набору необходимых условий для функции пред-
ложения производителя, то построенная на ее основе функция ?(p) удовлетворяет набору
необходимых условий для функции прибыли.
(3) Если функция ?(p) удовлетворяет набору необходимых условий для функции прибыли,
то существует технологическое множество, порождающее ?(p) как функцию прибыли.
Перечислим упомянутые необходимые условия. Для удобства доказательства потребуем
дополнительно, что ?(p) является дважды непрерывно дифференцируемой, а y(p) — непре-
рывно дифференцируемой.
Условия на функцию ?(p):
(A1) положительная однородность первой степени;
(A2) выпуклость;
(A3) ?(·) дважды непрерывно дифференцируема (более сильное условие, чем требуется).
Условия на функцию y(p):
(B1) положительно однородна нулевой степени,
(B2) матрица производных M = {?ys /?pk } существует и непрерывна, положительно по-
луопределена и симметрична.
Сформулируем приведенный выше набор неформальных утверждений как теорему.
4.3. Восстановление технологического множества 151
Теорема 55:
(1) Пусть
??(p)
yk (p) = ,
?pk
где функция ?(p) удовлетворяет условиям (A1), (A2), (A3).
Тогда y(p) = (y1 (p), . . . , yl (p)) удовлетворяет условиям (B1), (B2) налагаемым на
функцию спроса-предложения производителя.
(2) Пусть функция y(p) удовлетворяет условиям (B1), (B2).
Тогда функция ?(p) = py(p) удовлетворяет условиям (A1), (A2), (A3).
(3) Пусть функция ?(p) удовлетворяет условиям (A1), (A2), (A3). Тогда множество
Y? = { y | py ?(p) ?p 0 } является технологическим множеством порождающим функ-
цию прибыли ?(p).

Доказательство: (1) (A1)-(A3) ? (B1)-(B2).
Поскольку функция ?(p) однородна первой степени, то ее производная y(p) однородна
нулевой степени.
Непрерывная дифференцируемость y(p) следует из дважды непрерывной дифференциру-
емости функции ?(p).
Матрица вторых производных любой дважды непрерывно дифференцируемой функции
симметрична. Применяя это свойство к функции ?(p) имеем,

? 2 ?(p) ? 2 ?(p)
= .
?ps ?pk ?pk ?ps

Матрица вторых производных функции ?(p) есть матрица первых производных функции
y(p). Поэтому
?ys ?yk
= .
?pk ?ps
0 ?r ?
Положительная полуопределенность матрицы вторых производных (то есть rMr
n ) — необходимый (и достаточный) признак выпуклости любой дважды дифференцируемой
R
функции.
(2) (B1)-(B2) ? (A1)-(A3).
Продифференцируем ?(p) = py(p) = pk yk (p) по pk :

l l
??(p) ?ys (p) ?yk (p)
= yk (p) + ps = yk (p) + ps .
?pk ?pk ?ps
s=1 s=1

Второе равенство — следствие симметричности производных функции y(p). Так как y(p) —
положительно однородна нулевой степени, то по закону Эйлера
l
?yk (p)
ps = 0.
?ps
s=1

Таким образом,
??(p)
= yk (p).
?pk
Далее воспроизводим доказательство пункта (1) в обратном порядке.
(3)
Обозначим
y(p) = ?(p).
4.3. Восстановление технологического множества 152

Так как ?(p) — однородная первой степени функция и y(p) — ее градиент, то по закону
Эйлера
?(p) = py(p).
Поскольку py(p) = ?(p), то в точке y(p) при данных ценах p величина py(p) всегда не
меньше, чем py в любой точке y ? Y? . Если мы докажем, что при любых ценах p 0 точка
y(p) принадлежит множеству Y? = { y | p y ?(p ) ?p 0 }, то тем самым мы докажем, что
?(p) есть функция прибыли, соответствующая технологическому множеству Y? .
То есть нам требуется показать, что p y(p) ?(p ) ?p, p 0.
График всякой выпуклой непрерывно дифференцируемой функция ?(r) лежит выше своей
касательной, т. е. выполняется соотношение:

?(r)(r ? r).
?(r ) ?(r) +

Так как ?(p) — выпуклая непрерывно дифференцируемая функция, то

?(p)(p ? p).
?(p ) ?(p) +

Поскольку ?(p) = y(p) и py(p) = ?(p), получаем требуемое для доказательства утвержде-
ния соотношение
?(p ) ?(p) + y(p)(p ? p) = y(p)p .


4.3.1 Задачи
 212. Известно, что при ценах (1, 2) производитель выбрал вектор выпуска (1, ?1), а при
ценах (2, 1) — вектор выпуска (?1, 1). Совместимо ли это с максимизацией прибыли?
 213. Известно, что при ценах (3, 2) производитель выбрал вектор выпуска (2, ?1), а при
ценах (2, 3) — вектор выпуска (1, ?2). Совместимо ли это с максимизацией прибыли?
 214. Известно, что при ценах (1, 4) производитель выбрал вектор выпуска (?4, 3), при це-
нах (1, 1) — вектор выпуска (0, 0), а при ценах (2, 1) — вектор выпуска (3, ?4). Можно ли
гарантировать, что вектор выпуска (?1, 2) не принадлежит множеству допустимых техноло-
гий?
 215. Известно, что при ценах (1, 4) производитель выбрал вектор выпуска (?4, 3), при це-
нах (1, 1) — вектор выпуска (0, 0), а при ценах (2, 1) — вектор выпуска (3, ?4). Можно ли
гарантировать, что вектор выпуска (?9, 4) не принадлежит множеству допустимых техноло-
гий?
 216. Сформулируйте аксиому выявленных предпочтений для модели производителя. До-
кажите, что если технологическое множество описывается строго вогнутой производственной
функцией, то выбор производителя удовлетворяет аксиоме выявленных предпочтений.
 217. Покажите, что выполняется соотношение ?po ?y o ? ?w?r 0.
 218. Известно, что спрос потребителя удовлетворяет закону спроса только в случае благ, не
являющихся товарами Гиффена, а спрос на факторы производства удовлетворяет закону спро-
са всегда. Какие особенности моделей рационального поведения производителя и потребителя
предопределяют такие особенности их поведения?
 219. Пусть функция прибыли производителя имеет вид
p1
? 1) + p2 .
?(p) = p1 (ln
p2
Проверьте, что эта функция удовлетворяет свойствам функции прибыли. Восстановите по
функции прибыли соответствующее ей технологическое множество.
4.4. Затраты и издержки 153

 220. Пусть функция прибыли производителя имеет вид
?
? ? ?
o o 1??
? w 1?? (po ?) 1?? .
?(w, p ) = p ?/w 1??


Проверьте, что эта функция удовлетворяет свойствам функции прибыли. Найдите функцию
спроса. Восстановите по функции прибыли соответствующее ей технологическое множество.


4.4 Затраты и издержки
Итак, мы изучили основные свойства модели рационального поведения производителя. В
микроэкономике утвердилась также традиция описывать технологию посредством функции
издержек, решая при этом задачу максимизиции прибыли в два этапа. На первом находит-
ся минимальные затраты (и соответствующая им технология), которые позволяют произве-
сти данное количество продукции. Соответствующая зависимость между выпусками и эти-
ми (минимальными) затратами и называется функцией издержек. На втором, при известной
функции издержек, при заданных ценах (или зависимостях этих цен от результатов произ-
водственной деятельности) на выпускаемую продукцию и (факторы производства) находится
тот выпуск, которому соответствует максимальная прибыль. Такое разделение задачи «плани-
рования» производства на два этапа представляется удобным исследовательским приемом, и
особенно при исследовании моделей равновесия в производством, удовлетворяющим условиям
постоянной отдачи от масштаба, а также при анализе моделей несовершенной конкуренции,
когда поведение производителя оказывает влияние на рыночные цены.
В этом параграфе приведем соответствующие результаты относительно свойств функций
издержек и связь этого понятия с теми понятиями, которые были рассмотрены выше.
В этом параграфе для упрощения обозначений вектор выпуска мы будем обозначать через
y (вместо yo ). Как и ранее, r — вектор соответствующих затрат.

4.4.1 Множество требуемых затрат
Определение 40:
Для каждого вектора выпуска y множество требуемых затрат V (y) — это множество век-
торов затрат, обеспечивающих этот выпуск при данном технологическом множестве Y , т. е.
V (y) = { r | (?r, y) ? Y } .
Из предполагаемых свойств Y вытекают некоторые свойства множества V (y) и соответ-
ствующего отображения V (·):
1. Из выпуклости Y следует выпуклость множеств V (y):
2. Из свободы расходования для Y следует свобода расходования для множеств V (y):
r ? V (y), r r ? r ? V (y).
Заметим, что обратное, вообще говоря, неверно.
Обычно предполагается монотонность отображения V (·), т. е. вложенность множеств V (y):
y ? V (y ) ? V (y).
y
Множества V (y), как и Y , в предположении свободного расходования можно строить по
производственной функции:
V (y) = { r | f (r) y } .
Обратно, в случае однопродуктовой технологии (y ? R) можно определить на основе V (·)
производственную функцию следующим образом:
f (r) = max y.
y: r?V (y)
4.4. Затраты и издержки 154

r2


V (y )


V (y)
y<y


r1


Рис. 4.11. Монотонность V (·)

Теорема 56:
Если отображение V (·) монотонно, то соответствующая производственная функция мо-
нотонна, а если к тому же множества V (y) выпуклы, то она квазивогнута.

Доказательство: Доказательство этого утверждения оставляется читателю в качестве упраж-
нения.

В терминах множеств V (y) можно определить изокванты для данной технологии

Q(y) = { r ? V (y) | r ? V (y ), ?y > y } .
/

Это множество таких векторов затрат r, которые позволяют произвести y , но не позволяют
произвести больше y . Таким образом, изокванта Q(y) — это граница множества V (y).
Например, для производственной функции Кобба — Дугласа с двумя видами затрат имеем
? 1??
Y = { (?r1 , ?r2 , y) | y r1 r 2 } ,
? 1??
V (y) = { (r1 , r2 ) | y r1 r2 } ,
? 1??
Q(y) = { (r1 , r2 ) | y = r1 r2 } .
Напомним, что через w мы обозначили цены затрачиваемых ресурсов (часть общего вектора
цен p, соответствующая ?r).

<< Предыдущая

стр. 34
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>