<< Предыдущая

стр. 35
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


4.4.2 Функция издержек
По аналогии с Задачей 3 рассмотрим следующую задачу
Задача 4.

wr > min
r
r ? V (y).

Обозначим множество цен факторов, на котором существует решение Задачи 4 при объеме
выпуска y , через W (y).
Определение 41:
Функция издержек c(w, y) — это значение целевой функции Задачи 4; для каждого век-
тора выпуска y и вектора цен факторов w ? W (y) она указывает минимальную величину
издержек, при которых в соответствии с данной технологией можно произвести y .
4.4. Затраты и издержки 155

r2
V (y)



изокванта
Q(y)
r1


Рис. 4.12. Построение функции издержек


Если технологическое множество задано производственной функцией y f (r), то Задача
4 примет вид:

wr > min
r
y f (r).

Функция издержек обладает следующими свойствами.
Теорема 57 ((Свойства функции издержек c(w, y) выпуклой технологии)):
Функция издержек c(w, y)
(1) положительно однородна первой степени по ценам факторов:

c(?w, y) = ?c(w, y) ?y, ?w ? W (y);

(2) монотонна по ценам факторов и выпуску при ????;
(3) вогнута по ценам на любом выпуклом подмножестве множества W (y);
(4) непрерывна по ценам на внутренности множества W (y), int W (y).

Доказательство: Доказательство свойств (1), (3) и (4) аналогично приводимым ранее и остав-
ляется читателю в качестве упражнения.
Докажем только монотонность функции издержек.

= w ? c(w , y) > c(w, y) ?w, w ? W (y).
w

Пусть r > 0 — оптимальные затраты при ценах факторов w и выпуске y , т. е. wr = c(w, y).
Из w = w , следует, что c(w, y) = wr < w r c(w , y).

В дальнейшем нам понадобится также понятие функции условного спроса.
Определение 42:
Функция условного спроса на факторы производства r(w, y) есть оптимальное решение
Задачи 4 при выпуске y и ценах факторов w .

Заметим, что функция издержек и функция условного спроса на факторы производства
определены для любого непустого замкнутого технологического множества Y .
Теорема 58 ((Свойства функции условного спроса на факторы)):
1) Функция условного спроса на факторы производства r(w, y) однородна нулевой сте-
пени как функция цен факторов производства w .
2) Если множество V (y) строго выпукло, то r(w, y) — однозначная непрерывная функ-
ция w .
4.4. Затраты и издержки 156

Доказательство: Доказательство этого утверждения аналогично приводимым ранее и оставля-
ется читателю в качестве упражнения.

Если, кроме того, функция издержек дифференцируема, то верна следующая лемма Ше-
парда, связывающая издержки и функцию условного спроса на факторы.
Теорема 59:
Пусть функция издержек дифференцируема по ценам факторов при объеме производ-
ства y .
Тогда для всех w ? int W (y) выполнено

?c(w, y)
= ri (w, y)
?wi
или
w c(w, y) = r(w, y).


Доказательство: Зафиксируем цены факторов на уровне w ? int W (y). Введем функцию на
?
W (y):
?(w) = c(w, y) ? wr(w, y).
?
По определению функции издержек и функции условного спроса ?(w) достигает максиму-
?
ма, равного нулю, в точке w :
?
?(w) 0 и ?(w) = 0.
Если функция издержек дифференцируема по ценам факторов, то функция ?(·) тоже диф-
?
ференцируема. Поскольку точка w внутренняя в W (y), то по условию первого порядка мак-
симума градиент ее должен быть равен нулю:

? r(w, y) = 0.
? ? ?
?(w) = w c(w, y)


Как было указано выше, использование функции издержек позволяет рассматривать мак-
симизацию прибыли как двухэтапную процедуру. На первом этапе по данной технологии и
соответствующему множеству требуемых затрат строится функция издержек. На втором эта-
пе решается задача выбора объема производства, максимизирующего прибыль, которая в этом
случае рассчитывается как разница между выручкой и издержками:

py ? c(w, y) > min .
o y?Y

Здесь через p мы обозначили цены продукции, а через Y o — те объемы производства, которые
допустимы при данном технологическом множестве (существуют затраты, которые вместе с
y составляют допустимую технологию):

Y o = { y | ?r : (?r, y) ? Y } .

Это один из вариантов записи задачи производителя. Если функция издержек дифференци-
руема, и решение рассматриваемой задачи, y , является внутренним (т. е. y ? int Y o ), то оно
? ?
характеризуется следующим условием первого порядка:

?
?c(w, y)
= pk ?k,
?yk
или, в векторной записи,
?
y c(w, y) = p.
4.4. Затраты и издержки 157

Таким образом, оптимальный выпуск характеризуется тем, что предельные издержки равны
цене.
На основе решения рассматриваемой задачи можно построить функцию (отображение) пред-
ложения. Она указывает оптимальный объем выпуска y как функцию цен продукции p и цен
?
факторов w .
Обычно функции издержек используют в моделях частного равновесия (моделях квазили-
нейных экономик).

4.4.3 Восстановление множества требуемых затрат
Построим по функции издержек c(w, y) при некотором фиксированном объеме производ-
ства следующее множество:

Vc (y) = { r | wr c(w, y) ?w 0}.

При любом векторе выпуска y это множество является выпуклым по построению. Так как
цены неотрицательны, то выполняется также следующее свойство, которое можно называть
свойством свободы расходования производственных факторов:

Vc (y) = Vc (y) + Rn , ()
+

т. е. если r принадлежит множеству Vc (y) и r r, то r также принадлежит множеству
Vc (y).
Ясно, что множество требуемых затрат V (y) и рассматриваемое нами сножество Vc (y)
могут не совпадать, если само исходное множество V (y) не является выпуклым или монотон-
ным???.
Теорема 60:
Пусть V (y) выпуклое и удовлетворяющее свойству свободы расходования ( ) множе-
ство. Тогда V (y) = Vc (y).

Доказательство: Доказательство этого утверждения оставляется читателю в качестве упраж-
нения.

Отметим, что даже если множества V (y) и Vc (y) не совпадают друг с другом, это различие
несущественно с точки зрения описания поведения производителя, поскольку Vc (y) порождает
ту же самую функцию издержек, что и V (y).
Теорема 61:
Пусть c? (w, y) — решение задачи

wr > min
r
r ? Vc (y).

Тогда c? (w, y) = c(w, y).

Доказательство: Доказательство этого утверждения оставляется читателю в качестве упраж-
нения.

Заметим, что два эти утверждения — аналоги соответствующих результатов относительно
связи Y и Y? , ?(p) и ? ? (p).
Это утверждение обосновывает возможность получения некоторого множества допусти-
мых затрат Vc (y), порождающего функцию издержек c(w, y). Но совпадение Vc (y) и V (y)
возможно только в том случае, когда V (y) удовлетворяет предположениям выпуклости и мо-
нотонности. Практический способ восстановления V (·) читатель может сконструировать сам.
4.4. Затраты и издержки 158

4.4.4 Задачи
 221. Функция c(y, w) = y 1/2 (w1 w2 )3/4 является функцией издержек для некоторой техноло-
гии
Да
Нет
Недостаточно информации
 222. Функция c(y, w) = (y + 1/y)(w1 w2 )1/2 является функцией издержек для некоторой
технологии
Да
Нет
Недостаточно информации
 223. Функция c(y, w) = y(w1 ? (w1 w2 )1/2 + w2 ) является функцией издержек для некоторой
технологии
Да
Нет
Недостаточно информации
 224. Функция c(y, w) = y(w1 + w2 ) является функцией издержек для некоторой технологии
Да
Нет
Недостаточно информации
 225. Функция c(y, w) = y min{w1 , w2 } является функцией издержек для некоторой техно-
логии
Да
Нет
Недостаточно информации
 226. Функция c(y, w) = y(aw1 + bw2 ) является функцией издержек для некоторой техноло-
гии
при положительных коэффициентах a и b;
если a равно b;
при любых коэффициентах a и b данная функция не является функцией издержек для
некоторой технологии
 227. Функция c(y, w) = y min{aw1 , bw2 } является функцией издержек для некоторой техно-
логии
при положительных коэффициентах a и b;
если a равно b;
при любых коэффициентах a и b данная функция не является функцией издержек для
некоторой технологии
ab
 228. Функция c(y, w) = yw1 w2 является функцией издержек для некоторой технологии
если сумма a + b меньше или равна единицы
при положительных коэффициентах a и b, и если сумма a+b меньше или равна единице
при положительных коэффициентах a и b, и если сумма a + b больше единицы
 229. Множество требуемых ресурсов на производство объема y задается неравенством

y 2 при a, b > 0.
ar1 + br2

Какой вид имеет соответствующая производственная функция?
Постройте функцию издержек.
 230. Найдите функции издержек для следующих производственных функций:
?
а) f (r) = i ri i , ?i > 0,
4.5. Агрегирование в производстве 159
?
б) f (r) = i ai ri ,
в) f (r) = min{ri /ai },
г) f (r) = i ai ri .
 231. Предположим, что предприятие имеет строго вогнутую производственную функцию
f (r). Рассмотрим следующие две задачи:

wr > minr f (r) > maxr
y ? f (r) wr c?

Докажите следующие два утверждения:
I. Пусть r? является решением первой задачи. Тогда r? является решением второй задачи
при c? = wr? .
II. Пусть r? является решением второй задачи. Тогда r? является решением первой задачи
при y ? = f (r? ).
 232. Предположим, что предприятие со строго вогнутой производственной функцией f (r)
имеет функцию издержек c(w, y). Докажите, что оптимальный объем производства в следую-
щих двух задачах совпадает:

py ? wr > maxy,r py ? c(w, y) > maxr
y f (r)

<< Предыдущая

стр. 35
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>