<< Предыдущая

стр. 36
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

 233. Доказать, что если функция издержек выпукла, то производителю выгоднее произво-
дить продукцию, чем закрыться (производить нулевой объем).
 234. Докажите Теорему 56.
 235. Докажите Теорему 57.
 236. Докажите Теорему 58.
 237. Докажите Теорему 60.
 238. Докажите Теорему 61.
 239. Пусть функция издержек строго вогнута, и, кроме того, c(0) = 0. Докажите, что
данная функция издержек была порождена производственной функцией, которая в точках
оптимального выбора производителя характеризуется возрастающей отдачей от масштаба.
 240. Для технологии, описываемой производственной функцией f (r) = r? , вычислите функ-
цию издержек. Покажите, что функция издержек однородна по цене фактора производства и
выпукла по выпуску y .
 241. Показать, что если производственная функция квазивогнута и обладает постоянной
отдачей от масштаба, то функция предельных издержек не убывает по выпуску.
 242. Покажите, что издержки фирмы возрастут, если цены на все выпускаемые этой фирмой
продукты увеличатся пропорционально.
 243. Покажите, что если производственная функция строго вогнута, то функция издержек
строго выпукла.



4.5 Агрегирование в производстве
Пусть существует n фирм с технологическими множествами Yj , j = 1, . . . , n. Зададимся
вопросом о том, можно ли найти технологическое множество Y? , такое чтобы производитель
с таким технологическим множеством (репрезентативный производитель или агрегированный
производитель) демонстрировал определенном смысле такое же поведение, как и n исходных
производителей.
4.5. Агрегирование в производстве 160

Оказывается, что такое технологическое множество построить очень просто:

Y? = Yj ,
j

т. е.
Y? = { yj | yj ? Yj } .
j

Теорема 62:
(1) Если при ценах p технология yj является решением задачи j -го производителя,
?
то технология
? ?
y? = yj
j
является решением задачи агрегированного производителя при тех же ценах.
(2) Обратно, если y? является решением задачи агрегированного производителя, то
?
найдутся технологии yj , каждая из которых является решением задачи соответствующего
?
производителя.

Доказательство: Доказательство оставляется читателю в качестве упражнения.

Как следствие указанного свойства, между функциями прибыли существует следующая
связь:
?? (p) = ?j (p).
j

Если fj (·) — производственная функция j -й фирмы, то агрегированная фирма будет иметь
производственную функцию f? (·), которая получается как значение следующей задачи:

fj (rj ) > max
rj ?Rj
j

rj = r? .
j

Можно показать, что построенная таким образом функция f? (·) будет производственной функ-
цией, соответствующей агрегированному технологическому множеству Y? .
Аналогично, если cj (·) — функция издержек j -й фирмы, то агрегированная фирма будет
иметь функцию издержек c? (·), которая получается как значение следующей задачи:

cj (w, yj ) > maxo
yj ?Yj
j

yj = y? .
j


4.5.1 Задачи
 244. Докажите Теорему 62.
 245. Докажите, что приведенный в этом параграфе способ агрегирования производственных
функций корректен.
 246. Докажите, что приведенный в этом параграфе способ агрегирования функций издер-
жек корректен.
 247. Технологические множества n фирм одинаковы и состоят из двух технологий, (0, 0) и
(?1, 1). Опишите агрегированное технологическое множество Y? . Покажите, что усредненное
технологическое множество Y? /n в пределе заполняет весь отрезок между (0, 0) и (?1, 1).
4.5. Агрегирование в производстве 161

 248. Повторите анализ предыдущей задачи для ситуации, когда технологические множества
дополнены свободой расходования.
 249. Технологические множества n фирм одинаковы и заданы неравенствами

(yj1 + 1)2 + (yj2 + 1)2 2, j = 1, . . . , n.

Найдите неравенство, задающее соответствующее агрегированное технологическое множество.
 250. Технологические множества n фирм одинаковы и заданы неравенствами
2
yj1 + yj2 0, j = 1, . . . , n.

Найдите неравенство, задающее соответствующее агрегированное технологическое множество.
 251. Для следующих производственных функций, j = 1, . . . , n, найдите агрегированную
производственную функцию:
а) fj (r) = ?j r ,
б) fj (r) = ?j ln(r + 1),
v
в) fj (r) = ?j r ,
г) fj (r) = ?j (1 ? exp(?r)),
 252. Для следующих функций издержек, j = 1, . . . , n, найдите агрегированную функцию
издержек:
а) cj (w, y) = w?j y ,
б) cj (w, y) = w?j (exp(y) ? 1),
в) cj (w, y) = w?j y 3 ,
г) cj (w, y) = ?w?j ln(1 ? y),
 253. Фирма имеет n заводов, издержки производства которых описываются следующими
функциями: ci (w, y) = w?i y 2 , i = 1, . . . , n. Определите функцию издержек фирмы.
 254. Фирма имеет два завода, издержки производства которых описываются следующими
функциями c1 (w, y) = w?y 2 , c2 (y) = w?y . Определите функцию издержек фирмы.
sssssssssssssssssssssssssssss
Глава
Классические

5
(совершенные) рынки.
Общее равновесие
Анализ классических рынков уместно начать с перечисления характеристик рынков, при
наличии которых их называют совершенными или классическими:
1) Отсутствие экстерналий — не опосредованных рынком влияний одних экономических
субъектов на других. На поведение экономических субъектов поведение других экономических
субъектов может влиять только через уровни цен и фиксированные денежные трансферты
(например, получение потребителем прибыли с принадлежащих ему предприятий).
2) Существуют рынки всех благ, от которых зависят полезности потребителей и/или тех-
нологические множества производителей.
3) Существующие рынки является связанными: любое благо можно поменять на любое
другое благо.
4) Совершенная конкуренция: каждый экономический субъект считает, что он не может
повлиять на цены, принимает их как данные («достаточно мал»).
5) Нет издержек сделок, нет «рыночного трения». Цена покупки и цена продажи совпадают.
6) Совершенство информации. Уровни цен и характеристики обмениваемых благ известны
каждому экономическому субъекту.
Реальные рынки далеки от совершенных рынков, однако их анализ выявляет некоторые
эффекты, общие для всех рынков, и предваряет анализ несовершенных. В теоремах благосо-
стояния мы покажем, что совершенный рынок как механизм согласования интересов экономи-
ческих субъектов приводит к Парето-оптимальным исходам. В дальнейшем мы рассмотрим
отдельные типы рыночных несовершенств и связанные с ними отклонения равновесий от Па-
рето-оптимальности, то есть так называемые фиаско рынка.



5.1 Классическая модель экономики. Допустимые состояния
Пусть имеются l 1 благ и m 1 потребителей. Каждый из потребителей характери-
зуется неоклассическими предпочтениями { i , i , ?i } на множестве Xi , а также принадле-
жащими ему начальными запасами ? i . Как правило, в дальнейшем мы будем предполагать,
что предпочтения потребителя представимы функцией полезности ui (·) 1 . Множество Xi —
это множество всех тех наборов, которые потребитель (физически) в состоянии потребить.
Обычно в микроэкономических моделях множество Xi совпадает с неотрицательным ортан-
том: Xi = Rl . Но мы не вводим такой априорной предпосылки, рассматривая и ситуации,
+
когда Xi не совпадает с Rl . Например, в ситуации, когда одним из благ является досуг, его
+
потребление ограничено бюджетом времени потребителя. Другое ограничение может состоять
в том, что потребление тех или иных благ не может быть ниже некоторой положительной
пороговой величины («прожиточного минимума»). В ситуации, когда потребители сами созда-
ют некоторые блага, их можно моделировать отрицательными компонентами потребительских
наборов.

1
Если неоклассические предпочтения непрерывны, то, в соответствии с теоремой Дебре, существует пред-
ставляющая данные предпочтения непрерывная функция полезности ui (·) .


162
5.1. Классическая модель экономики. Допустимые состояния 163

Кроме того, пусть в экономике есть n производителей (фирм), каждый из которых харак-
теризуется производственным множеством Yj (множеством векторов чистого выпуска); k -я
компонента вектора yj ? Yj показывает, сколько k -го блага выпускается j -м производите-
лем. Технологические множества Yj в дальнейшем мы будем часто задавать в виде неявных
производственных функций gj (·). Напомним, что по определению gj (·) называется неявной
производственной функцией, если технология yj принадлежит технологическому множеству
Yj тогда и только тогда, когда gj (yj ) 0. Как и ранее, с целью упрощения изложения мы
будем рассматривать только скалярные неявные производственные функции. Переформули-
ровка рассматриваемых ниже теорем для случая векторных неявных производственных функ-
ций (т. е. технологических множеств, задаваемых несколькими ограничениями) не связана с
какими-либо концептуальными трудностями.
Таким образом, классическая модель экономики задается следующими компонентами:
­ I = {1, . . . , m} — множество потребителей,
­ J = {1, . . . , n} — множество производителей (фирм),
­ K = {1, . . . , l} — множество товаров (благ),
­ Xi ? Rl — множество допустимых наборов i-го потребителя,
­ { i , i , ?i } — предпочтения потребителя или ui (·) — функция полезности i-го потре-
бителя (ui : Xi > R),
­ ?ik — начальный (до обмена) запас k -го блага у i-го потребителя,
­ Yj ? Rl — технологическое множество (множество допустимых технологий) j -го про-
изводителя, gj (·) — неявная производственная функция (gj : Rl > R).
Для описания состояния экономики используются следующие переменные:
­ xik — потребление i-м потребителем k -го блага (k ? K ),
­ xi = (xi1 , . . . , xil ) — потребительский набор i-го потребителя,
­ x = (x1 , . . . , xm ) — потребительские наборы всех потребителей,
­ yjk — производство j -м производителем k -го блага (это чистый выпуск, т. е. отрица-
тельные компоненты соответствуют затратам),
­ yj = (yj1 , . . . , yjl ) — технология j -го производителя,
­ y = (y1 , . . . , yn ) — набор технологий всех производителей.
Набор (x, y) = ({xi }i?I , {yj }j?J ) называют состоянием экономики. Естественно рассматри-
вать не все такие наборы, а только (физически) допустимые состояния экономики.
Определение 43:
Под допустимым состоянием экономики принято понимать такую пару (x, y), что
Q при всех i ? I вектор xi является допустимым набором для i-го потребителя (т. е.
xi ? Xi ),
Q при всех j ? J вектор yj является допустимой технологией для j -го производителя
(т. е. yj ? Yj ),
Q для экономики в целом выполнены балансы (общий объем потребления в экономике по
каждому благу равен сумме общего объема производства и суммарных начальных запасов):

yjk , ?k ? K.
xik = ?ik +
i?I i?I j?J

Отметим, что часто в моделях общего равновесия используются полубалансы:

yjk , ?k ? K.
xik ?ik +
i?I i?I j?J

При этом строгое неравенство должно означать, что в экономике осталось непотребленное бла-
го. В рамках моделей с балансами в виде равенств возможность «выбрасывать» блага можно
моделировать с помощью технологических множеств со свободой расходования по данным
5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу) 164

благам. В определенном смысле используемый здесь подход является более общим, поскольку
позволяет моделировать блага, утилизация которых требует затрат ресурсов.
Любой механизм координации решений экономических субъектов должен приводить к до-
пустимому состоянию экономики. Анализ экономического механизма включает описание усло-
вий, при которых он «работоспособен», и свойств тех допустимых состояний, к которым он
может привести. Ниже мы проведем такое исследование для механизма ценовой координации
совершенных рынков.


5.2 Общее равновесие (равновесие по Вальрасу)
В этом параграфе мы вводим понятие общего равновесия (или, более точно, общего конку-
рентного равновесия)2 и обсуждаем ту роль, которую играет это понятие в неоклассическом
анализе.

5.2.1 Субъекты экономики в моделях общего равновесия
Модель потребителя
Ниже через pk будем обозначать цену k -го блага, а через p вектор всех цен (p1 , . . . , pl ).
Пусть потребитель i ? I , предпочтения i которого зависят только от собственного потребле-
ния xi = {xik }k ?k , сталкивается с рыночными ценами p приобретаемых им благ. Как и ранее,
мы предполагаем, что потребитель выбирает наилучший потребительский набор из тех, кото-
рые ему доступны, т. е. потребительских наборов, принадлежащих бюджетному множеству. Под
бюджетным множеством подразумевается множество допустимых потребительских наборов,
xi ? Xi , удовлетворяющих бюджетному ограничению:

pxi = pk xik ?i ,
k?K

т. е. бюджетное множество имеет вид

Bi (p, ?i ) = { xi ? Xi | pxi ?i }

Здесь ?i = ?i (·), где ?i (·) — функция, задающая доход потребителя. Способ формирования
дохода зависит от конкретного варианта экономики. Например, в экономике обмена доход
потребителя формируется за счет продажи по рыночным ценам его начальных запасов:

?i (p, ? i ) = p? i = pk ?ik .

<< Предыдущая

стр. 36
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>