<< Предыдущая

стр. 37
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

k?K

В модели классических рынков предполагается, что начальные запасы ? i , цены, а также
доходы из других источников не зависят от выбора потребителя (определяются экзогенно).
Другими словами, потребитель считает, что не влияет на цены и свою исходную (до торгов-
ли) собственность, принимая их как данные. Поэтому при описании выбора потребителя при
заданных ценах будем считать, что доходы фиксированы.
2
Развитие этой модели связано, в частности, с такими именами, как Адам Смит (1776), Давид Рикардо
?e
(1817), Леон Вальрас (1874, 1883), Кеннет Эрроу и Жерар Дебрё (1950-е гг.). См. напр. L. Walras: El?ments
d’?conomie politique pure, ou th?orie de la richesse sociale, Lausanne, Paris: ??, 1874-1877 (рус. пер. Л. Вальрас:
e e
Элементы чистой политической экономии или Теория общественного богатства, М.: Экономика, 2000);
L. Walras: Th?orie math?matique de la richesse sociale, Lausanne: ??, 1883; K. J. Arrow and G. Debreu: Exis-
e e
tence of an Equilibrium for a Competitive Economy, Econometrica 22 (1954): 265–290; G. Debreu: Theory of Value:
An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium, John Wiley & Sons, 1959 (Cowles Foundation Monograph No. 17).
5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу) 165

?
Таким образом, набор xi является выбором потребителя, сталкивающегося с ценами p и
имеющего доход ?i , если
1) набор xi принадлежит бюджетному множеству, xi ? Bi (p, ?i );
? ?
2) любой потребительский набор xi ? Xi лучший, чем xi , не принадлежит бюджетному
?
множеству, т. е. xi i xi ? xi ? Bi (p, ?i ).
? /
Если предпочтения потребителя описываются функцией полезности ui (·), то его выбор мо-
делируется как решение задачи максимизации функции полезности по xi ? Xi при бюджетном
ограничении. Таким образом, задача потребителя имеет вид

ui (xi ) > max
xi
xi ? Bi (p, ?i ).

При дифференцируемости функций полезности можно охарактеризовать решение задачи
?
потребителя, т. е. оптимальный для данного потребителя набор xi , при помощи теоремы Ку-
на — Таккера в дифференциальной форме (см. Приложение).
Будем считать, что решение задачи потребителя внутреннее, т. е.3

xi ? int Xi .
?

Это позволяет не учитывать ограничение xi ? Xi .
Функция Лагранжа для задачи потребителя имеет вид

L(xi , ?i ) = ui (xi ) + ?i ?i ? pk xik ,
k?K

где ?i — множитель Лагранжа для бюджетного ограничения.
По теореме Куна — Таккера (при выполнении условий регулярности, которые в данном
случае эквивалентны тому, что не все цены равны нулю) существует множитель Лагранжа
?i 0, такой что в оптимуме
?L(? i , ?i )
x
= 0, ?k ? K,
?xik
или
?ui (? i )
x
= ?i pk , ?k ? K.
?xik
Другими словами,
ui (? i ) = ?i p,
x

то есть градиент функции полезности коллинеарен вектору цен.
?
Если предположить, что в решении задачи потребителя xi не все частные производные
функции полезности равны нулю, ui (? i ) = 0, то ?i > 0. Такое решение задачи потребителя
x
может иметь место только если цены, с которыми он сталкивается, не все равны нулю. Ис-
ключая множитель Лагранжа, для любых двух благ k, s ? K , таких что pk = 0, получаем,
что
ps ?ui (? i )/?xis
x
= .
pk ?ui (? i )/?xik
x
Следовательно, решение задачи потребителя характеризуется равенством предельной нормы
замещения любых двух благ отношению цен этих благ. Таким образом, мы получили класси-
ческую дифференциальную характеристику решения задачи потребителя.
3
?
Напомним, что это означает, что xi принадлежит Xi вместе с некоторой своей окрестностью.
5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу) 166

Это одно из условий первого порядка, т. е. необходимое условие максимума. Поскольку, как
мы предположили, градиент не равен нулю, то ?i > 0, и по условию дополняющей нежесткости
теоремы Куна — Таккера получаем, что бюджетное ограничение выходит на равенство:

pxi = ?i .

Это еще одно условие первого порядка.
Условия первого порядка задают систему уравнений, любое (внутреннее) решение которой
по обратной теореме Куна — Таккера является решением задачи потребителя, если выполнено
дополнительное условие, состоящее в том, что множество Xi выпукло, а функция полезности
ui (·) вогнута.
Напомним, что ui (·) называется вогнутой, если

ui (?x + (1 ? ?)y) ?ui (x) + (1 ? ?)ui (y)

для любого ? ? [0, 1] и любых x и y .

Замечание: На самом деле достаточно, чтобы данная функция полезности могла быть преоб-
разована в вогнутую каким-либо монотонным (строго возрастающим) преобразованием. Моно-
тонное преобразование функции полезности приводит к новой функции полезности, представ-
ляющей те же предпочтения. Так, например, функция u(x, y) = xy и ее логарифм ln(u(x, y)) =
ln(x) + ln(y) задают одни и те же потребительские предпочтения, хотя первая не вогнута, а
вторая вогнута и допускает поэтому применение теоремы Куна — Таккера. Следовательно,
допускает его и первая, приводимая к вогнутой.

Существуют и более слабые наборы условий, гарантирующие тот факт, что условие пер-
вого порядка приводят к решению задачи потребителя. Обычно они включают выпуклость
предпочтений (или квазивогнутость представляющих их функций полезности) (см. задачу???).
Мы приводим здесь более сильные, чем это необходимо, достаточные условия оптимальности,
чтобы использовать в анализе хорошо известный читателям аппарат теории экстремальных
задач — эффективное средство их анализа.
Отдельного рассмотрения требует случай, когда решение задачи потребителя не является
внутренним. Пусть, например, Xi = Rl и потребление некоторых благ в решении задачи по-
+
требителя может быть равно нулю. Для получения дифференциальной характеристики такого
решения опять можно воспользоваться теоремой Куна — Таккера. Получаем, что оптималь-
ный набор должен удовлетворять условиям

?L(? i )
x ?L(? i )
x
= 0, если xik > 0, ?k ? K.
0, причем ?
?xik ?xik
или
?ui (? i )
x ?ui (? i )
x
= ?i pk , если xik > 0, k ? K.
?i pk , причем ?
?xik ?xik

Модель производителя
При выборе объемов производства yj = {yjk }k?K каждая фирма j ? J ограничена своим
технологическим множеством Yj . (Напомним, что здесь речь идет о чистом выпуске, т. е.
отрицательные элементы технологии yj соответствуют затратам.)
В качестве целевой функции «классического» производителя берется его прибыль

?j = pyj = pk yjk .
k?K
5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу) 167

В ситуации совершенной конкуренции производитель, как и потребитель, предполагает, что
не может влиять на цены. Таким образом, задачей производителя является максимизации
прибыли при технологических ограничениях:

pyj > max
yj

yj ? Yj .

Если технологическое множество задано неявной производственной функцией gj (·), то за-
дача производителя записывается как

pyj > max
yj

gj (yj ) 0.

При дифференцируемости функции gj (·) решение этой задачи также можно охарактеризо-
вать при помощи теоремы Куна — Таккера в дифференциальной форме. Функция Лагранжа
для задачи производителя равна

L= pk yjk + ?j gj (yj ),
k?K

где ?j — множитель Лагранжа, соответствующий технологическому ограничению.
По теореме Куна — Таккера (при выполнении условий регулярности, которые в данном
случае эквивалентны тому, что gj (yj ) = 0) существует множитель Лагранжа ?j 0, такой
что в оптимуме
?L(? j , ?j )
y
= 0, ?k ? K,
?yjk
или
?gj (? j )
y
= pk , ?k ? K.
?j
?yjk
Другими словами,
?j gj (? j ) = p,
y
то есть градиент неявной производственной функции коллинеарен вектору цен. Если не все
цены равны нулю (p = 0), то ?j > 0. Исключая множитель Лагранжа ?j , для любых двух
благ k, s ? K , таких что pk = 0, получаем, что

?gj (? j )/?yjs
y
ps
= .
pk ?gj (? j )/?yjk
y

Следовательно, решение задачи производителя характеризуется равенством предельной нор-
мы трансформации любых двух благ отношению цен этих благ. Таким образом, мы получили
классическую дифференциальную характеристику решения задачи производителя.
Условия первого порядка задают систему уравнений, любое решение которой по обратной
теореме Куна — Таккера является решением задачи производителя, если выполнено дополни-
тельное условие, что функция gj (·) вогнута.

5.2.2 Модели общего равновесия
Теперь модели отдельных экономических субъектов, потребителей и производителей, объ-
единим в модель рынка (экономики) в целом. Такие модели называются моделями общего
равновесия.
5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу) 168

Модель обмена
В случае, если в экономике производство отсутствует, то она называется экономикой обмена.
Таким образом, экономика обмена характеризуется множеством потребителей, множествами
допустимых потребительских наборов потребителей, их предпочтениями и начальными запа-
сами, т. е.
EE = {I, (Xi , i , ? i )i?I }.
В экономике обмена потребитель получает доход только от начальных запасов.
Введем теперь определение равновесия для экономики обмена.
Определение 44:
Равновесием по Вальрасу в экономике обмена EE называется набор (? , x), удовлетворяющий
p?
следующим условиям:
  каждый вектор xi является решением задачи потребителя i при ценах p и доходе ?i = p? i ;
? ? ?
  x — допустимое состояние экономики EE , следовательно, для всякого блага k выполнено
?

xik = ??k ,
?
i?I

где ??k = ?ik — суммарные запасы блага k в экономике.
i?I




x21
x12

?
L++ (? 1 )
x
1
?
x
L++ (? 2 )
x
2

x11

x22


Рис. 5.1. Иллюстрация равновесия на ящике Эджворта

Удобным инструментом для иллюстрации экономики обмена является диаграмма Эджвор-
та (ящик Эджворта). Эта диаграмма позволяет наглядно представить экономику с 2 потре-
бителями и 2 благами. Обычно предполагается, что множества допустимых потребительских
наборов в такой экономике имеют вид x1 0 и x2 0. На диаграмме Эджворта потребление
1-го потребителя (x11 , x12 ) представляется в обычной системе координат, а потребление 2-го
потребителя (x21 , x22 ) — в перевернутой с центром в точке (??1 , ??2 ), если смотреть из систе-

<< Предыдущая

стр. 37
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>