<< Предыдущая

стр. 38
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

мы координат 1-го участника. Точка (x11 , x12 ) в первой системе координат совпадет с точкой
(x21 , x22 ) во второй системе координат, что позволяет изобразить состояние x одной точкой
на данной диаграмме.
Рис. 5.1 иллюстрирует на ящике Эджворта концепцию равновесия. Общая бюджетная пря-
?
мая в равновесии проходит через точку начальных запасов ? и равновесный вектор x . Наклон
бюджетной прямой соответствует отношению равновесных цен p1 /?2 . У каждого потребителя
?p
++
?
множество Li (? i ) наборов, которые лучше, чем равновесный набор xi , лежит по соответ-
x
ствующую сторону от бюджетной прямой, так что это множество не имеет общих точек с
бюджетным треугольником данного потребителя.
5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу) 169

Модель Эрроу—Дебре
???
Модель Эрроу — Дебре является развитием модели обмена и включает в себя, помимо
потребителей, производственный сектор.
Особенностью модели является и то, что в ней специфицированы права собственности
потребителей на владение фирмами, производящими продукцию. Таким образом, в модели
предполагается, что все предприятия кому-то принадлежат, то есть каждый потребитель i
владеет долей ?ij предприятия j , причем i?I ?ij = 1, ?ij 0.
Наличие производственного сектора влияет и на постановку задачи потребителя, поскольку
доход потребителя складывается из того, что он может выручить от продажи начальных
запасов и из его дохода от участия в прибыли. Поэтому доход потребителя при ценах p и
величинах прибыли ?j равен
?i = pk ?ik + ?ij ?j .
j?J
k?K

В целом экономика Эрроу — Дебре характеризуется множеством потребителей, множествами
допустимых потребительских наборов потребителей, их предпочтениями и начальными запаса-
ми, множеством производителей, их производственными множествами и долями потребителей
в прибыли фирм, т. е.

EAD = {I, (Xi , i , ? i )i?I , J, (Yj )j?J , (?ij )i?I,j?J }.

Определение 45:
Равновесием по Вальрасу в экономике Эрроу — Дебре EAD называется набор (? , x, y), такой
p??
что:
  каждый вектор xi является решением задачи потребителя i при ценах p и доходе ?i =
? ?
? ??
p? i + j?J ?ij pyj ;
  каждый вектор yj является решением задачи производителя j при ценах p ;
? ?
  (? , y) — допустимое состояние экономики EAD , следовательно, для всякого блага k выпол-
x?
нено
xik =
? ?ik + yjk .
?
i?I i?I j?J


x?
Заметим, что условие допустимости состояния (? , y) означает выполнение балансов, что в
контексте равновесия интерпретируется как равенство спроса и предложения4 .
Ясно, что экономика обмена является частным случаем экономики Эрроу — Дебре при
отсутствии производства, а концепция равновесия в экономике обмена конкретизирует кон-
цепцию равновесия для экономики Эрроу — Дебре.
Удобно иллюстрировать равновесие экономики с производством на диаграмме, аналогич-
ной ящику Эджворта (см. Рис. 5.2). Рассматривается экономика с одним потребителем, одним
предприятием и двумя благами. Множество ? + Y , состоящее из векторов ? + y , таких что
y ? Y , где ? — начальные запасы, Y — технологическое множество, — это так называемое
множество производственных возможностей экономики. Точка начальных запасов ? лежит на
4
Если бы мы использовали вариант модели, о которой упоминалось выше — включающий балансы в виде
неравенств (полубалансы), то в равновесии спрос мог бы быть ниже предложения. В таком случае определение
равновесия потребовалось бы дополнить условием, что цены таких благ равны нулю. Более точно, потребова-
лось бы включить в определение равновесия закон Вальраса:

? ? ? ?
p xi = p ?i + yj .
i?I i?I j?J


В противном случае «потери денег» в экономике приводили бы к существованию нереалистичных равновесий.
5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу) 170

границе производственных возможностей (в предположении, что 0 лежит на границе техно-
? ?
логического множества). Вектор x = ? + y , соответствующий равновесию, тоже лежит на
границе производственных возможностей. Через этот вектор проходит бюджетная прямая по-
требителя. Наклон бюджетной прямой соответствует отношению равновесных цен. Множество
?
лучших, чем x , точек лежит по противоположную сторону бюджетной прямой. Оно не имеет
общих точек с бюджетным треугольником.

x2 =?2 +y2



L++ (? )
x

?
x=?+?
y
?+Y

x1 =?1 +y1
?


Рис. 5.2. Иллюстрация равновесия в экономике с производством


Экономика с трансфертами
Если в экономике есть трансферты (перераспределение доходов между потребителями), то
доход потребителя складывается из доходов от продажи начальных запасов, долях в прибыли
фирм и трансфертов Si :
?i = pk ?ik + ?ij ?j + Si .
j?J
k?K

Величина трансферта Si может быть как положительной так и отрицательной. Предполага-
ется, что Si не зависит от выбора потребителя. Сумма трансфертов по всем потребителям
должна быть равна нулю:
Si = 0.
i?I

Дадим определение общего равновесия для общей модели экономики с трансфертами, задава-
емой параметрами

ET = {I, (Xi , i , ? i , Si )i?I , J, (Yj )j?J , (?ij )i?I,j?J }.



Определение 46:
Равновесием по Вальрасу в экономике с трансфертами ET называется набор (? , x, y), такой
p??
что:
  каждый вектор xi является решением задачи потребителя i при ценах p и доходе ?i =
? ?
? ??
p? i + j?J ?ij pyj + Si ;
  каждый вектор yj является решением задачи производителя j при ценах p ;
? ?
  (? , y) — допустимое состояние экономики ET , следовательно, для всякого блага k выпол-
x?
нено
xik =
? ?ik + yjk .
?
i?I i?I j?J

Экономика обмена и экономика Эрроу — Дебре являются частными случаями описанной
здесь экономики с трансфертами.
5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу) 171

Экономика распределения
Следующую модель равновесия5 для экономики без производства нельзя назвать в полном
смысле моделью функционирования рыночной экономики, поскольку, по существу, доходы
потребителей в ней формируются государством и совокупные начальные запасы ? ? принад-
лежат государству (как вариант, можно считать, что это сумма начальных запасов и заданного
экзогенно совокупного чистого выпуска в экономике с производством). Мы изложим ее в ос-
новном для того, чтобы потом использовать в задачах.
В экономике распределения (в отличие от экономики обмена) задается вектор совокупных
начальных запасов ? ? и доход Ri каждого потребителя, т. е.

ED = {Xi , ui (·)}i?I , ? ? , {Ri }i?I

Определение 47:
Под общим равновесием в экономике распределения мы будем понимать пару (p, x) =
?
(p, {? i }i?I ), такую что:
x
  p ? Rl , +
  каждый вектор xi является решением задачи потребителя при ценах p и доходах Ri ,
?
  состояние x является допустимым, в частности, выполнены балансы по благам, т. е. для
?
всех k ? K
xik =
? ?ik .
i?I i?I

  p? ? = Ri .
i?I


5.2.3 Некоторые свойства общего равновесия
Установим некоторые свойства равновесия, которые нам понадобятся в дальнейшем. При
этом речь пойдет об общей модели экономики с производством и с трансфертами.
Простейшим свойством общего равновесия является то, что бюджетные ограничения всех
потребителей выполняются как равенства. Действительно, сумма доходов потребителей равна

?i = p? i + ?ij pyj + Si =
i?I i?I i?I j?J i?I
? ? ? ?

= p? ?i + yj ?ij ? = p ? ?i + yj ? = p xi ,
i?I j?J i?I i?I j?J i?I

где последнее равенство («закон Вальраса») является следствием выполнения балансов по бла-
гам. Таким образом, сумма доходов всех потребителей равна совокупным потребительским
расходам. Это тождество выполняется для любого допустимого состояния экономики при лю-
бом векторе цен. Если бы хоть один потребитель не полностью израсходовал свой доход, то,
сложив бюджетные ограничения, мы получили бы

? ?
p xi < ?i ,
i?I i?I

и пришли бы к противоречию. Поэтому в равновесии pxi = ?i для любого потребителя i ? I .
??
В дальнейшем мы будем использовать также дифференциальные свойства равновесия.
Пусть функции полезности и производственные функции дифференцируемы, равновесие
является внутренним (по потреблению, т. е. xi ? int Xi ?i ? I ), и в точке равновесия выполнено
?

ui (? i ) = 0 ?i ? I.
x
5
См. Маленво???
5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу) 172

?
Тогда существуют блага, цена которых не равна нулю. Поскольку потребительский набор xi —
?
решение задачи потребителя, а технология yj — решение задачи производителя, то выполня-
ются следующие соотношения, называемые дифференциальной характеристикой равновесия:

ps
? ?ui (? i )/?xis
x
, ?i ? I,
=
pk
? ?ui (? i )/?xik
x

?gj (? j )/?yjs
y
ps
?
, ?j ? J,
=
pk
? ?gj (? j )/?yjk
y
где k — благо с ненулевой ценой.
Это необходимое условие равновесия. Из него следует, что в равновесии предельные нормы
замещения (трансформации) любых двух благ s, k для всех экономических субъектов совпа-
дают. Так, на Рис. 5.1 в точке равновесия кривые безразличия касаются общей бюджетной
прямой, а на Рис. 5.2 бюджетной прямой касаются граница производственных возможностей
и кривая безразличия.
Другое необходимое условие равновесия, о котором говорилось выше, состоит в том, что
бюджетные ограничения всех потребителей выполняются как равенства.
p?? x?
Выполнение этих двух условий для набора (? , x, y), где (? , y) — допустимое состояние
?
экономики, p — вектор цен, не гарантирует, что этот набор представляет собой равновесие.
Необходимые условия требуется дополнить условиями второго порядка — например, предполо-
жением о вогнутости функций полезности и производственных функций, чтобы превратить их
в достаточные. Более подробно эти условия анализируются ниже при доказательстве второй
теоремы благосостояния для дифференцируемых функций.

5.2.4 Избыточный спрос
Отображение избыточного спроса E(·) сопоставляет каждому вектору цен превышение со-
вокупного спроса над совокупным предложением при этих ценах. Можно переформулировать
определение равновесия в терминах избыточного спроса, поскольку, как нетрудно понять, в
равновесии избыточный спрос должен быть равен нулю. Таким образом для равновесных цен
p выполнено 0 ? E(? ). В ситуации же, когда избыточный спрос определяется однозначно,
? p
равновесные цены удовлетворяют системе уравнений E(? ) = 0.

<< Предыдущая

стр. 38
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>