<< Предыдущая

стр. 39
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

p
Для модели обмена отображение избыточного спроса строится следующим образом. Пусть
при ценах p отображение спроса i-го потребителя есть xi (p, ?i ). Поскольку ?i = p? i , то
будем рассматривать спрос как функцию только цен, т. е. xi (p) (в прежних обозначениях
xi (p, p? i )). Тогда избыточный спрос потребителя при этих ценах представляет собой превы-
шение спроса над начальными запасами потребителя при данных ценах. Избыточный спрос
для всей экономики есть сумма избыточных спросов всех потребителей. Таким образом, отоб-
ражение избыточного спроса в модели обмена имеет вид E(p) = i?I (xi (p) ? ? i ).
Аналогичным образом определяется избыточный спрос в модели Эрроу — Дебре. Кроме на-
чальных запасов и спроса следует учитывать также предложение благ, yj (p). Спрос потреби-
теля при данных ценах здесь также можно представить в виде xi (p) (в прежних обозначениях
xi (p, p? i + j?J ?ij ?j (p))).
Определение 48:
Функцией (отображением) избыточного спроса в модели Эрроу — Дебре называется функция
(отображение)
xi (p) ? ? i ?
E(p) = yj (p).
i?I j?J

Областью определения служит множество таких цен, при которых задачи производителей и
потребителей имеют решения.
5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу) 173

Убедимся, что равновесными цены p могут быть тогда и только тогда, когда они удовле-
творяют условию 0 ? E(p).
Действительно, пусть 0 ? E(p). Это означает, что существуют потребительские наборы xi ?
и технологии yj , такие что xi ? xi (p) и yj ? y(p), другими словами, для всех i ? I набор
? ? ?
?
xi является решением задачи i-го потребителя при ценах p и доходе p? i + j?J ?ij p? j , для
y
всех j ? J чистый выпуск yj является решением задачи j -го производителя при ценах p, и
?
выполнено
(? i ? ? i ) ? ?
x yj = 0.
i?I j?J

??
Значит, (p, x, y) по определению является равновесием.
С другой стороны, если (? , x, y) — равновесие, то xi ? xi (? ) для всех i ? I , yj ? y(? )
p?? ? ?
p p
для всех j ? J , и
(? i ? ? i ) ? yj ? E(? ).
?
0= x p
i?I j?J

Рассмотрим другие свойства избыточного спроса.
Поскольку функции (отображения) спроса и предложения положительно однородны нуле-
вой степени, т. е. при ? > 0 выполняется

xi (?p, ??) = xi (p, ?), yj (?p) = yj (p),

то, как несложно проверить, функции (отображения) избыточного спроса также положитель-
но однородны нулевой степени:
E(?p) = E(p).
Как мы видели, в равновесии выполняется закон Вальраса. Другими словами, в равновесии
стоимость избыточного спроса в равновесных ценах равна нулю (поскольку сам избыточный
спрос равен нулю).
Закон Вальраса, вообще говоря, выполняется не в любой экономике и не при любых ценах.
Однако, если предпочтения потребителей локально ненасыщаемы, то отображение избыточно-
го спроса удовлетворяет закону Вальраса. Действительно, для любого вектора цен и любого по-
требителя с локально ненасыщаемыми предпочтениями выполнено pxi = p? i + j?J ?ij ?j (p)
для всех xi ? xi (p), т. е. выполнено бюджетное равенство (закон Вальраса для спроса отдель-
ного потребителя). Сложив эти тождественные соотношения, получим p i?I xi = p i?I ? i +
p j?J yj для всех xi ? xi (p) и yj ? yj (p). Таким образом, при любых ценах, для которых
определена величина избыточного спроса, если e ? E(p), то pe = 0.
Если E(·) — функция, то pE(p) = 0 при любых ценах, для которых определена величина
избыточного спроса.

5.2.5 Задачи
 255. Назовите наиболее важные черты, по которым рынок называют совершенным или клас-
сическим: 1) от чего зависят предпочтения и потребительские множества, 2) влияние эконо-
мических субъектов на цены, 3) определенность информации, 4) влияние издержек сделок, 5)
существование рынков.
 256. В экономике обмена с двумя товарами и двумя потребителями функции полезности
имеют вид
ui (xi1 , xi2 ) = min{xi1 , xi2 },
и начальные запасы равны ?1 = (a, 0) и ?2 = (0, b) (a, b > 0). Найдите равновесие в этой
экономике. При каких условиях оно единственно?
5.2. Общее равновесие (равновесие по Вальрасу) 174

 257. В экономике обмена с двумя товарами и двумя потребителями функции полезности
имеют вид
u1 (x11 , x12 ) = min{x11 , x12 }, u2 (x21 , x22 ) = x21 x22
и начальные запасы равны ?1 = (a, 0) и ?2 = (0, b) (a, b > 0). Найдите равновесие в этой
экономике. Покажите, что оно единственно.
 258. В экономике обмена с двумя товарами и двумя потребителями функции полезности
имеют вид
u1 (x11 , x12 ) = ?1 x11 + ?1 x12 , u2 (x21 , x22 ) = ?2 x21 + ?2 x22 ,
и начальные запасы равны ?1 = (a, 0) и ?2 = (0, b) (a, b > 0). Найдите равновесие в этой
экономике. Покажите, что оно единственно.
 259. В экономике обмена с двумя товарами и двумя потребителями функции полезности
имеют вид
u1 (x11 , x12 ) = x2 + x2 , u2 (x21 , x22 ) = x21 + x22 ,
11 12

и начальные запасы равны ?1 = (a, 0) и ?2 = (0, b) (a, b > 0). Найдите равновесие в этой
экономике или докажите, что оно не существует.
 260. В экономике обмена с двумя товарами и двумя потребителями функции полезности
имеют вид
u1 (x11 , x12 ) = x11 x12 , u2 (x21 , x22 ) = x21 + x22 ,
и начальные запасы равны ?1 = (a, 0) и ?2 = (0, b) (a, b > 0). Найдите равновесие в этой
экономике. Покажите, что оно единственно.
 261. Рассмотрим экономику обмена с двумя товарами и двумя потребителями, которые
имеют следующие функции полезности и начальные запасы.

12 3 1
1
u1 (x1 , y1 ) = ? 2 ? 2, ?1 = (1, 0),
37 y1
x1
3
12 1 1
u2 (x2 , y2 ) = ? ? 2, ?2 = (0, 1).
x2 y2
37 2

Найдите равновесие в этой экономике. Единственно ли оно?
 262. Пусть функция избыточного спроса имеет вид
p2 p1
E1 (p1 , p2 ) = ? E2 (p1 , p2 ) = ?
,
p1 + p2 p1 + p 2

а) Является ли она однородной?
б) Является ли она непрерывной?
в) Может ли она быть функцией избыточного спроса для некоторой экономики?
 263. Пусть функция избыточного спроса имеет вид
p?
a ? ?,
E(p) =
pa

где a ? Rl . Является ли она однородной? Является ли она непрерывной? Выполняется ли
++
для нее закон Вальраса? Может ли она быть функцией избыточного спроса для некоторой
экономики?
 264. Пусть функции избыточного спроса на первые два товара в экономике с тремя благами
имеют вид
E1 (p) = ?p1 /p3 + p2 /p3 + 1 и E2 (p) = p1 /p3 ? 2p2 /p3 + 2.
Найдите избыточный спрос на третий товар.
5.3. Существование общего равновесия 175

Может ли E(·) быть функцией избыточного спроса для некоторой экономики?
 265. Пусть экономика состоит из двух потребителей, и в ней обращаются два товара. Функ-
ции полезности потребителей имеют вид

и u2 (x2 , y2 ) = x? y2 .
1??
1??
u1 (x1 , y1 ) = x? y1
1 2

Потребители обладают начальными запасами в размере ?1 = (a, b) и ?2 = (c, d).
Найдите равновесие как функцию параметров ?, ? , a, b, c, d.
 266. В экономике обмена функции полезности потребителей имеют вид
l l
x?ik , i = 1, . . . , m ? 1,
ui (xi ) = um (xm ) = xmk .
ik
k=1 k=1

Охарактеризуйте равновесие в этой экономике.
 267. В экономике обмена непрямые функции полезности потребителей имеют вид
l
vi (p, ?i ) = ln ?i ? ?ik ln pk , i = 1, . . . , m.
k=1

Начальные запасы у всех потребителей одинаковы и положительны. Найдите равновесие в
этой экономике.
 268. Предположим, что в экономике обмена предпочтения потребителей и их начальные
запасы совпадают.
(A) Гарантирует ли выпуклость предпочтений тот факт, что равновесные распределения (если
существуют) всегда совпадают с начальными запасами?
(B) Гарантирует ли строгая выпуклость предпочтений тот факт, что равновесные распреде-
ления (если существуют) всегда совпадают с начальными запасами?
Аргументируйте свой ответ.
 269. Какими свойствами обладает равновесие в модели обмена с монотонными (но, вообще
говоря, не строго монотонными) предпочтениями. Аргументируйте свой ответ.
 270. Покажите, что совпадение предпочтений потребителей, начальных запасов и положи-
тельность начальных запасов не гарантирует, что начальное распределение является равно-
весным. Приведите соответствующий контрпример.
 271. Покажите, что совпадение предпочтений потребителей, начальных запасов и выпук-
лость предпочтений не гарантирует, что начальное распределение является равновесным. При-
ведите соответствующий контрпример.


5.3 Существование общего равновесия
Одним из наиболее важных вопросов, изучаемых при рассмотрении моделей общего рав-
новесия, является вопрос о том, существует ли в данной экономике равновесие (равновесия).
Ведь если равновесие не существует, то анализ его становится бессмысленным. В этом пара-
графе мы изложим один из стандартных способов доказательства существования равновесия,
делая упор на экономиках обмена. Альтернативные способы доказательства существования
равновесия, несколько более сложные, но опирающиеся на более слабые предположения, при-
ведены в приложении к главе.
Типичное доказательство существования равновесия основано на демонстрации того фак-
та, что некоторое (подходящим образом построенное) отображение имеет неподвижную точку,
и эта неподвижная точка соответствует состоянию равновесия. При этом обычно используется
5.3. Существование общего равновесия 176

теорема Брауэра о существовании неподвижной точки непрерывного отображения некоторого
компактного выпуклого множества (обычно, множества цен) в себя, или ее непосредственное
обобщение — теорема Какутани о неподвижной точке точечно-множественного выпуклознач-
ного отображения компактного выпуклого множества в себя.
В наиболее простой версии доказательства построение такого отображения опирается на
функцию (отображение) избыточного спроса E(p), то есть превышение спроса над предло-
жением. (Формальное определение избыточного спроса для различных типов экономик при-
ведено выше.) Рассматривается вопрос о существовании вектора цен p , такого что 0 ? E(? )
? p
(E(? ) = 0, если избыточный спрос является функцией), то есть такого вектора цен, который
p
уравновешивает спрос и предложение на всех рынках.
Доказательство существования равновесия проводится в два этапа. Сначала доказывается,
что те или иные свойства избыточного спроса гарантируют существование равновесия. Далее,
для экономик различных типов указываются условия (свойства предпочтений и т. д.), которые
гарантируют, что избыточный спрос для этих моделей облагает данными свойствами.
В этом параграфе мы рассмотрим условия существования равновесия в экономике обмена,
в которой решение задачи каждого потребителя существует и единственно при любом поло-
жительном векторе цен благ, и, следовательно, E(p) является функцией, определенной на
множестве положительных цен.
Поскольку функции избыточного спроса положительно однородны нулевой степени, то ес-
?
ли p — равновесный вектор цен, то ?? — также равновесный вектор цен при любом ? > 0 и
p
наоборот. Т. е. равновесный вектор цен определяется с точностью до нормировки цен. Ниже
будут описаны ситуации, в которых гарантируется существование равновесия с положитель-
ными ценами. Поэтому равновесный вектор цен будем искать в следующем множестве цен
(симплексе цен):
S l?1 = p 0 pk = 1 .
k?K

При этом каждому вектору цен p из Rl (за исключением нулевого вектора) можно одно-
+
значно сопоставить вектор ?p из S l?1 при некотором ? > 0. Этот способ нормировки цен
удобен тем, что множество S l?1 компактно и выпукло (что, как мы увидим ниже, позволяет
непосредственно использовать теорему Брауэра).
Следующее утверждение носит вспомогательный характер и используется в дальнейшем
для доказательства существования наиболее простого варианта теоремы существования рав-
новесия в модели обмена. Оно указывает свойства функции избыточного спроса E(·), которые
гарантируют существование вектора цен, при котором этот избыточный спрос равен является
неположительным, т. е. спрос не превышает предложение.
Теорема 63:
Предположим, что функция избыточного спроса E(·) является непрерывной на множе-
стве цен p ? Rl , p = 0, положительно однородна нулевой степени и удовлетворяет закону
+
Вальраса, т. е. pE(p) = 0.
Тогда существует вектор цен p ? Rl , p = 0, такой что E(? ) 0. При этом если p > 0,
? +? ?
p
то E(? ) = 0.
p

Доказательство: Определим на множестве S l?1 следующую систему функций:

pk + max{0, Ek (p)}
, ?k ? K.
gk (p) =
1 + s?K max{0, Es (p)}

Функция g(·) удовлетворяет всем условиям теоремы Брауэра: она отображает компактное
выпуклое множество S l?1 в себя по построению и является непрерывной, так как состоит
5.3. Существование общего равновесия 177

?
из операций, сохраняющих непрерывность. Поэтому существует вектор цен p , являющийся
неподвижной точкой функции g(·):
?

<< Предыдущая

стр. 39
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>