<< Предыдущая

стр. 4
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Пусть на множестве X = R2 задано отношение R по правилу (x1 , x2 ) R (y1 , y2 ) ?
+
x1 + y2 y1 + x2 . Перед тем как отвечать на вопрос о том, каким свойствам удовлетворя-
y1 + x2 ? x1 ? x2 y1 ? y2 , т. е.
ет данное бинарное отношение, заметим, что x1 + y2
(x1 , x2 ) R (y1 , y2 ) ? x1 ? x2 y1 ? y2 . Как несложно догадаться, данное бинарное отношение
удовлетворяет тем же свойствам, что и отношение на действительной прямой, т. е. полнота,
транзитивность, рефлексивность. (Проверьте самостоятельно выполнение/невыполнение усло-
вий симметричности/асимметричности и отрицательной транзитивности.)

Замечание: При проверке указанных выше свойств предпочтений следует быть осторожным и
не делать поспешных выводов. В частности, если окажется, что отношение не является рефлек-
сивным, то из этого, вообще говоря, не следует, что отношение является иррефлексивным. Та
же ситуация возникает при рассмотрении связки свойств симметричность/асимметричность.

Эти определения также легко проиллюстрировать графически в духе Рис. 2.1. Так, напри-
мер, рефлексивность означает, что вся диагональ декартова квадрата X ? X принадлежит R.
Свойство симметричности означает, что множество R симметрично относительно диагонали
декартова квадрата. Полнота означает, что если мы «согнем по диагонали» декартов квадрат,
то в итоге получим треугольник без выколотых точек.
Выше мы ввели и обсудили ряд часто встречающихся свойств бинарных отношений. Теперь
рассмотрим взаимосвязь между этими свойствами.
Теорема 1:



• Каждое асимметричное бинарное отношение является иррефлексивным.

• Каждое полное бинарное отношение является рефлексивным.
2.2. Бинарные отношения и их свойства 17

• Каждое иррефлексивное и транзитивное бинарное отношение является асимметрич-
ным.

• Отношение R является отрицательно транзитивным тогда и только тогда, когда
?x, y, z ? X из x R y следует x R z или z R y .


Доказательство: Доказательство свойств тривиально. С целью демонстрации техники доказа-
тельства мы докажем только третий пункт теоремы.
Предположим противное, т. е. пусть отношение R иррефлексивно, транзитивно, но не яв-
ляется асимметричным. Тогда найдется пара x, y ? X такая, что x R y и y R x. Так как
отношение R транзитивно, то из x R y и y R x следует x R x. Получили противоречие с
иррефлексивностью.

Пример 3 (продолжение Примера 1):
Нам осталось проверить свойство отрицательной транзитивности. Для его проверки вос-
пользуемся представлением этого свойства из только что доказанного утверждения. Для этого
из множества X возьмем трех произвольных студентов a, b, c, чей рост составляет h(a), h(b)
и h(c) соответственно, причем выполнено h(a) > h(b). Очевидно, что каким бы ни был h(c),
должно быть выполнено хотя бы одно из неравенств h(a) > h(c) или h(c) > h(b). Таким
образом, видим, что для данного отношения R выполнено свойство отрицательной транзитив-
ности.

Теперь, вооружившись понятием бинарного отношения, мы можем перейти к обсуждению
неоклассического подхода к моделированию предпочтений и выбора.

2.2.1 Задачи
 1. Предположим, условно, что существует всего два города, в каждом из которых продаются
по три товара. Какова размерность пространства благ, исходя из определения блага по Дебре?
 2. Пусть X — множество всех ныне живущих людей на планете Земля. Проверьте выпол-
нение следующих свойств:
• полнота,
• рефлексивность,
• симметричность,
• транзитивность,
• отрицательная транзитивность
для следующих бинарных отношений, заданных на X :
(a) «является потомком»;
(b) «является внуком»;
(c) «является родителем такого же числа детей, что и»;
(d) «состоит в браке с» (допуская полигамию);
(e) «состоит в браке с» (предполагая моногамные отношения);
(f) «состоит в родстве с»;
(g) «хотя бы раз в жизни думал о».
 3. Пусть X — множество населенных пунктов на планете Земля. Какими свойствами обла-
дают следующие отношения:
(a) «расположен восточнее» (в случае, если Земля круглая);
(b) «расположен восточнее» (в случае если, Земля плоская и стоит на черепахах);
(c) «имеет ту же численность, что и . . . »;
(d) «имеет то же число безработных, что и . . . »?
2.3. Неоклассические предпочтения 18

 4. Какими из свойств (полнота, рефлексивность, иррефлексивность, симметричность, асим-
метричность, транзитивность, отрицательная транзитивность) обладает отношение R, задан-
ное на R2 :++
y
(a) (x1 , x2 ) R (y1 , y2 ) ? x1 > y1 ;
x2 2
(b) (x1 , x2 ) R (y1 , y2 ) ? x1 x2
y2 ;
1
y
(c) (x1 , x2 ) R (y1 , y2 ) ? (x1 ? x2 )(y1 ? y2 ) > 0;
(d) (x1 , x2 ) R (y1 , y2 ) ? x1 x2 y1 y2 ;
(e) (x1 , x2 ) R (y1 , y2 ) ? min{x1 + x2 , y1 + y2 } 0;
(f) (x1 , x2 ) R (y1 , y2 ) ? min{x1 , x2 } > min{y1 , y2 }?
В случае, если отношение обладает свойством, предоставьте формальное доказательство, если
же не обладает, то приведите пример, показывающий это.
 5. Отношение лексикографического упорядочения, заданное на R2 , определяется следую-
++
щим образом:
x RL y ? (x1 > y1 или (x1 = y1 и x2 > y2 )).
Каким свойствам (полнота, рефлексивность, иррефлексивность, симметричность, асимметрич-
ность, транзитивность, отрицательная транзитивность) удовлетворяет данное отношение?
 6. Приведите пример бинарного отношения, не удовлетворяющего ни свойству рефлексив-
ности, ни свойству иррефлексивности.
 7. Приведите пример бинарного отношения, не удовлетворяющего ни свойству симметрич-
ности, ни свойству асимметричности.
 8. Покажите, что каждое асимметричное бинарное отношение является иррефлексивным.
 9. Приведите пример симметричного, но не рефлексивного бинарного отношения.
 10. Объясните, почему каждое полное бинарное отношение является рефлексивным.
 11. Несложно понять, что для любых высказываний A и B выполнено следующее логи-
ческое правило: ( A ? B) ? (B ? A). Используя этот факт, докажите, что отношение
R является отрицательно транзитивным тогда и только тогда, когда для всех x, y, z ? X
выполнено x R y ? (x R z или z R y).
 12. Не прибегая к исчислению высказываний (т. е. рассуждениям вида ( A ? B) ? (B ?
A)), докажите, что для любого бинарного отношения R свойство
?x, y, z ? X : x R y ? (x R z или z R y)
эквивалентно свойству отрицательной транзитивности.


2.3 Неоклассические предпочтения
В экономической теории предпочтения потребителя — единственная его характеристика,
которая принимается во внимание при объяснении его поведения. Поэтому в дальнейшем в
теории потребления мы отождествляем потребителя с его предпочтениями12 .
Предпочтения потребителя в неоклассической традиции представляются (описываются)
тройкой бинарных отношений, заданных на множестве допустимых альтернатив X :
 Строгое отношения предпочтения . Тот факт, что данный потребитель предпочитает аль-
тернативу x альтернативе y или, другими словами, альтернатива x лучше, чем альтерна-
тива y , будет обозначаться как x y ;
 Нестрогое отношение предпочтения . Тот факт, что потребитель нестрого предпочитает
альтернативу x альтернативе y или, другими словами, альтернатива x для него не хуже,
чем альтернатива y , будет обозначаться как x y ;
12
Судя по всему, строгое аксиоматическое описание концепции предпочтений впервые появилось в работе
R. Frisch: Sur un probl`me d’?conomie pure, Norsk Matematisk Forenings Skrifter, Serie 1 16 (1926): 1–40??
e e
2.3. Неоклассические предпочтения 19

 Отношение безразличия (эквивалентности) ?. Тот факт, что потребитель безразличен между
альтернативами x и y или, другими словами, альтернатива x для него эквивалентна
альтернативе y , будет обозначаться как x ? y .
Определение 3:
Тройка бинарных отношений , , ? соответствует неоклассическим предпочтениям, если
она обладает следующими свойствами:

является асимметричным (если x лучше y , то y не
строгое отношение предпочтения
может быть лучше x) и отрицательно транзитивным (если неверно, что x лучше y , и
неверно, что y лучше z, то неверно, что x лучше z);

является полным (для двух наборов, x и y , либо x
нестрогое отношение предпочтения
не хуже y , либо y не хуже x) и транзитивным (если x не хуже y , и y не хуже z, то x
не хуже z);

отношение безразличия ? рефлексивно (если x эквивалентен y , то y эквивалентен x),
симметрично (любой набор эквивалентен сам себе) и транзитивно (если x эквивалентен
y , и y эквивалентен z, то x эквивалентен z);

отношения связаны между собой следующим образом:

x y тогда и только тогда, когда неверно, что y x, (P1)
(или, что эквивалентно, x y тогда и только тогда, когда неверно, что y x)
x ? y тогда и только тогда, когда как x y, так и y x неверны, (P2)
x ? y тогда и только тогда, когда x yиy x. (P3)

Предположение о том, что потребитель является рациональным или, другими словами,
упорядочивает альтернативы (потребительские наборы) на основе неоклассических предпо-
чтений, является традиционным для экономической теории, и мы будем в дальнейшем всюду
следовать этой традиции (если не противоположное не оговорено особо).
Предположения о свойствах неоклассических предпочтения тесно связаны с понятиями
рациональности потребителя, непротиворечивости вкусов, их внутренней состоятельности.
, , ? удовлетворяют всем свойствам, которым, исходя из экономической и
Предпочтения
житейской интуиции, должны удовлетворять предпочтения рационального потребителя.
Заметим, что если верны соотношения (P1) и (P3), то нестрогое отношение предпочтения
однозначно определяет строгое отношение и отношение безразличия. Значит, его свойства од-
нозначно определяют свойства двух других отношений. Аналогично, если верны соотношения
(P1) и (P2), то строгое отношение предпочтения однозначно определяет нестрогое отношение и
отношение безразличия. Поэтому возникает вопрос о непротиворечивости всех перечисленных
требований к неоклассическим предпочтениям, а также об их избыточности13 .
Приведем предварительно некоторые факты относительно взаимосвязей свойств бинарных
отношений, на которые будет опираться проверка непротиворечивости определения неоклас-
сических предпочтений.
Теорема 2:
(1) Пусть отношения и связаны соотношением (P1). Тогда
(a) асимметричность эквивалентна полноте ;
(b) отрицательная транзитивность эквивалентна транзитивности .
13
Очевидно, что требования к отдельным бинарным отношениям, составляющим предпочтения, непротиво-
речивы. Например, отношение = X ? X будет полным и транзитивным, т.е. некоторое полное транзитивное
бинарное отношение всегда существует.
2.3. Неоклассические предпочтения 20

и ? связаны соотношением (P2). Тогда
(2) Пусть отношения
(a) ? симметрично;
отрицательно транзитивно, то ? транзитивно;
(b) если
асимметрично, то ? рефлексивно.
(c) если

и ? связаны соотношением (P3). Тогда
(3) Пусть отношения
(a) ? симметрично;
транзитивно, то ? транзитивно;
(b) если
полно, то ? рефлексивно.
(c) если


Доказательство: (1a) Полноту отношения можно переформулировать следующим эквива-
лентным образом: если не выполнено x y , то y x. Поскольку и связаны соотноше-
нием (P1), то следующие два свойства эквивалентны:

y) ? y y ? (y
(x x x x).
и

Первое означает полноту , а второе — асимметричность .
(1b) Очевидно, что поскольку и связаны соотношением (P1), то отрицательная тран-
зитивность отношения
( (x z) и (z y)) ? (x y)
эквивалентна транзитивности отношения :

z) ? y
(z xиy x.

(2a) Согласно (P2) как x ? y , так и y ? x определяются одинаковым образом — как
одновременное выполнение соотношений x y и y x.
(2b) Пусть x ? y и y ? z. Согласно (P2) это означает, что (x y), (y x), (y z)
и (z y). По отрицательной транзитивности отношения из этого следует, что (x z) и
(z x). В свою очередь это, согласно (P2), означает x ? z.
следует, что x x неверно. Поэтому из (P2) следует x ? x.
(2c) Из асимметричности
Пункт (3) доказывается так же, как пункт (2).

На основе доказанного утверждения легко установить совместность требований в опреде-
лении неоклассических предпочтений. Другими словами, верно следующее утверждение.
Теорема 3:
(i) Пусть отношение («строгое отношение предпочтения») асимметрично и отрица-
тельно транзитивно, отношение определяется на основе предположения (P1), отношение
? определяется на основе предположения (P2). Тогда полно и транзитивно, ? рефлек-
сивно, симметрично и транзитивно, и выполнено предположение (P3).
(ii) Пусть отношение («нестрогое отношение предпочтения») полно и транзитивно,
определяется на основе предположения (P1), отношение ? определяется
отношение
асимметрично и отрицательно транзитивно, ?
на основе предположения (P3). Тогда
рефлексивно, симметрично и транзитивно, и выполнено предположение (P2).

Это утверждение показывает также, что совокупность требований к неоклассическим пред-
почтениям является избыточной, поскольку, например, строгое отношения предпочтения и его
свойства полностью определяют два других отношения предпочтения и их свойства. Поэтому
для полного описания неоклассических предпочтений достаточно описать либо соответствую-
щее строгое, либо нестрогое отношение предпочтения (либо то, что из промежуточных курсов
2.3. Неоклассические предпочтения 21

микроэкономики известно как карта кривых безразличия). Существуют две устоявшиеся тра-
диции построения теории поведения потребителя, различающиеся способом описания предпо-
чтений индивидуума. Первая берет за основу описание строгого отношения предпочтения (как
асимметричного и отрицательно транзитивного отношения предпочтения). Вторая же тради-
ция исходит из нестрогого отношения предпочтения, которое по исходным предположениям
удовлетворяет свойствам полноты и транзитивности. Обе эти традиции приводят к одним и
тем же неоклассическим предпочтениям, если строгое и нестрогое отношения предпочтения
строятся на основе друг друга вышеуказанным способом, т. е. x y ? (y x).
Традиционная неоклассическая парадигма исходит из положения, что (вкусы, оценки) по-
требителя являются основой его поведения (осуществляемого им выбора). Для построения

<< Предыдущая

стр. 4
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>