<< Предыдущая

стр. 40
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

g(? ) = p,
p
т. е.
pk + max{0, Ek (? )}
? p
?k ? K.
pk = gk (? ) =
? p
1 + s?K max{0, Es (? )}
p
Преобразуя это выражение, получим

max{0, Es (? )} = max{0, Ek (? )} ?k ? K.
pk
? p p
s?K

Умножим каждое из этих равенств на Ek (? ) и сложим:
p

pk Ek (? )
? p max{0, Es (? )} =
p Ek (? ) max{0, Ek (? )}.
p p
s?K
k?K k?K

В соответствии с законом Вальраса первый сомножитель левой части данного соотношения
равен нулю, поэтому
Ek (? ) max{0, Ek (? )} = 0.
p p
k?K

Величина Ek (? ) max{0, Ek (? )} равна либо 0, либо (Ek (? ))2 . Поскольку каждое из слагаемых
p p p
неотрицательно, то сумма может быть равна нулю, только если каждое слагаемое равно нулю.
Отсюда следует, что Ek (? ) 0 ?k ? K .
p

Правило пересчета структуры цен, используемое в приведенном доказательстве, состоя-
щее в том, что цены p заменяются на цены g(p), имитирует возможную реакцию органа,
ответственного за ценообразование, на отклонения от равновесия на рынках благ. В соответ-
ствии с ним цена дефицитного блага увеличивается на величину, пропорциональную дефициту.
Коэффициент пропорциональности выбирается так, чтобы новый вектор цен был элементом
множества S l?1 .
Рассмотрим теперь, какие условия на предпочтения гарантируют нам выполнение предпо-
ложений вышеприведенного утверждения. Предположим, что Xi = Rl . Тогда строгая выпук-
+
лость и непрерывность предпочтений обеспечивает существование и единственность решения
задачи потребителя, а также непрерывность функций избыточного спроса по крайней мере на
множестве строго положительных цен (p ? Rl ). Локальная ненасыщаемость предпочтений
++
гарантирует выполнение закона Вальраса (pE(p) = 0). Таким образом, обычные предположе-
ния относительно предпочтений обеспечивают требуемые (для существования равновесного
вектора цен) свойства избыточного спроса, правда не на всем множестве цен p ? Rl , p = 0, а
+
только на его подмножестве - векторах положительных цен, тогда как в доказательстве утвер-
ждения требуется выполнение аналогичных свойств на множестве всех неотрицательных цен.
Более того, задачи потребителей могут не иметь решения если цены некоторых благ равны
нулю. Это значит, что при таких ценах функция избыточного спроса не определена.
Описанный ниже прием позволяет в ряде случаев обойти это затруднение путем модифи-
кации избыточного спроса таким образом, чтобы
• модифицированный спрос был определен для всех (неотрицательных) цен;

• удовлетворял условиям утверждения;

• совпадал на множестве векторов равновесных цен с фактическим избыточным спросом.
Таким образом этот прием позволяет установить простейший вариант теоремы существования
равновесия в модели обмена.
5.3. Существование общего равновесия 178
Теорема 64:
Предположим, что в экономике обмена Xi = Rl ?i, предпочтения потребителей локаль-
+
но ненасыщаемы, непрерывны и строго выпуклы, а начальные запасы всех потребителей
положительны (? i > 0 ?i). Предположим также, что существует потребитель, предпочте-
ния которого строго монотонны. Тогда существует равновесие, такое что p ? Rl .
++

Доказательство: Модифицируем задачу потребителя, введя дополнительно к бюджетному огра-
ничению количественное ограничение (квоту на потребление) по каждому продукту следую-
щего типа:
xik ??k + ?, i ? I, k ? K.
где ??k — совокупные запасы благ в экономике, ? — произвольная положительная константа.
Модифицированное таким образом бюджетное множество каждого потребителя оказыва-
ется компактным при любом векторе цен p ? Rl (с учетом того, что Xi = Rl ), и поэтому
+ +
в случае непрерывных предпочтений всегда существует наиболее предпочитаемый потреби-
тельский набор. В случае, когда предпочтения строго выпуклы, этот набор единственный, и
таким образом, оказываются определенными модифицированные функции спроса x? (p) и, сле-
i
довательно, модифицированная функция избыточного спроса E? (·). При этом функция E? (·)
оказывается непрерывной.
Непрерывность функции E? (·) на p ? Rl \0 доказывается способом, аналогичным доказа-
+
тельству непрерывности функции спроса на множестве цен p ? Rl (см. главу, посвященную
++
поведению потребителя). При этом используется то, что предпочтения потребителей непре-
рывны и строго выпуклы, а начальные запасы потребителей строго положительны (? i > 0).
?
Тогда Теорема 63 гарантирует существование вектора цен p , при котором выполняется
соотношение
E? (? ) 0.
p
Покажем теперь, что для любого вектора цен p , такого что E? (? ) 0 определен избыточ-
? p
?
ный спрос исходной задачи E(? ), и выполнено соотношение E (? ) = E(? ).
p p p
? ? (? )
Пусть E (? ) 0. Тогда i?I xi p
p i?I ? i = ? ? . Отсюда следует, что

x? (? ) x? (? )
??k ?
ik p sk p ??k < ??k + ?.
s=i

Это означает с учетом выпуклости предпочтений, что дополнительно введенные нами огра-
ничения несущественны, т. е. для всех потребителей выполнено x? (? ) = xi (? ). (Если это не
ip p
так, и в бюджетном множестве потребителя i найдется набор xi , более предпочтительный,
чем x? (? ), то все наборы на внутренней части отрезка, соединяющего xi и xi (? ) также бо-
ip p
? (? ). Но по крайней мере часть данного отрезка принадлежит
лее предпочтительны, чем xi p
модифицированному бюджетному множеству, а это противоречит определению x? (? ).) Таким
ip
образом, E? (? ) = E(? ) 6 .
p p
Поскольку по предположению теоремы существует потребитель, предпочтения которого
строго монотонны, то p ? Rl , т. е. цена любого блага окажется положительной. Действитель-
? ++
но, предположение о том, что существует благо k , цена которого равна нулю, противоречит
тому факту, что x? (? ) является выбором такого потребителя при ценах p .?
ip
?
?
По Теореме 63 если p > 0, то E (? ) = 0. Следовательно, E(? ) = 0.
p p
Заметим, что мы, вообще говоря, не можем использовать прием, состоящий во введении
количественных ограничений, в ситуации, когда начальные запасы хотя бы одного из потре-
бителей не содержат хотя бы одного блага. Как показывает приведенный ниже пример, в этом
случае функция избыточного спроса может не быть непрерывной на границе множества цен.
0 , то E? (? ) = E(? ) . Более того, равенство E(? ) = 0 влечет
6
Легко показать, что, наоборот, если E(? )
p p p p
E? (? ) = 0 . Это означает, что вектор цен p является равновесным тогда и только тогда, когда он является
?
p
равновесным для модифицированной функции избыточного спроса E? (·) .
5.3. Существование общего равновесия 179
Пример 29 ((Контрпример к теореме в случае нулевых начальных запасов одного из благ)
Пусть в экономике обмена есть только два блага (l = 2), функции полезности любого
потребителя i имеют вид
v v
ui (xi1 , xi2 ) = xi1 + xi2 ,
а начальные запасы равны ? i = (0, 1). Очевидно, что предпочтения рассматриваемых потре-
бителей локально ненасыщаемы, непрерывны и строго выпуклы.
Задача потребителя состоит в том, чтобы максимизировать ui (xi1 , xi2 ) при следующих
ограничениях:
p1 xi1 + p2 xi2 p2 ,
xi1 0, xi2 0.
При p1 , p2 = 0 спрос потребителя на второе благо равен
p1
xi2 (p1 , p2 ) = .
p 1 + p2
Таким образом, xi2 (p1 , p2 ) > 1, когда p2 > 0. Но если p2 = 0, то полезность можно сделать
неограниченно большой, увеличивая xi2 (спрос на второе благо бесконечен). Таким образом,
спрос на 2-е благо не является непрерывным при p2 = 0.
Покажем, что в этой экономике равновесие не существует.
При p1 , p2 = 0 спрос потребителя на первое благо равен
p22
xi1 (p1 , p2 ) = ,
p1 (p1 + p2 )
т. е. положителен. Значит, при положительных ценах равновесия быть не может, так как в
экономике первое благо отсутствует. Если же цена на одно из благ равна нулю, то соответству-
ющий спрос бесконечен, и равновесия при этих ценах тоже нет.
Заметим, что модифицированная функция избыточного спроса не является непрерывной.
При p1 , p2 = 0 спрос потребителя такой же, как в исходной модели, и xi2 (p1 , p2 ) > 1 при
p2 > 0. Но при p2 = 0, спрос на второе благо равен 1 + ?. Таким образом, спрос на второе
благо не является непрерывным при p2 = 0, и приведенное доказательство существования «не
работает».

Если в приведенном примере дать хотя бы одному из потребителей ненулевой запас пер-
вого блага, то хотя избыточный спрос по прежнему не будет непрерывным, но равновесие
существует. (Доказательство этого оставляем читателю в качестве упражнения.) Таким обра-
зом, вышеприведенные условия на избыточный спрос являются довольно ограничительными.
В приложении к главе приводится другой вариант теоремы существования (Теоремы 70
и 72), с более слабыми условиями на избыточный спрос. Доказательство этого утверждения
состоит в указании правила процесса ценообразования (отличного от описанного выше), ими-
тирующего поведение ценообразующего органа, которое порождает отображение множества
цен S l?1 в себя, удовлетворяющее теореме Какутани (о существовании неподвижной точки
выпуклозначного замкнутого отображения компактного выпуклого множества в себя).
Рассмотрим также вопрос о том, как использовать те же приемы и полученные результаты
для экономики с производством. Чтобы избыточный спрос являлся непрерывной функцией,
требуется сделать определенные предположения относительно технологий. Выше мы устано-
вили условия, при которых совокупный спрос потребителя является непрерывной функцией.
Если, в дополнение к этим условиям, технологическое множество каждого производителя яв-
ляется строго выпуклым, то как предложение, так и совокупный избыточный спрос также
будут непрерывными функциями. В случае, когда технологические множества представля-
ются производственными функциями, можно предположить строгую вогнутость последних.
Характерным примером этого типа функций является функция Кобба — Дугласа.
5.3. Существование общего равновесия 180

Вообще говоря, для многих «обычных» функций полезности и производственных функций
спрос и предложение являются точечно-множественными отображениями, а не функциями
(прежде всего если рассматривать их на более широком множестве, чем множество положи-
тельных цен). Поэтому подход, основанный на функциях избыточного спроса, который мы
обсуждали выше, имеет не очень широкую область приложимости. Возможно заменить пред-
положения о строгой выпуклости предпочтений и технологических множеств на предполо-
жения о выпуклости, если применить другой, более прямой подход (см. Теоремы 75 и 76 в
приложении к главе). Он приводит к более длинному доказательству, но зато является более
элегантным и расширяет область приложимости теорем существования.
И наконец, выполнение условий теоремы Какутани для отображений, построенных на ос-
нове функций избыточного спроса, можно гарантировать лишь при достаточно сильных пред-
положениях относительно предпочтений потребителей, начальных запасах и технологических
множеств производителей. Поэтому при установлении условий существования равновесия ис-
пользуются различные модификации функций избыточного спроса, концепций равновесия и
т. д. Некоторые приемы такого такого анализа условий существования равновесий также при-
ведены в приложении.

Задачи7
5.3.1
 272. Можно ли утверждать, что в экономике обмена, в которой функции полезности имеют
вид
l
x?ik ,
ui (xi ) = ik
k=1
а начальные запасы равны ?ik = i · k , равновесие существует? Аргументируйте свой ответ.
 273. Пусть в модели обмена предпочтения потребителей и их начальные запасы совпада-
ют. Гарантирует ли выпуклость предпочтений существование равновесия? Аргументируйте
свой ответ, дав доказательство существования равновесия, либо приведя пример отсутствия
равновесия.
 274. Пусть в модели обмена предпочтения потребителей и их начальные запасы совпадают.
Гарантирует ли строгая выпуклость предпочтений существование равновесия? Аргументируй-
те свой ответ, дав доказательство существования равновесия, либо приведя пример отсутствия
равновесия.
 275. Покажите, что в экономике обмена с двумя благами и двумя потребителями, описыва-
емыми функциями полезности

u1 (x11 , x12 ) = x11 , u2 (x21 , x22 ) = x22 ,

и начальными запасами ? 1 = (1, 1), ? 2 = (?, 1) равновесие существует тогда и только тогда,
когда ? = 0. Какие условия известной вам теоремы существования равновесия нарушаются в
случае, когда равновесие не существует?
 276. Показать, что в экономике обмена с двумя благами и двумя потребителями, предпочте-
ния которых описываются функциями полезности

u1 (x11 , x12 ) = min{x11 , x12 }, u2 (x21 , x22 ) = x22 ,

не существует равновесия при начальных запасах ? 1 = (0, ?) (? 0) и ? 2 = (?, ?) (0 < ? <
? ). Какие условия известной вам теоремы существования равновесия здесь нарушаются?
 277. Предположим, что все продукты производятся на основе первичных факторов, кото-
рые принадлежат потребителям и совокупные запасы которых положительны. Предположим
7
Часть задач относится к материалу из приложения к главе
5.4. Парето-оптимальные состояния экономики и их характеристики 181

также, что каждая фирма является однопродуктовой, ее технология описывается производ-
ственной функцией Кобба — Дугласа, а также что каждый продукт производится какой-то
фирмой. Покажите, что если m ? i 0, то для этой экономики выполняется условие, что
i=1
множество Z = ( j?J Yj + i?I ? i ) ? Rl непусто, замкнуто и ограничено.
+
Какие дополнительные условия гарантируют существование квазиравновесия (равновесия)
в такой экономике?
 278. Рассмотрим экономику с l благами и m потребителями, функции полезности которых
имеют вид

<< Предыдущая

стр. 40
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>