<< Предыдущая

стр. 41
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

l
v
ui (xi ) = ?ik xik , ?ik 0.
k=1
При каких начальных запасах известные вам утверждения (какие?) гарантируют существо-
вание равновесия в этой экономике?
 279. Предположим, что (? , x, y) — квазиравновесие в экономике Эрроу — Дебре, p
p?? ? 0,
l , предпочтения потребителей строго выпуклы, непрерывны и монотонны.
?
p = 0, Xi = R+
m
Пусть также 0 ? Yj , ? i 0, i=1 ? i > 0. Покажите, что это квазиравновесие является
равновесием по Вальрасу.
 280. В экономике обмена есть только два блага (l =2), функции полезности всех потребите-
лей i имеют вид
ui (x1 , x2 ) = x1 + x2 ,
i i i i
а начальные запасы равны ? i = (0, 1). Вычислите квазиравновесия в этой модели.
 281. Рассмотрим экономику с l благами и m потребителями, предпочтения которых пред-
ставляются функциями полезности Кобба — Дугласа, а начальные запасы положительны. При
каких начальных запасах известные вам утверждения (какие?) гарантируют существование
равновесия в этой экономике?
 282. Рассмотрим экономику с 4 благами и 4 потребителями, функции полезности которых
имеют вид
ui (xi ) = min{xi1 , xi2 }, i = 1, 2,
u3 (x3 ) = x31 + min{x33 , x34 },
u4 (x4 ) = x42 + min{x43 , x44 }.
Начальные запасы имеют вид ? i = ei (i-й орт). Охарактеризуйте все квазиравновесия, в
которых не все цены равны нулю. Какие из них не являются равновесиями?
 283. Рассмотрим экономику с 4 благами и 4 потребителями, функции полезности которых
имеют вид
ui (xi ) = min{xi1 , xi2 }, i = 1, 2,
ui (xi ) = min{xi3 , xi4 }, i = 3, 4,
Первый потребитель имеет по единице первого и третьего блага, второй — по единице второго
и четвертого. У остальных потребителей нет начальных запасов. Охарактеризуйте все квази-
равновесия, в которых не все цены равны нулю, и покажите, что ни одно из них не является
равновесием.


5.4 Парето-оптимальные состояния экономики и их
характеристики
Оценку того или иного механизм координации решений экономических субъектов (напри-
мер механизма рыночной координации) можно осуществлять на основе характеристики резуль-
5.4. Парето-оптимальные состояния экономики и их характеристики 182

татов такой координации, безотносительно самого процесса координации. Поэтому в связи с
анализом рыночного равновесия уместным является вопросом о том, является ли равновесие
эффективным, т. е. принадлежит ли оно границе Парето.
Определение 49:
Допустимое состояние экономики (? , y) является Парето-улучшением для допустимого со-
x?
стояния (x, y) или, другими словами, доминирует его по Парето, если для каждого потребителя
i ? I выполнено xi i xi и существует хотя бы один потребитель i0 для которого xi0 i0 xi0 .
? ?
Допустимое состояние экономики (? , y) называется Парето-оптимальным, если для него не
x?
существует Парето-улучшений8 .

Множество оптимальных по Парето состояний образует границу Парето, P , экономики.
Проиллюстрируем понятие оптимальности по Парето с помощью диаграммы Эджворта
(см. Рис. 5.3). Парето-оптимальность состояния x равносильна тому, что множества L+ (? 1 )
? 1x
++ ++ +
и L2 (? 2 ) не имеют общих точек и множества L1 (? 1 ) и L2 (? 2 ) не имеют общих точек
x x x
+
на ящике Эджворта. Здесь Li (? i ) — множество потребительских наборов, которые не хуже
x
для потребителя i, чем набор xi , а L++ (? i ) — множество потребительских наборов, которые
? x
i
лучше, чем набор xi . Для оптимальности достаточно, чтобы множества L+ (? 1 ) и L+ (? i )
? 1x 2x
?
имели только одну общую точку — x .

x21
x12



L+ (? 1 )
1x
?
x
L+ (? 2 )
2x

x11

x22


Рис. 5.3. Иллюстрация Парето-оптимальности на ящике Эджворта



5.4.1 Характеризация границы Парето через задачу максимизации
взвешенной суммы полезностей
Чтобы находить границу Парето, удобно пользоваться вспомогательной задачей. Сопоста-
вим каждому из потребителей число ?i 0, такое что i?I ?i = 1, и рассмотрим следующую
задачу максимизации взвешенной суммы полезностей на множестве допустимых состояний
экономики:

Задача поиска оптимума Парето

?i ui (xi ) > max
x,y
i?I
(P ? )
(x, y) ? E.
8
Эта концепция оптимальности была предложена итальянским экономистом Вильфредо Парето в книге
V. Pareto: Manuele di economia politica, Milan: Societa Editrice Libaria, 1906.
5.4. Парето-оптимальные состояния экономики и их характеристики 183

Здесь (x, y) ? E означает, что (x, y) — допустимое состояние экономики E . Чтобы по-
казать связь этой задачи с Парето-границей, введем также вспомогательное понятие слабой
Парето-границы.
Определение 50:
Допустимое состояние экономики (? , y) является строгим Парето-улучшением для допу-
x?
стимого состояния (x, y) или, другими словами, строго доминирует его по Парето, если для
каждого потребителя i ? I выполнено xi i xi .
?
Допустимое состояние экономики (? , y) принадлежит слабой границе Парето, WP , если не
x?
существует другого допустимого состояния, которое строго доминирует его по Парето.

Очевидно, что по определению обычная (сильная) граница Парето P всегда содержится в
слабой границе Парето WP , т. е. P ? WP .
Теорема 65:
(1) Если (? , y) — решение задачи (P ? ), то (? , y) принадлежит слабой границе Парето,
x? x?
а если, кроме того, ?i > 0 ?i ? I , то (? , y) принадлежит (сильной) границе Парето.
x?
(2) Пусть множества Xi выпуклы, функции полезности ui (·) непрерывны и вогнуты,
x?
технологические множества Yj выпуклы. Тогда если (? , y) принадлежит слабой границе
x?
Парето, то найдутся такие неотрицательные ?i ( i?I ?i = 1), что (? , y) является решени-
? ).
ем задачи (P

Доказательство: (1) Предположим, что существует решение задачи (P ? ), (? , y), которое не
x?
x?
принадлежит слабой границе Парето. Тогда найдется такое допустимое состояние (? , y), что
ui (? i ) > ui (? i ) ?i ? I . При этом значение целевой функции задачи (P ? ) будет больше в точке
x x
x , чем в точке x , а это противоречит тому, что (? , y) — решение задачи (P ? ). Доказательство
? ? x?
для случая положительных коэффициентов и обычной (сильной) границы Парето полностью
аналогично.
x?
(2) Пусть (? , y) принадлежит слабой границе Парето. Введем обозначение

u(x) = (u1 (x1 ), . . . , un (xn ))

и рассмотрим следующее множество:

U ? = { v ? Rn | ?(x, y) ? E : v u(x) } .

Множество U ? непусто, так как u(? ) ? U ? . Покажем, что U ? — выпуклое множество.
x
? и v ? U ? . Это означает, что существуют допустимые состояния экономики,
Пусть v ? U
(x , y ) и (x , y ), такие что v u(x ) и v u(x ). Выпуклая комбинация этих состояний,

(?x + (1 ? ?)x , ?y + (1 ? ?)y ), где ? ? [0, 1],

является допустимым состоянием экономики. Так как ui (·) — вогнутые функции, то

u(?x + (1 ? ?)x ) ?u(x ) + (1 ? ?)u(x ).

Это означает, что ?v + (1 ? ?)v u(?x + (1 ? ?)x ), т. е. выпуклая комбинация точек из
U ? тоже принадлежит U ? :

?v + (1 ? ?)v ? U ? , при ? ? [0, 1].

Множество u(? ) + Rn = { v ? Rn | vi > ui (? i ) ?i ? I } также является непустым и выпук-
x x
++
лым.
5.4. Парето-оптимальные состояния экономики и их характеристики 184

x?
Поскольку (? , y) принадлежит слабой границе Парето, то рассмотренные множества не
имеют общих точек:
U ? ? (u(? ) + Rn ) = ?,
x ++

в противном случае мы нашли бы допустимое состояние экономики, в котором каждый по-
x?
требитель имел бы б?льшую полезность, чем в (? , y). По теореме отделимости существует
о
разделяющая эти два множества гиперплоскость, т. е. существуют вектор a ? Rn , a = 0 и
число b, такие что
av b при v ? U ?
и
b при v ? u(? ) + Rn .
av x ++

Покажем, что a 0. Предположим, что существует потребитель i, для которого ai < 0. Тогда
если v ? u(? ) + Rn , то v + tei ? u(? ) + Rn , где t — положительное число, ei — i-й орт.
x x
++ ++
Мы всегда можем подобрать достаточно большое t, чтобы выполнялось a(v + tei ) < b, а это
противоречит тому, что v + tei ? u(? ) + Rn .
x ++
N = u(? )+1/N ·1 где 1 — вектор, состоящий из единиц.
Рассмотрим последовательность v x l, l
N ? u(? ) + Rn N
++ ?N , то av
Поскольку v x b. Переходя к пределу, получим au(? )
x b. С
? и au(? )
другой стороны, u(? ) ? U
x x b. Следовательно, au(? ) = b.
x

v2


u(? )+R2
x ++



u(? )
x
U?
v1


Рис. 5.4.

Таким образом, мы доказали существование гиперплоскости в Rn , с коэффициентами a =
0, которая проходит через u(? ) и разделяет множества U ? и u(? ) + Rn (см. Рис. 5.4).
x x ++
Возьмем в качестве коэффициентов ?i нормированные коэффициенты ai :
ai
?i = .
aj
j?J

Не существует допустимого состояния (x, y), такого что

?i ui (xi ) > ?i ui (? i ).
x
i?I i?I

Действительно, для такого состояния выполнено u(x) ? U ? , откуда au(x) au(? ). Разделив
x
x?
это неравенство на ai , получим ?u(x) ?u(? ). Это означает, что (? , y) является решением
x
задачи (P ? ).

Из этой теоремы следует, что множество решений задачи (P ? ) при неотрицательных коэф-
фициентах совпадает со слабой границей Парето и, следовательно, содержит в себе границу
Парето. С другой стороны, множество решений задачи (P ? ) при положительных коэффици-
ентах содержится в границе Парето. Другими словами, эта задача позволяет получить для
5.4. Парето-оптимальные состояния экономики и их характеристики 185

границы Парето оценки сверху и снизу. Кроме того, если сильная и слабая границы Паре-
то совпадают, то задача (P ? ) полностью характеризует границу Парето. Следующая теорема
предлагает возможные условия, при которых такое совпадение имеет место.
Теорема 66:

<< Предыдущая

стр. 41
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>