<< Предыдущая

стр. 42
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(1) Если у каждого потребителя Xi = Rl , предпочтения строго монотонны и непре-
+
рывны, то сильная граница Парето совпадает со слабой: P = WP .
(2) Если предпочтения каждого потребителя полустрого монотонны9 и непрерывны,
то все точки сильной границы Парето, компоненты которых строго положительны, также
принадлежат и слабой границе Парето.

Доказательство: (1) Поскольку P ? WP , то достаточно доказать только, что WP ? P . Пусть
x?
это не так, т. е. существует допустимое состояние (? , y), принадлежащее слабой границе Па-
рето, но не сильной.
x?
Поскольку (? , y) не принадлежит границе Парето, то существует другое допустимое состо-
яние (? , y), такое что xi i xi ?i ? I и ?i0 ? I : xi0 i0 xi0 .
x? ? ? ? ?
? ?
Из строгой монотонности следует, что xi0 i0 0, поэтому xi0 не может быть нулевым
вектором. Следовательно, потребитель i0 потребляет хотя бы одно благо k в положительном
количестве: xi0 k > 0. Пусть ek — k -й орт (вектор, где на k -м месте стоит 1, а на остальных
?
местах — 0). Рассмотрим последовательность перераспределений (N = 1, 2, . . .)
1k
xi0 (N ) = xi0 ?
? ? e,
N
1
ek ?i = i0 .
? ?
xi (N ) = xi +
N (N ? 1)
По свойству строгой монотонности, имеем xi (N ) i xi (N ) ?i = i0 ?N . Кроме того, для по-
? ?
? ?
?
требителя i0 найдется достаточно большой номер N , такой что набор xi0 (N ) допустим и (по
?
? ?
свойству непрерывности предпочтений) xi0 (N ) i0 xi0 .
??
?
Таким образом, мы нашли допустимое распределение (xi0 (N ), y) которое строго домини-
x? x?
рует допустимое распределение (? , y), чего быть не может, так (? , y) принадлежит слабой
границе Парето.
(2) Доказательство второй части теоремы оставляется в качестве упражнения.

5.4.2 Дифференциальная характеристика границы Парето
x?
Переформулируя определение, (? , y) является Парето-оптимумом, если полезность ни од-
ного из потребителей нельзя увеличить, не уменьшая полезность остальных потребителей (при
том ограничении, что рассматриваются только допустимые состояния). Такая формулировка
подсказывает следующую характеристику Парето-оптимальных состояний: для того, чтобы
x?
состояние (? , y) было Парето-оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы оно являлось
решением следующих оптимизационных задач для всех i0 ? {1, . . . , m}:

ui0 (xi0 ) > max
(x,y)

ui (xi ) ui = ui (? i ), ?i ? I, i = i0 ,
? x
xi ? Xi , ?i ? I, (Pi0 )
gj (yj ) 0, ?j ? J,
(xik ? ?ik ) = yjk , ?k ? K.
i?I j?J

9
Предпочтения называются полустрого монотонными, если они монотонны и из x > y следует, что x y.
5.4. Парето-оптимальные состояния экономики и их характеристики 186

Рассмотрим одну из таких задач для произвольного потребителя i0 и в предположении,
что состояние экономики (? , y) внутреннее в том смысле, что xi ? int Xi ?i ? I , применим
x? ?
к ней теорему Куна — Таккера (см. Приложение), предполагая, что функции полезности и
производственные функции дифференцируемы. Соответствующий лагранжиан имеет вид (с
точностью до постоянных слагаемых)

yjk ? (xik ? ?ik )).
L= ?i ui (xi ) + µj gj (yj ) + ?k (
i?I j?J j?J i?I
k?K

0 (i ? I), µj 0 (j ? J) и ?k
По теореме Джона найдутся множители Лагранжа ?i
(k ? K), такие что в точке (? , y) производные функции Лагранжа по всем xik и yjk равны
x?
нулю:
?L ?ui (? i )
x
? ?k = 0, ?i, k,
= ?i
?xik ?xik
?gj (? j )
y
?L
+ ?k = 0, ?j, k.
= µj
?yjk ?yjk
x?
Предположим, что в рассматриваемом состоянии (? , y) градиенты всех функций полезности
и производственных функций не равны нулю. Другими словами мы предполагаем, что для
каждого потребителя i найдется благо k , такое что ?ui (? i )/?xik = 0, и что для каждого про-
x
изводителя j найдется благо k , такое что ?gj (? j )/?yjk = 0. Это предположение гарантирует
y
выполнение условий регулярности теоремы Куна — Таккера.
Для проверки выполнения условий регулярности нужно убедиться, что градиенты всех
активных ограничений (т. е. выполняющихся в рассматриваемом Парето-оптимальном состоя-
нии как равенства) линейно независимы. Для этого достаточно доказать, что градиенты всех,
а не только активных, ограничений линейно независимы. Это проводится проверкой ранга
матрицы градиентов ограничений: записав структуру матрицы, следует убедиться что если
линейная комбинация ее строк равна нулю, то все коэффициенты линейной комбинации нуле-
вые. Мы здесь опускаем эту проверку.
Теорема Куна — Таккера утверждает, что можно выбрать множитель Лагранжа ?i0 рав-
ным 1.
Из ?i0 = 1, и из того, что существует благо k0 , такое что ?ui0 (? i0 )/?xi0 k0 = 0, следует что
x
?k0 > 0. Следовательно, как несложно проверить, из условий первого порядка следует, что все
?i > 0 (i ? I) и µj > 0 (j ? J).
Отсюда, исключая коэффициенты ?i и µj , получим дифференциальную характеристику
внутренних ( xi ? int Xi ?i ? I ) Парето-оптимальных состояний:
?

?ui (? i )/?xik
x ?k
= ,
?ui (? i )/?xik0
x ? k0

?gj (? j )/?yjk
y ?k
= .
?gj (? j )/?yjk0
y ? k0
Она означает совпадение предельных норм замещения (трансформации) любых двух товаров
k , k0 (?k0 > 0) для всех экономических субъектов. Так на Рис. 5.3 кривые безразличия двух
потребителей касаются друг друга.

5.4.3 Задачи
 284. Для экономики обмена двух потребителей со строго монотонными, строго вогнутыми
функциями полезности, заданными на Rl , и строго положительными общесистемными за-
+
пасами благ, доказать, что Парето-граница является связной кривой, соединяющей два угла
5.5. Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния 187

ящика Эджворта, причем на каждой кривой безразличия в ящике Эджворта лежит ровно
одна точка Парето, и что кривая Парето-границы не имеет колец. (Подсказка: воспользовать-
ся представлением Парето-границы через оптимизационную задачу с параметром задающим
«вес» полезности одного из потребителей, и теоремой о непрерывности по параметру решения
задачи максимизации вогнутой функции на выпуклом множестве.)
 285. Покажите, что в модели обмена (с m потребителями) с совпадающими и строго выпук-
лыми предпочтениями потребителей и совпадающими начальными запасами векторы началь-
ных запасов потребителей составляют Парето-оптимальное распределение.
 286. Какими свойствами обладает равновесие в модели обмена с монотонными и строго
выпуклыми предпочтениями. Аргументируйте свой ответ.
 287. В модели обмена распределение x называется справедливым, если xi i xj ?i, j (никто
никому не завидует).
(1) Покажите, что множество справедливых распределений непусто.
(2) Покажите, что если предпочтения строго выпуклы, непрерывны и строго монотонны,
а совокупные начальные запасы положительны, то множество справедливых распределений,
которые являются Парето-оптимальными, непусто.
(3) Как выглядит множество Парето-оптимальных справедливых распределений, если пред-
почтения потребителей одинаковы?
 288. Найдите равновесие и Парето-границу в экономике обмена с двумя благами и двумя
потребителями:

u1 (x1 ) = ln(x11 ) + ln(x12 ), u2 (x2 ) = ln(x21 ) + ln(x22 ),
? 1 = (1, 3), ? 2 = (3, 1).

Проиллюстрируйте этот анализ на диаграмме Эджворта и проинтерпретируйте графически
обе теоремы благосостояния.
 289. Рассмотрим модель обмена с m одинаковыми потребителями со строго выпуклыми
предпочтениями.
Покажите, что эгалитарное распределение xi = ? i /m принадлежит границе Парето.
Принадлежит ли это распределение ядру данной экономики?
При каких дополнительных предположениях это эгалитарное распределение можно реали-
зовать как равновесие? При каких ценах?
Что можно сказать о таких ценах в случае, если предпочтения представимы строго моно-
тонной дифференцируемой функцией полезности?
Остается ли это утверждение справедливым при отказе от предположения о выпуклости
предпочтений?



5.5 Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы
благосостояния
Сопоставляя дифференциальные характеристики оптимума Парето и равновесия, можно
обнаружить, что они совпадают. Совпадение дифференциальных характеристик позволяет за-
ключить, что при определенных условиях совпадают и сами эти состояния. Характеристика
этих условий составляет содержание так называемых теорем благосостояния10 (или, как их
10
Идею этих теорем можно найти в книге В. Парето. Несколько известных экономистов (А. Лернер, Х. Хо-
теллинг, О. Ланге, М. Алле) занимались этими вопросами в 1930-1940 гг. и дали наброски доказательств.
Формальные доказательства теорем разработали Кеннет Эрроу (1951) и Жерар Дебрё (1951, 1954).
5.5. Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния 188

еще называют, фундаментальные теоремы экономики благосостояния). Первая теорема бла-
госостояния утверждает, что равновесие Парето-оптимально. Вторая теорема благосостояния
утверждает, что на основе Парето-оптимума можно построить равновесие.
Для доказательства первой теоремы благосостояния нам потребуется определение локаль-
ной ненасыщаемости предпочтений11 .
Определение 51:
см. ?? Предпочтения потребителя ( i , i , ?i ) называются локально ненасыщаемыми, если
для любого допустимого набора xi ? Xi в любой окрестности этого набора V (xi ) найдется
?
другой лучший для него допустимый набор xi , т. е. такой набор, что
xi ? Xi , xi ? V (xi ) и xi
? ? ? xi .
Для локальной ненасыщаемости, в частности, достаточно, чтобы функция полезности в
каждой точке множества Xi строго возрастала хотя бы по одному из благ и Xi = Rl . (Для
+
внутренних потребительских наборов (xi > 0) строгое возрастание по одному из благ здесь
можно заменить на строгое убывание по одному из благ).
Теорема 67 ((Первая теорема благосостояния)):
p??
Пусть (? , x, y) — общее равновесие экономики, и функции полезности всех потребите-
x?
лей локально ненасыщаемы, тогда состояние (? , y) Парето-оптимально.
Доказательство: Доказательство проводится от противного: пусть есть другое допустимое со-
x? x?
стояние, (? , y), доминирующее состояние (? , y) в смысле Парето, то есть такое, что
xi ?i ? I,
? ?
xi i

? ?
и потребитель i0 для которого xi0 i0 xi0 .
?
1) Набор xi0 дороже, чем нужно, чтобы удовлетворять бюджетному ограничению при
равновесных ценах и доходах, т. е.
??
pxi0 > ?i0 .
? ?
Если бы это было не так, то набор xi0 , более предпочтительный для него, чем xi0 , являлся
бы допустимым в задаче потребителя, что противоречит определению равновесия.
Аналогично для прочих потребителей pxi ?i ( ?i ? I). Действительно, в противном слу-
??
?? ?
чае (при pxi < ?i ) существовала бы окрестность набора xi , все точки которой удовлетворяли
бы бюджетному ограничению, и по условию локальной ненасыщаемости в этой окрестности на-
шелся бы альтернативный допустимый набор xi ? Xi , который лучше для потребителя, чем xi
? ?
и удовлетворяет бюджетному ограничению (см. Рис. 5.5). Этот набор лучше для потребителя,
?
чем равновесный набор xi , что невозможно.
Суммируя полученные неравенства по всем потребителям, получаем
? ?
p xi > ?i .
i?I i?I

2) С другой стороны, вычислим сумму доходов потребителей в равновесии:
? ?

?i = pk ?ik +
? ?ij pk yjk + Si ? =
??
?
i?I i?I j?J
k?K k?K
? ? ? ?

= pk ?
? ?ik + yjk
? ?ij + Si ? = pk ?
? ?ik + yjk ?
?
i?I j?J i?I i?I i?I j?J
k?K k?K
11
Отметим, что локальная ненасыщаемость предпочтений потребителя влечет за собой то, что решение зада-

<< Предыдущая

стр. 42
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>