<< Предыдущая

стр. 43
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

чи потребителя выводит бюджетное ограничение на равенство. Однако этот факт не добавляет ничего нового
к характеристикам равновесия, поскольку, как показано выше, в любом равновесии бюджетное ограничение
выполнено как равенство.
5.5. Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния 189

xi2




?
xi
?
xi
xi1


Рис. 5.5. Иллюстрация к доказательству первой теоремы благосостояния


или
? ? ?
?i = p ?i + p yj .
i?I i?I j?J

? ?
3) Поскольку yj — оптимальная технология для j -го предприятия при ценах p , то

?? ??
pyj pyj .

Суммируя по всем предприятиям, получим

? ? ? ?
p yj p yj .
j?J j?J

4) Сопоставим три полученные выше соотношения:

? ? ? ? ? ? ? ?
p xi > ?i = p ?i + p yj p ?i + p yj
i?I i?I i?I j?J i?I j?J

или
? ? ? ? ?
p xi > p ?i + p yj .
i?I i?I j?J

x?
Это неравенство противоречит тому, что (? , y) — допустимое состояние, поскольку в допусти-
мом состоянии должны выполняться балансы

? ?
xi = ?i + yj .
i?I i?I j?J

x?
Получено противоречие, поэтому для (? , y) нельзя найти Парето-улучшение. Это означает,
x?
что (? , y) — Парето-оптимум.

Рассмотрим пример экономики с потребителями, характеризующимися локальным насы-
щением, и проиллюстрируем его с помощью ящика Эджворта.
Пример 30:
Первый потребитель имеет функцию полезности с «толстой» кривой безразличия
?
?x x ,
x11 x12 < 2,
? 11 12
?
?
u1 = 2, 2 < x11 x12 < 3,
?
?x x ? 1, x x > 3.
?
? 11 12 11 12
5.5. Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния 190

x21
x12


P


WP


x11

x22


Рис. 5.6. Контрпример к первой теореме благосостояния


У второго же потребителя функция полезности линейна

u2 = x21 + x22 .

Начальные запасы в экономике достаточно большие.
Данная ситуация представляет собой контрпример к первой теореме благосостояния и
показывает важность условия локальной ненасыщаемости. Точки в заштрихованной области
Рис. 5.6 принадлежат слабой границе Парето, но не сильной. Их можно реализовать как рав-
новесие при ценах p1 = p2 = 1, но они не являются Парето-оптимальными.

Перейдем к доказательству того, что всякое Парето-оптимальное состояние можно реали-
зовать как равновесие (вторая теорема благосостояния). Мы докажем здесь эту теорему в
предположении дифференцируемости функций с использованием теоремы Куна — Таккера.
Теорема 68 ((Вторая теорема благосостояния)):
x?
Пусть (? , y) — Парето-оптимальное состояние экономики, причем
4 функции полезности и производственные функции дифференцируемы,
4 множества Xi выпуклы, а функции полезности и производственные функции вогну-
ты12 ,
4 рассматриваемый Парето-оптимум внутренний (т. е. для всех потребителей xi ?
?
int Xi ),
4 в рассматриваемом состоянии градиенты всех функций полезности и производствен-
ных функций не равны нулю:

ui (? i ) = 0, ?i ? I gj (? j ) = 0, ?j ? J.
x y
и

??
Тогда найдется вектор цен p и трансферты Si , i = 1, . . . , m, такие что (p, x, y) —
общее равновесие.

Доказательство: Выше мы доказали, что в условиях теоремы найдутся множители Лагранжа
?i > 0 (i ? I ), µj > 0 (j ? J ) и ?k (k ? K ), такие что в состоянии (? , y) выполняются
x?
следующие условия первого порядка:

?gj (? j )
y
?ui (? i )
x
= ?k , ?i, k + ?k = 0, ?j, k.
?i µj
и
?xik ?yjk
12
Здесь достаточно потребовать «приводимость к вогнутости».
5.5. Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния 191

Возьмем в качестве равновесных цен множители Лагранжа для балансовых ограничений, т. е.
pk = ?k , ?k ? K и выберем такие трансферты Si , чтобы доход каждого потребителя совпадал
?
с расходами, требуемыми на покупку набора xi при ценах p (?i = p? i ), т. е.
x
Si = ?i ? p? i ? ?ij p? j = p(? i ? ? i ? ?
y x ?ij yj ).
j?J j?J

Несложно проверить, что сумма этих трансфертов равна нулю.
??
Для того, чтобы доказать, что (p, x, y) является равновесием, нам достаточно доказать,
?
(i) что для всех потребителей xi является решением задачи потребителя при ценах p и доходах
?
p? i , и (ii) что для всех производителей yj является решением задачи производителя при ценах
x
p.
?
(i) Очевидно, что набор xi является допустимым в задаче потребителя. Докажем, что он
является оптимальным. Для этого воспользуемся обратной теоремой Куна — Таккера.
Требуется найти неотрицательный множитель Лагранжа ?i для бюджетного ограничения,
такой что выполнено условие первого порядка (выведенное ранее)
?ui (? i )
x
= ?i pk , ?k ? K.
?xik
Этому требованию удовлетворяет ?i = 1/?i , поскольку выполнено ?i ?ui (? i )/?xik = ?k и ?i >
x
0.
Условие дополняющей нежесткости для бюджетного ограничения выполнено, поскольку в
?
точке xi бюджетное ограничение активно. Поскольку функция полезности вогнута, а множе-
?
ство Xi выпукло, то выполнены все требования обратной теоремы Куна — Таккера. Т. е. xi —
решение задачи потребителя.
?
(ii) Докажем теперь, что технология yj является оптимальной для j -го производителя.
Требуется найти неотрицательный множитель Лагранжа ?j для технологического ограниче-
ния, такой что выполнено условие первого порядка
?gj (? j )
y
= pk , ?k ? K.
?j
?yjk
Этому требованию удовлетворяет ?j = µj . Условие дополняющей нежесткости для технологи-
ческого ограничения выполнено, поскольку соответствующее условие с точностью до замены
µj на ?j выполнено в Парето-оптимуме. Таким образом, выполнены условия Куна — Таккера,
?
и поскольку производственная функция вогнута, то yj — решение задачи производителя.

Замечание: В экономике без трансфертов, чтобы доходы ?i равнялись требуемым расходам
p? i , следует соответствующим образом распределить собственность, то есть указать началь-
x
ные запасы ? i и доли в прибылях ?ij . Для этого достаточно найти долю ?i каждого потреби-
теля в совокупных расходах потребителей,
p? i
x
?i = ,
p? s
x
s?I

и поделить собственность в соответствующих пропорциях, т. е. взять ?ij = ?i ?i, ?j и ? i =
?i ? ? ?i, где ? ? — совокупные начальные запасы.
?
В экономике чистого обмена достаточно выбрать ? i = xi .

Использование теоремы Куна — Таккера в дифференциальной форме — только один из воз-
можных путей доказательства. Мы воспользовались им здесь, поскольку этот подход понадо-
бится нам в дальнейшем для проверки противоположных утверждений — о неоптимальности
несовершенных рынков. Условия дифференцируемости функций во второй теореме благосо-
стояния на самом деле избыточны.
5.5. Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния 192
Теорема 69 ((вторая теорема благосостояния без дифференцируемости)):
Пусть
3 множества допустимых потребительских наборов Xi выпуклы, предпочтения потре-
бителей i выпуклы, непрерывны и локально ненасыщаемы,
3 технологические множества Yi каждого производителя выпуклы.
Тогда если (? , y) — оптимальное по Парето состояние и xi ? int Xi ?i (т. е. данное Па-
x? ?
рето-оптимальное состояние является внутренним), то существуют цены p и трансферты
??
Si , i = 1, . . . , m, такие что (p, x, y) является общим равновесием.

Доказательство: Введем ряд обозначений которые нам понадобятся в дальнейшем для доказа-
тельства этого утверждения.
Обозначим множество наборов лучших для потребителя i, чем xi , через L++ :
? i

L++ (? i ) = { xi ? Xi | xi xi } .
?
x i
i

Поскольку предпочтения потребителей выпуклы, и множества допустимых потребительских
наборов Xi выпуклы, то, как несложно показать, L++ (? i ) также выпуклы, и, значит, их сумма
x
i


L++ (? i ) =
L++ (? ) = xi xi ? Xi , xi xi ?i ? I
?
x x i
i
i?I i?I

выпукла. Кроме того, L++ (? i ) непусты по локальной ненасыщаемости, значит и L++ (? ) непу-
x x
i
сто.
Множество производственных возможностей,

yj + ? ? yj ? Yj ?j ? J ,
Y? + ? ? = Yj + ? ? =
j?J j?J

тоже является выпуклым в силу выпуклости технологических множеств и непустым, так как
?
ему принадлежит точка j?J yj + ? ? .
Поскольку (? , y) — оптимум Парето, то множества L++ (? ) и Y? + ? ? не имеют общих
x? x
точек:

<< Предыдущая

стр. 43
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>