<< Предыдущая

стр. 44
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

L++ (? ) ? (Y? + ? ? ) = ?.
x
Предположим, что существует общая точка z ? L++ (? ) и z ? Y? + ? ? . Это означало
x
бы, что существует состояние экономики (x, y), такое что xi ? Xi , xi i xi ?i, yj ? Yj ?j ,
?
i?I xi = z и j?J yj + ? ? = z. Тем самым мы нашли бы допустимое состояние экономики,
которое доминирует13 оптимальное по Парето состояние (? , y), чего быть не может.
x?
++ (? ) и Y + ?
Поскольку множества L x ? выпуклы, непусты и не пересекаются, к ним
?
применима теорема отделимости. Поэтому существует вектор p ? Rl , p = 0 и число r ? R,
такие что
pz r, если z ? L++ (? )
x
и
r, если z ? Y? + ? ? .
pz
Пусть x = {xi } — такой набор допустимых потребительских наборов, что xi i xi ?i, что ?
+ (? ). Покажем, что p
можно по аналогии записать как x ? L x i?I xi r . Из локальной нена-
сыщаемости предпочтений i следует, что для любого натурального числа N в окрестности
V1/N (xi ) набора xi существует набор xN , такой что xN i xi , где V1/N (xi ) — шар с центром
i i
N N ++ (? ), откуда p N
i?I xi ? L
?
xi и с радиусом 1/N . Поскольку xi i xi i xi , то x i?I xi r.
N сходится к x . Переходя к пределу по N , получим тре-
Заметим, что последовательность xi i
буемое неравенство.
13
Причем строго доминирует.
5.5. Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния 193

Введем обозначение
? ? ?
z= xi = yj + ? ? .
i?I j?J

(Второе равенство здесь является следствием балансов по благам.)
Поскольку z ? L+ (? ) (по рефлексивности отношения i — каждый из наборов xi не хуже
? ?
x
себя самого), то p? r . С другой стороны, так как Парето-оптимум технологически допустим,
z
то z ? Y? + ? ? , и p? r . Следовательно, r = p? .
? z z

z2




L+ (? )
x
?
z
Y? +? ?

z1


Рис. 5.7. Иллюстрация к доказательству второй теоремы благосостояния

?
Таким образом, мы нашли гиперплоскость, проходящую через z и разделяющую множе-
ства Y? + ? ? и L+ (? ) (см. Рис. 5.7). Возьмем коэффициенты p, соответствующие этой гипер-
x
??
плоскости, в качестве цен и покажем, что (p, x, y) является равновесием при соответствующем
подборе трансфертов.
Покажем сначала, что при этих ценах прибыль каждого предприятия j максимальна в
точке yj . Пусть yj ? Yj . Тогда
?

ys + ? ? ? Y? + ? ?
?
yj +
s=j

и выполнено
? ?
p(yj + ys + ? ? ) p? = p(
z ys + ? ? ).
s?J
s=j

Отсюда pyj p? j . Другими словами, производитель не может при ценах p увеличить свою
y
? ?
прибыль, выбрав yj вместо yj , то есть yj — решение задачи производителя.
Аналогичным образом доказывается, что любой набор xi ? Xi , который не хуже xi (xi i
?
? ? ?
xi ), не может стоить дешевле, чем xi в ценах p. Действительно, так как (? 1 , . . . , xi , . . . , xn )
x
?
не хуже для каждого потребителя, чем x , то

? ?
p(xi + xs ) p? = p
z xs .
s?I
s=i

?
Таким образом, из xi i xi следует pxi p? i .
x
Докажем, что при ценах p и доходе ?i = p? i полезность каждого потребителя i мак-
x
?
симальна в точке xi . Для этого требуется усилить доказанный только что факт и доказать,
?
что из xi i xi следует pxi > p? i . Другими словами, требуется доказать, что лучший набор
x
xi (xi ? Xi и xi i xi ) должен стоить дороже, чем xi в ценах p. Мы уже доказали, что
? ?
pxi p? i , поэтому осталось показать, что равенство здесь достигаться не может.
x
Предположим, что это не так и pxi = p? i .
x
Условие xi ? int Xi означает, что xi принадлежит множеству Xi вместе с некоторой своей
? ?
окрестностью. Поскольку не все цены равны нулю (p = 0), то в этой окрестности найдется
5.5. Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния 194

?
набор xi , который в ценах p стоит дешевле xi и, следовательно, дешевле xi . Действительно,
пусть pk = 0 для некоторого блага k . Если pk > 0, то можно немного уменьшить потребле-
ние этого блага по сравнению с xik , а если pk < 0, то немного увеличить. Таким образом,
?
существует допустимый набор xi , такой что pxi < pxi .
Рассмотрим выпуклые комбинации ?xi + (1 ? ?)xi , ? ? [0, 1]. Поскольку множество допу-
стимых потребительских наборов Xi выпукло, то все такие наборы допустимы. В силу непре-
рывности предпочтений, если положительное ? является достаточно малым, то набор

xi = ?xi + (1 ? ?)xi

?
лучше, чем xi . Кроме того, поскольку pxi < p? i = pxi , то pxi < pxi .
x

xi2


xi
xi
?
xi
xi
xi1


Рис. 5.8. Иллюстрация к доказательству второй теоремы благосостояния

?
Но, с другой стороны, из xi i xi следует, что pxi p? i . Получили противоречие.
x
Таким образом, pxi > p? i . Значит, невозможно найти допустимый набор, который был бы
x
? ? ?
лучше xi , но стоил бы не дороже, чем xi . Таким образом, xi — решение задачи потребителя
при ценах p и доходе ?i = p? i .
x
??
Для того, чтобы доказать, что (p, x, y) — равновесие Вальраса, нам осталось найти такие
трансферты, равные в сумме нулю, чтобы с учетом трансфертов ?i = p? i . Рассуждения здесь
x
повторяют рассуждения предыдущей теоремы.

Рассмотрим примеры того, что отказ от предположений второй теоремы благосостояния
приводит к тому, что она перестает быть верной. При этом удобно воспользоваться для ил-
люстрации ящиком Эджворта. Для того, чтобы на основе Парето-оптимума можно было по-
строить равновесие, требуется найти прямую, которая бы разделяла множества L++ (? 1 ) и
x
1
++
L2 (? 2 ) на диаграмме Эджворта. Например, на Рис. 5.1 такая гиперплоскость имеется, поэто-
x
?
му точка x является одновременно Парето-оптимальной и равновесной. На Рис. 5.3 первый
?
потребитель имеет невыпуклые предпочтения и Парето-оптимальную точку x нельзя реали-
зовать как равновесие — не существует прямой, которая бы разделяла L1 (? 1 ) и L++ (? 2 ).
++
x x
2
Приведем еще несколько примеров.
Пример 31:
v
Пусть потребители имеют функции полезности u1 = x11 + x12 и u2 = x22 .
?
Правый нижний угол ящика Эджворта ( x ) представляет собой оптимум Парето, но не
может быть реализован как равновесие ни при каких ценах (см. Рис. 5.9). Эта экономика
представляет собой контрпример ко второй теореме благосостояния с не внутренним оптиму-
мом Парето. Прямая, разделяющая L++ (? 1 ) и L++ (? 2 ), существует — она проходит горизон-
x x
1 2
тально. Однако это разделение нестрогое, поскольку частично эта прямая лежит в L++ (? 1 ).
x
1
?
Действительно, несложно проверить, что при ценах p1 = 0 и p2 > 0 набор x1 не является
решением задачи первого потребителя, так как полезность не ограничена сверху.
5.5. Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния 195

x12
x21

L++ (? 1 )
x
1




?
x x11

L++ (? 2 )
x
2
x22


Рис. 5.9. Контрпример ко второй теореме благосостояния: не внутренний Парето-оптимумом


В следующем примере вместо ящика Эджворта используется диаграмма, аналогичная той,
что изображена на Рис. 5.2.
Пример 32:
Пусть экономика состоит из одного потребителя с локально насыщаемыми предпочтени-
? ?
ями и одного производителя (см. Рис. 5.10). Точка Парето-оптимума x = ? + y лежит на
границе производственных возможностей и находится внутри «толстой» кривой безразличия.
Поскольку множество производственных возможностей и множество лучших наборов L++ (? )
x
не имеют на диаграмме общих точек, то это действительно оптимум.

x2 =?2 +y2



L++ (? )
x


?
x=?+?
y

?+Y x1 =?1 +y1


Рис. 5.10. Контрпример ко второй теореме благосостояния: предпочтения потребителя не
являются локально ненасыщаемыми

? ?
Чтобы точка x = ? + y была равновесной, нужно, чтобы отношение цен было равно на-
клону границы производственных возможностей в этой точке. Однако в условиях бюджетного
?
ограничения, соответствующего такому наклону бюджетной прямой, точка x не будет решени-
ем задачи потребителя, так как гипотетический бюджетный треугольник имеет общие точки
с множеством L++ (? ).
x
Аналогичный пример можно построить, если взять Парето-оптимум внутри множества про-
изводственных возможностей и внутри «толстой» кривой безразличия. Из такого оптимума
нельзя сконструировать равновесие, поскольку (при ненулевых ценах) решение задачи произ-

<< Предыдущая

стр. 44
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>