<< Предыдущая

стр. 46
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

а его начальные запасы равны (3, 0). Технология единственного предприятия задана неявной
производственной функцией
v
g = 4 ?y1 ? y2 .
Пусть x1 = 2, x2 = 4, y1 = ?1, y2 = 4, p1 = 2, p2 = 1.
5.5. Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния 201

(а) Покажите формально, что (p, x, y) является равновесием.
(б) Можно ли на основе этого Парето-оптимального состояния сконструировать равнове-
сие? Обоснуйте свой ответ.
 328. При каких дополнительных предположениях относительно параметров модели обмена
(с m потребителями) и совпадающими, выпуклыми и строго монотонными предпочтениями,
представимыми непрерывно дифференцируемыми функциями полезности, распределение, со-
стоящее из векторов начальных запасов, можно реализовать как равновесие? При каких це-
нах?
 329. Пусть начальные запасы в экономике обмена лежат на Парето-границе. При каких
дополнительных условиях можно гарантировать существование и единственность равновесия
в этой экономике?
 330. Рассмотрим модель обмена в двумя благами и двумя потребителями с функциями
полезности u1 = x1 , u2 = x1 , совокупные начальные запасы которых положительны ? ? > 0.
1 2
Покажите формально, что:
1 2
а) Любая точка ящика Эджворта (x1 ? [0, ?? ] ? [0, ?? ]) принадлежит слабой и сильной
границе Парето.
б) Каждую из точек ящика Эджворта можно реализовать как равновесие, и при этом
2 = 0.
p
 331. Рассмотрим модель обмена в двумя благами и двумя потребителями с функциями
полезности u1 = x1 , u2 = x2 совокупные начальные запасы экономики положительны (? ? >
1 2
0). Покажите формально, что:
а) Правая (x1 = ?? , x2 ? [0, ?? ]) и нижняя (x1 ? [0, ?? ], x2 = 0) стороны ящика Эдж-
1 2 1
1 1 1 1
1 2
ворта составляют слабую границу Парето, а правый нижний угол (x1 = (?? , ?? )) — сильную
Парето-границу.
б) Сильную границу Парето можно реализовать как равновесие при любых неотрицатель-
ных ценах.
 332. Пусть, как и в Примере 3???, потребители имеют линейные функции полезности с
положительными коэффициентами,
u1 = ?1 x1 + ?1 x2 и u2 = ?2 x1 + ?2 x2 ,
1 1 2 2

совокупные начальные запасы экономики положительны (? ? > 0). Продемонстрируйте фор-
мально, что сильная и слабая граница Парето совпадают в этой экономике. Найдите их в
зависимости от значений коэффициентов.
 333. Пусть в ситуации Примера 4??? (u1 = ln x1 +ln x2 , u2 = x1 +x2 ) совокупные начальные
1 1 2 2
запасы экономики положительны (? ? > 0). Продемонстрируйте формально, что сильная и
слабая граница Парето совпадают в этой экономике. Найдите их в зависимости от величины
начальных запасов.
 334. Первый потребитель имеет функцию полезности с «толстой» кривой безразличия
?
?x1 x2 , x1 x2 < 2,
?11 11
?
?
3, и u2 = x1 + x2 .
2 x1 x2
u1 = 2, 2 2
11
?
?x x ? 1, x1 x2
?12
3
?11 11

В ситуации Примера ???5 при достаточно больших совокупных начальных запасах найдите
формально сильную и слабую границы Парето и множество точек, которые можно реализовать
как равновесие. Как соотносятся между собой эти три множества?
 335. В ситуации Примера 6??? (u1 = ?(x1 ? 1)2 ? (x2 ? 1)2 , u2 = 2x1 + x2 ) при достаточно
1 1 2 2
больших совокупных начальных запасах найдите формально границу Парето и множество
точек, которые можно реализовать как равновесие.
5.A. Теоремы существования равновесия 202

 336. В ситуации Примера 7??? (u1 = x1 + x2 , u2 = x2 ) при положительных совокупных
1 2
1
начальных запасах найдите формально границу Парето и множество точек, которые можно
реализовать как равновесие.
 337. Могут ли в экономике обмена с одинаковыми предпочтениями потребителей и одина-
ковыми начальными запасами существовать возможности для взаимовыгодных обменов?
 338. Могут ли в экономике обмена с одинаковыми выпуклыми предпочтениями потреби-
телей и одинаковыми начальными запасами существовать возможности для взаимовыгодных
обменов?


Приложение 5.A Теоремы существования равновесия
5.A.1 Существование равновесия в экономике обмена
Приведем альтернативный вариант теоремы существования равновесия в модели обмена, в
котором, в отличие от теоремы существования, приведенной в основном тексте, используются
более слабые условия на избыточный спрос.
Теорема 70:
Предположим, что функция E(p) удовлетворяет следующим условиям:
l?1
? E(p) непрерывна на S+ = p>0 pk = 1 .
k?K

l?1
? E(p) положительно однородна нулевой степени на S+ .
l?1
? Выполнено тождество pE(p) = 0 ?p ? S+ (закон Вальраса).

? Функции избыточного спроса ограничены снизу, т. е. существует число t, такое что

Ek (p) > t ?k, ?p ? S l?1 .

? Если хотя бы одна из цен стремится к нулю, то избыточный спрос хотя бы на одно
благо стремится к бесконечности, т. е. если pn ? S l?1 и pn > p0 при n > ?, причем
существует благо k , такое что p0 = 0, то
k

max(Ek (pn )) > ? при n > ?.
k


Тогда существует вектор p ? Rl , такой что E(? ) = 0.
? p
++

Доказательство: Доказательство условно разобьем на три этапа:
1. Построение отображения единичного симплекса S l?1 в себя.
2. Проверка замкнутости графика и выпуклозначности построенного отображения и при-
менение к нему теоремы о неподвижной точке.
3. Демонстрация того, что найденная неподвижная точка является вектором равновесных
цен, рассматриваемой экономики.
l?1
Этап 1. Каждой цене p ? S+ сопоставим множество

q ? S l?1 qE(p) q E(p) ?q ? S l?1
g(p) = ,

l?1
и тем самым, построим отображение g(·) из S+ в S l?1 . Другими словами, значение отображе-
ния g(p) — множество всех векторов цен из S l?1 , максимизирующих стоимость избыточного
5.A. Теоремы существования равновесия 203

спроса, вычисленного при старых ценах p. Можно заметить, что любому неравновесному век-
l?1
тору цен p ? S+ (т. е. в данном случае вектору p такому, что E(p) = 0) данное отображение
ставит в соответствие подмножество (грань меньшей размерности) симплекса цен, а любому
равновесному вектору — весь симплекс цен.
l?1
На границе симплекса цен S l?1 \S+ определим g(p) по правилу:

q ? S l?1 qp = 0 q ? S l?1 q k = 0, если pk > 0 .
g(p) = =

Отметим, что множество g(p) непусто при любом p ? S l?1 .
Этап 2. Выпуклозначность построенного отображения очевидна в силу того, что условия,
определяющие множества g(p), линейны. Таким образом, для доказательства существования
неподвижной точки остается показать, что отображение g(·) имеет замкнутый график.
Предположим, что последовательности {pn } ? S l?1 и {qn } ? S l?1 с пределами p0 и q0
соответственно таковы, что qn ? g(pn ). Покажем, что q0 ? g(p0 ). Возможны две ситуации:
l?1 l?1
(1) p0 ? S+ , (2) p0 ? S l?1 \S+ .
l?1 l?1
В случае p0 ? S+ существует N , такое что при n > N выполнено pn ? S+ . Возьмем
произвольный вектор q ? S l?1 . При n > N выполнено

qn E(pn ) q E(pn ).

Переходя к пределу, получим, что q0 E(p0 ) q E(p0 ). Тем самым, мы показали, что в этом
случае q0 ? g(p0 ).
l?1
Рассмотрим теперь случай, когда p0 ? S l?1 \S+ . Пусть k — благо, для которого p0 > 0.
k
n = 0. Тем самым мы покажем, что
Покажем, что при достаточно больших n выполнено qk
qk = lim qk = 0, и, следовательно, q0 ? g(p0 ).
0 n
l?1
Если pn ? S l?1 \S+ , то по определению отображения g(·) имеем qk = 0. Таким образом,
n
l?1
нам осталось доказать в случае pn ? S+ , что если p0 > 0, то при достаточно больших n
k
n = 0. По закону Вальраса имеем
выполнено qk

pn Ek (pn ) = ? pn Ek (pn ).
k k
k =k

Используя ограниченность снизу функции избыточного спроса, имеем

pn Ek (pn ) pn = ?t(1 ? pn ).
? ?t
k k k
k =k k =k

Отсюда
t(1 ? pn )
n k
?
Ek (p ) .
n
pk
Поскольку pn сходится к положительному пределу, это означает, что значение Ek (pn )
k
ограничено сверху. С другой стороны, величина maxs {Es (pn )} стремится к бесконечности.
Поэтому при достаточно больших n выполнено неравенство

Ek (pn ) < max{Es (pn )}.
s

Отсюда следует, что при достаточно больших n вектор q ? g(pn ) должен иметь q k = 0.
Действительно, согласно определению g(·) для любого вектора q из S l?1 должно быть вы-
полнено q E(pn ) qE(pn ). Однако, если бы q k > 0, то при Ek (pn ) < maxs {Es (pn )} мы
могли бы построить на основе вектора q вектор q для которого q E(pn ) > qE(pn ). Действи-
тельно, пусть s — такое благо, для которого Ek (pn ) < Es (pn ). Для получения требуемого
противоречия можно взять q = q ? q k ek + q k es , где ek и es — соответствующие орты.
5.A. Теоремы существования равновесия 204

Тем самым мы полностью доказали, что отображение g(·) имеет замкнутый график.
Поскольку отображение g(·) имеет замкнутый график, выпуклозначно и отображает непу-
стое компактное выпуклое множество S l?1 в себя, то к нему применима теорема Какутани, и
существует неподвижная точка p ? S l?1 :
?

p ? g(? ).
? p

Этап 3. Покажем, что неподвижная точка отображения g(·) является вектором цен рав-
новесия.
?
Неподвижная точка p отображения g(·) не может принадлежать границе симплекса цен
l?1 l?1
(S l?1 \S+ ). Этот факт следует из того, что согласно определению g(p) для p ? S l?1 \S+ при
l?1
всех q ? g(p) должно быть выполнено равенство qp = 0. Если бы p ? g(? ), где p ? S l?1 \S+ ,
? ?
p
то мы имели бы pp = p 2 = 0. Этому условию удовлетворяет только точка p = 0, не
?? ? ?
принадлежащая симплексу цен.
?
Таким образом, p > 0 и поэтому, как было отмечено при определении отображения, E(? ) = p
0. Покажем это формально.
?
Предположим противное. В силу закона Вальраса, если E(? ) = 0 и p > 0, то существуют
p
s и s , такие что Es (? ) > 0 и Es (? ) < 0. Поскольку p ? g(? ) и p > 0, то по определению
? ?
p p p
g(? ) для любого q ? S l?1 должно быть выполнено pE(? ) qE(? ). Однако, так как Es (? ) >
?p
p p p
s = ps + ps , q s = 0, q k = pk , k = s, s ,
Es (? ), то достаточно взять следующий вектор q : q
p ? ? ?
?p
чтобы получить pE(? ) < qE(? ). Мы пришли к противоречию.
p
?
Тем самым мы доказали существование цен p , при которых избыточный спрос равен ну-
лю.

Данное доказательство можно проиллюстри-
ровать графически (см. Рис. 5.11). На рисун-
ке B — неподвижная точка отображения g(·).
E1 (p1 ,1?p1 )
Данное отображение определено на симплексе
AC , и отображает точки отрезка AB , за исклю-
чением точки B , в точку C , точки отрезка BC ,
за исключением точки B , — в точку A, а точку
B — во весь симплекс (отрезок AC ).

<< Предыдущая

стр. 46
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>