<< Предыдущая

стр. 47
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

p1
p1
? 1
Опираясь на доказанную Теорему 70, мож-
но показать, что в моделях обмена при непре-
рывности, строгой выпуклости и строгой моно-
тонности предпочтений потребителей равнове-
p2
сие существует, если совокупные начальные за-
A
1 пасы строго положительны, т. е. ? ? > 0. Это
утверждение очевидно в силу того, что функция
избыточного спроса в модели обмена при дан-
B
ных условиях на предпочтения потребителей яв-
ляется непрерывной, положительно однородной
нулевой степени и удовлетворяет закону Вальра-
l?1
са на S+ . Ограниченность избыточного спроса
C p1
снизу следует из того факта, что спрос потре-
1 бителей неотрицателен (в качестве константы t
можно взять t = ? maxk ??k ).
Рис. 5.11. Иллюстрация доказательства Для того, чтобы продемонстрировать выпол-
теоремы существования нение условий Теоремы 70 для случая непре-
рывных, строго выпуклых и строго монотонных
предпочтений, осталось показать выполнение последнего условия теоремы: если хотя бы одна
5.A. Теоремы существования равновесия 205

из цен стремится к нулю, то избыточный спрос хотя бы на одно благо стремится к бесконеч-
ности. Покажем это формально.
В силу того, что p0 ? S l?1 и ? ? > 0, имеем, что p0 ? ? > 0. Таким образом, существует
потребитель i, такой что p0 ? i > 0. Следующее утверждение показывает, что спрос этого
потребителя, по крайней мере, на одно из благ стремится к бесконечности по мере того, как
pn стремиться к p0 , т. е.
max xik (pn ) > ? при n > ?,
k
что и доказывает, что
max Ek (pn ) > ? при n > ?.
k
Теорема 71:
Пусть {pn } ? S l?1 — последовательность цен, причем pn > p0 при n > ?, и суще-
ствует благо k , такое что p0 = 0.
k
Предположим, что:
• Потребитель имеет строго монотонные непрерывные предпочтения.
• Начальные запасы потребителя ? таковы, что p0 ? > 0 14 .
Тогда
max xk (pn ) > ? при n > ?.
k


Доказательство: Предположим противное. Пусть спрос потребителя на все товары, ограничен,
A для всех k ? K . В силу того,
т. е. существует некоторое число A, такое что 0 xk (p)
что бесконечная последовательность на компакте имеет точки сгущения, найдется некоторая
подпоследовательность {pnt } такая, что
x(pnt ) > x.
?
Так как x(pnt ) — оптимальное решение задачи потребителя, а предпочтения строго моно-
тонны, то при ценах pnt выполняется бюджетное равенство, т. е.
pnt x(pnt ) = pnt ?.
Переходя в этом тождестве к пределу, получим, p0 x = p0 ? . Пусть p0 = 0. Тогда в силу
? k
строгой монотонности предпочтений x + ?ek
? ?
x , где ? — некоторое строго положительное
число, а ek — орт. В силу того, что предпочтения потребителей непрерывны, найдется такое
? > 0, что x x , где x = x + ?ek ? ?es , а s — номер товара, для которого p0 > 0. Очевидно
?? ?? s
также, что
p0 x = p0 x + ?p0 ? ?p0 = p0 x ? ?p0 < p0 x.
? ? ? ?
k s s
?
В силу непрерывности отношения предпочтения имеем, что существует N , такое что x
x(pnt ) для каждого t > N .
Так как pnt > p0 и x(pnt ) > x , то
?
lim pnt (x(pnt ) ? x) = p0 (? ? x) > 0.
? x?
Из определения предела следует, что найдется число M , такое что для каждого t большего
M справедливо, что pnt (x(pnt ) ? x) > 0, т. е.
?
pnt x(pnt ) > pnt x.
?
Таким образом, мы получили, что при t > max{M, N } набор x строго лучше набора
?
x(pnt ) и при этом стоит дешевле. Тем самым мы получили противоречие с оптимальностью
набора x(pnt ). Таким образом, не существует A такого, что 0 xk (p) A для всех k , т. е.
maxk xk (pn ) > ? при n > ?.
14
Индекс потребителя для упрощения не вводим.
5.A. Теоремы существования равновесия 206

Резюмируя проделанные выше рассуждения, сформулируем утверждение о существовании
равновесия в экономике обмена при более слабых, чем ранее, предположениях.
Теорема 72:
Рассмотрим экономику обмена и предположим, что Xi = Rl ?i, предпочтения потре-
+
бителей локально ненасыщаемы, непрерывны, строго выпуклы и монотонны, а совокупные
начальные запасы положительны (? ? > 0). Тогда в этой экономике существует равновесие,
такое что p ? Rl .
? ++


5.A.2 Существование равновесия в экономике Эрроу—Дебре
??
Ниже будет предложено утверждение (о существовании квазиравновесия), на основе кото-
рого могут быть установлены различные условия существования равновесия (доказаны теоре-
мы о существовании равновесия) в модели Эрроу — Дебре.
Предваряя это утверждение, сформулируем вспомогательную задачу, решение которой при
определенных условиях совпадает с решением обычной задачи потребителя. Вместе с тем ре-
шения этой задачи ведут себя «достаточно хорошо» при изменении ее параметров (отображе-
ние, которое ставит в соответствие вектору цен множество решений данной задачи является
полунепрерывным сверху), чем мы и воспользуемся при доказательстве существования квази-
равновесия и равновесия.
Модифицированная задача потребителя:
?
Найти xi , такой что
• p? i
x ?i ,
(C ? )
• xi не хуже, чем любой другой набор xi ? Xi ,
?
который стоит в ценах p дешевле, чем ?i .

Нижеследующее утверждение устанавливает свойства решений данной задачи. Это, в част-
ности, характеристика условий, при которых решение модифицированной задачи потребителя
(C ? ), является самым дешевым из тех, которые не хуже для этого потребителя, чем xi . В свою
?
очередь, такая задача минимизации потребительских расходов является взаимной к обычной
задаче потребителя, и при определенных условиях эти задачи, фактически, являются экви-
валентными (см. Теорему ?? в главе ??). В данном утверждении, таким образом, приведены
условия, при которых решение задачи (C ? ) является решением обычной задачи потребителя.
Теорема 73:
?
Предположим, что предпочтения потребителя локально ненасыщаемы, и xi является
решением задачи (C ? ) при ценах p и доходе ?i .
(1) Тогда любой набор xi ? Xi , который не хуже xi , стоит не дешевле ?i (pxi ?i ).
?
?
(2) Потребительский набор xi удовлетворяет соотношению p? i = ?i и минимизирует
x
?
затраты на достижение уровня благосостояния, определяемого вектором xi , при ценах p,
т. е. решает следующую задачу:
pxi > min
?
xi xi .
i


Доказательство: (1) Пусть xi — решение задачи (C ? ). Пусть существует допустимый набор
?
?
xi , который стоит меньше ?i (pxi < ?i ), и который не хуже xi . Тогда найдется окрестность
набора xi , все наборы в которой которой стоят дешевле ?i . В этой окрестности существует
?
потребительский набор, который лучше xi , а значит и лучше, чем xi , в противоречие тому,
? ).
?
что xi — решение задачи (C
Пункт (2) является очевидным следствием пункта (1).
5.A. Теоремы существования равновесия 207
Теорема 74:
Предположим, что xi является решением задачи (C ? ) при ценах p и доходе ?i , множе-
?
ство Xi выпукло, предпочтения потребителя непрерывны, и существует xi ? Xi : pxi < ?i .
Тогда xi является решением задачи потребителя15 .
?

Доказательство: Утверждение доказывается аналогично пункту (2) теоремы взаимности (см.
Теорему ?? главы ??).

Введем сначала следующее вспомогательное понятие.
Определение 52:
Набор (? , x, y) называется квазиравновесием экономики Эрроу — Дебре, если выполняются
p??
следующие условия:

? Для каждого потребителя xi удовлетворяет условиям задачи (C ? ) при ценах p и доходах
? ?
? ??
?i = p? i + j?J ?ij pyj .

? yj является решением задачи j -го производителя при ценах p .
? ?

? Выполнены балансы по каждому благу:

?ik ?k.
xik =
? yjk +
?
i?I j?J i?I


Заметим, что на приобретение потребительского набора, соответствующего квазиравнове-
сию, каждый потребитель тратит весь свой бюджет, т. е. бюджетное ограничение выполняется
как равенство. Действительно, если хотя бы одно неравенство строгое, то совокупное потребле-
ние стоит дешевле совокупного бюджета, а это противоречит допустимости квазиравновесия.
Понятие квазиравновесия отличается от понятия равновесия только формулировкой за-
дачи потребителя. Полунепрерывность спроса для задачи (C ? ) имеет место при более общих
условиях, чем для обычной задачи потребителя. Соответственно, условия существования ква-
зиравновесия оказываются достаточно общими (см. приведенную ниже Теорему 75). Выпол-
нение же условий совпадения квазиравновесия и равновесия для многих моделей общего рав-
новесия проверяется достаточно просто. Поэтому представляется удобным разделить условия
существования равновесия на условия существования квазиравновесия и условия совпадения
квазиравновесия и равновесия. Это позволяет установить на основе одной Теоремы 75 серию
теорем существования равновесия. С технической точки зрения преимущество такого двух-
этапного подхода заключается в том, что в его рамках условия совпадения решения задачи
(C ? ) и обычной задачи потребителя требуется обеспечить и проверить только в найденной
точке квазиравновесия, а не при всех возможных параметрах задачи потребителя, а это, как
правило, существенно проще. С содержательной точки зрения такой подход удачен тем, что
не требует чрезмерно «смелых» предположений о предпочтениях потребителей и множествах
допустимых потребительских наборов.
Теорема 75:
Предположим, что:
? Для каждого производителя j ? J технологическое множество Yj выпукло, замкнуто,
и содержит нулевой вектор (допустимость бездеятельности).

? Для каждого потребителя i ? I предпочтения i локально ненасыщаемы, выпуклы и
непрерывны, Xi — выпуклое замкнутое множество16 , Xi ? Rl , ? i ? Xi .
+
15
Такой xi ? Xi существует, например, при условии, что xi ? int Xi и p = 0 .
?
16
Рассуждения остаются по существу теми же, если взять в качестве Xi произвольные выпуклые замкнутые,
ограниченные снизу множества.
5.A. Теоремы существования равновесия 208

? Пересечение множества производственных возможностей экономики и множества допу-
стимых совокупных потребительских наборов,

Yj + ? ? ?
Z= Xi ,
j?J i?I

ограничено.

p?? ?
Тогда в этой экономике существует квазиравновесие (? , x, y), такое что p = 0.

Доказательство: Прежде, чем приступить к собственно доказательству теоремы, рассмотрим
следствия предположения о множестве Z . Поскольку Xi ? Rl , то множество Z не содержит
+
векторов с отрицательными элементами. Ограниченность множества Z означает, что найдется
такое число N , что если z ? Z , то 0 zk N для всех благ k ? K .
Пусть (x, y) — произвольное допустимое состояние рассматриваемой экономики. Посколь-
ку все потребительские наборы xi допустимы, то они не содержат отрицательных элементов
и, следовательно, их сумма тоже неотрицательна: i?I xi 0. Очевидно, что

yj ? Z.
xi = ? ? +
i?I j?J

Отсюда следует, что суммарное потребление по каждому благу k ? K должно удовлетворять
ограничениям 0 i?I xik N , и что такому же ограничению удовлетворяют наборы всех
потребителей: 0 xik N .
Заметим, что поскольку технологические множества содержат нулевые векторы, то ? ? +
?
j?J yj ? Z , где J — произвольное подмножество множества предприятий J . В частности,
?
? ? ? Z и ? ? + yj ? Z для любого предприятия j . Отсюда следует, что для любого блага
k ? K выполнены неравенства

0 ??k Nи0 ??k + yjk N.

<< Предыдущая

стр. 47
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>