<< Предыдущая

стр. 48
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Комбинируя эти неравенства, получим оценку |yjk | N . Кроме того, поскольку ? i ? Xi , и,
следовательно, начальные запасы неотрицательны, то для каждого потребителя выполнено
0 ?ik N .
Подобно рассмотренным ранее доказательствам существования, мы будем искать квазирав-
новесие как неподвижную точку некоторого специальным образом сконструированного отоб-
ражения из выпуклого, компактного, непустого множества ? = ?m Xi ??n Yj ? P в себя.
? ?
i=1 j=1
Здесь

? ?
Xi = { xi ? Xi xik N + ? ?k ? K } , yj ? Yj |yjk | N + ? ?k ? K
Yj = ,
2
P= p 0 p 1,

где ? — произвольное положительное число. Типичный элемент множества ? будем обозна-
чать через ? , где ? = {xi }i?I , {yj }j?J , p .
Покажем, что каждое из этих множеств выпукло, непусто, замкнуто и ограничено, а зна-
чит, их произведение ? тоже выпукло, непусто, замкнуто и ограничено. Замкнутость и выпук-
?
лость модифицированных множеств допустимых потребительских наборов Xi и технологиче-
?
ских множеств Yj следует из того, что они являются пересечениями выпуклых замкнутых
?
множеств. Множество Xi непусто, поскольку содержит по крайней мере начальные запасы ? i
?
(? i ? Xi и ?ik N ). Кроме того, 0 ? Yj , т. е. эти множества тоже непусты. Замкнутость,
выпуклость и непустота множества цен P очевидна.
5.A. Теоремы существования равновесия 209

Рассмотрим отображение ?(·): ? > ? следующего вида:

?? ??
? ? ?p (?),
?(?) = xi (?) yj (?)
i?I j?J

где отдельные компоненты определяются следующим образом:
? ?
xi ? Xi pxi xi ?xi ? Xi : pxi < ?i (p, y) ,
?xi (?) = ?i (p, y), xi

2,
?ij pyj } + 1 ? p
где ?i (p, y) = p? i + max{0, j?J

?yj (?) = argmax pyj ,
?
yj ?Yj


xi ? ? ? ?
?p (?) = argmax p yj .
p ?P i?I j?J

Поясним смысл компонент отображения ?(·).
Отображение ?xi (?) сопоставляет каждому вектору цен и состоянию экономики решение
?
задачи (C ? ) с Xi = Xi и ?i = ?i (p, y). Заметим, что используемое здесь определение дохо-
да потребителя ?i (p, y) гарантирует непустоту модифицированного бюджетного множества
?
{ xi ? Xi | pxi ?i (p, y) } при любых производственных планах y и ценах p ? P . Бюджетное
множество изменено по двум направлениям. Во-первых, в него включаются только потре-
?
бительские наборы из модифицированного множества потребительских наборов Xi (которое
является замкнутым и ограниченным). Во-вторых, если доходы от прибыли предприятий от-
рицательны, то потребитель не несет соответствующие убытки. В-третьих, к доходам потре-
бителя добавляется «субсидия» 1 ? p 2 (обеспечивающая, в частности, при p = 0 наличие
в потребительском множестве наборов, которые стоят меньше, чем доходы потребителя).
Отображение ?yj (?) сопоставляет вектору цен решение задачи производителя на моди-
?
фицированном («усеченном») технологическом множестве Yj . Отображение ?p (?) ставит в
соответствие вектору избыточного спроса такие векторы цен из множества P , при которых
этот избыточный спрос имеет максимальную стоимость.
? x??
Докажем, что если ? = (? , y, p) — неподвижная точка отображения ?(·), т. е.
? ?
? ? ?(?),

то она является квазиравновесием рассматриваемой экономики. Для этого, в соответствии с
определением квазиравновесия, требуется показать, что
x?
(1) (? , y) — допустимое состояние экономики,
(2) xi — решение задачи потребителя (C ? ) для каждого i ? I ,
?
(3) yj — решение задачи потребителя для каждого j ? J .
?
Докажем, что в данном состоянии выполнены балансы. Другими словами, докажем, что
равен нулю избыточный спрос e = i?I xi ? ? ? ? j?J yi . Пусть это не так, т. е. e = 0.
? ? ? ?
?
Поскольку выполнено p ? ?p (?), то p является решением следующей задачи:
? ?

p? >
e max .
2
p: p 1

?
Как мы предположили, e = 0, поэтому, как несложно проверить, решение данной задачи
единственно и имеет вид p = e/ e , причем p 2 = 1. Соответствующий максимум равен
? ?? ?
2 / e = e . Так как e = 0, то pe > 0.
?? ? ? ? ? ??
pe = e
? ?
Поскольку каждый производственный план yj максимизирует прибыль при ценах p и
?
?
0 ? Yj , то pyj 0. Таким образом, доход потребителя в точке ? имеет обычный вид: ?i (? , y) =
?? p?
? ??
p? i + j?J ?ij pyj .
5.A. Теоремы существования равновесия 210
?
Складывая бюджетные неравенства, соответствующие точке ? , по всем потребителям, по-
лучим, что для экономики в целом выполнено соотношение:

? ? p? ? ? ?
p xi ?i (? , y) = p? ? + p yj ,
i?I i?I j?J

?? ??
т. е. pe 0. С другой стороны, как мы видели, pe > 0. Получили противоречие. Таким
?
образом мы доказали, что e = 0, т. е. рассматриваемое состояние сбалансировано.
По определению отображения все потребительские наборы и векторы чистого выпуска в
? допустимы. Таким образом, ? соответствует допустимому состоянию экономики. Чтобы
?
?
? ? ?
доказать, что ? является квазиравновесием, нам остается показать, что xi и yi являются
?
решениями соответствующих задач потребителя и производителя при ценах p .
Дополнительные количественные ограничения в условиях, определяющих отображения
?
?xi (·) и ?yj (·), выполнены как строгие неравенства, поскольку ? соответствует допустимо-
му состоянию экономики:

|?jk |
xik
? N < N + ?, y N < N + ?.

Нам требуется показать, что эти ограничения несущественны в том смысле, что если их убрать,
то решения соответствующих задач потребителя и производителя не изменятся17 .
Предположим, что для потребителя i это не так, и, следовательно, существует такой набор
xi ? Xi , что pxi < ?i (? , y) и xi i xi . Поскольку xik < N + ?, то на отрезке, соединяющем
? p? ? ?
? ?
xi и xi , найдется набор xi (достаточно близкий к xi ), такой что xik N + ?. Для этого
? p? ?
набора, с одной стороны, pxi < ?i (? y), а с другой стороны, xi i xi (поскольку предпочтения
?
выпуклы), а это согласно Теореме 73 противоречит тому, что xi ? ?xi (?).
?
? ?
Похожим образом доказывается, что yj при ценах p максимизирует прибыль на всем
множестве Yj . Если это не так, то найдется вектор yj ? Yj , который дает более высокую
прибыль. Поскольку |yjk | < N + ?, то на отрезке между yj и yj найдется yj , для которого
?
|yjk | < N + ?, и который дает более высокую прибыль, чем yj , а этого не может быть по
?
?
определению множества ?yj (?).
Покажем теперь, что p 2 = 1. Бюджетные ограничения потребителей должны выполнять-
?
ся как равенства, поскольку предпочтения локально ненасыщаемы (см. Теорему 73). Сложив
все бюджетные ограничения, получим,

yj + m(1 ? p 2 ).
? ? p? ? ? ? ?
p xi = ?i (? , y) = p? ? + p
i?I i?I j?J

Поскольку, как мы показали, экономика сбалансирована, то отсюда следует, что 1 ? p 2 = 0.
?
? ?
Таким образом, ? действительно является квазиравновесием, причем p = 0.
Выше мы показали, что ? выпукло, непусто, замкнуто и ограничено. Для того, чтобы по-
казать, что рассматриваемая неподвижная точка существует, требуется проверить выполнение
других условий теоремы Какутани: что значение отображения ?(?) при всех ? ? ? непусто
и выпукло, а также, что это отображение полунепрерывно сверху (имеет замкнутый график).
Очевидно, что множества ?yj (?) и ?p (?) непусты, поскольку каждое из них является
множеством решений задачи максимизации непрерывной (линейной) функции на компактном
множестве.
?
Множество { xi ? Xi | pxi ?i (p, y) } содержит ? i и является компактным. Задача на-
хождения наилучшего набора на этом множестве имеет хотя бы одно решение, поскольку
предпочтения потребителя предполагаются непрерывными (следовательно, их можно предста-
вить непрерывной функцией полезности). Любое такое решение принадлежит и множеству
17
Следует понимать, что тот факт, что ограничение выполняется как строгое неравенство, не означает авто-
матически, что при отказе от ограничения решение не поменяется!
5.A. Теоремы существования равновесия 211
?
?xi (?). Действительно, пусть xi — такое решение, т. е. xi не хуже любого набора xi ? Xi ,
? ?
?
?i (p, y). Очевидно, что xi также не хуже любого набора xi ? Xi , такого
?
такого что pxi
что pxi < ?i (p, y), а это и означает по определению, что xi ? ?xi (?). Отсюда следует, что
?
множество ?xi (?) непусто.
Множество решений задачи максимизации вогнутой функции на выпуклом множестве
представляет собой выпуклое множество, поэтому множества ?yj (?) и ?p (?) выпуклы.
Докажем выпуклость множества ?xi (?). Пусть xi и xi — два различных набора, при-
надлежащие этому множеству. Рассмотрим их выпуклую комбинацию x? = ?xi + (1 ? ?)xi
(? ? (0, 1)). Покажем, что x? тоже принадлежит ?xi (?). Поскольку модифицированное бюд-
жетное множество выпукло, то x? ему принадлежит. Нужно показать, что x? не хуже любого
набора из модифицированного бюджетного множества, который стоит дешевле ?i (p, y). Пусть
?
это не так, и существует набор xi ? Xi , такой что p? i < ?i (p, y), который лучше x? . По опре-
? x
?
делению ?xi (?) наборы xi и xi должны быть не хуже xi . Следовательно, оба они лучше своей
выпуклой комбинации x? . Но это невозможно, поскольку по условию теоремы предпочтения
потребителя выпуклы.
Для доказательства теоремы осталось проверить, что построенное отображение множества
?
? в себя имеет замкнутый график. Предположим, что последовательности {? n } ? ? и {? n } ?
? ?
? с пределами ? 0 и ? 0 соответственно таковы, что ? n ? ?(? n ). Нам требуется показать, что
?
? 0 ? ?(? 0 ).
Покажем, что x0 ? ?xi (? 0 ). Поскольку xn ? ?xi (? n ), то pn xn ?(pn , yn ). С учетом то-
?i ?i ?i
го, что ?(·) является непрерывной функцией, в этих неравенствах можно перейти к пределу:
? ?
p0 x0 ?(p0 , y0 ). Так как множество Xi замкнуто, то x0 лежит в Xi как предел последо-
?i ?i
? ?
вательности, целиком принадлежащей Xi . Пусть xi ? Xi — набор, такой что он лучше x0 . ?i
Покажем, что он не может стоить меньше ?i (p, y). Действительно, поскольку предпочтения
непрерывны, то найдется номер M , такой что xi xn при n > M . При этом при по определе-
?i
0
нию множеств ?xi (? ) при n > M должно выполняться pn xi ?(pn , yn ). Переходя к пределу,
?
получим p0 xi ?(p0 , y0 ). Тем самым, мы доказали полунепрерывность сверху отображения
?
?xi (·).
Доказательство полунепрерывности сверху отображений ?yj (·) и ?p (·) не представляет
особой сложности. Оно аналогично соответствующей части доказательства Теоремы 70 (и яв-
ляется следствием теоремы Бержа; см. Теорему 187 в Математическом приложении).

Как анонсировалось выше, на основе Теоремы 75 (с учетом Теорем 73 и 74) можно до-
казать несколько различных вариантов теорем существования вальрасовского равновесия в
модели Эрроу — Дебре при дополнительных предположениях, гарантирующих, что найденное
квазиравновесие является равновесием.
Теорема 76:
Пусть выполнены условия Теоремы 75, и ? i ? int Xi для всех i ? I 18 .
p??
(1) В рассматриваемой экономике существует равновесие по Вальрасу (? , x, y), такое
?
что p = 0.
(2) Если предпочтения хотя бы одного из потребителей (i ) монотонны, и выполне-
но Xi + Rl ? Xi , то в рассматриваемой экономике существует равновесие по Вальрасу
+
p?? ?
(? , x, y), такое что p = 0.
?
Доказательство: (1) Пусть ? = (? , x, y) — квазиравновесие в экономике Эрроу — Дебре, в
p??
котором не все цены равны нулю (согласно Теореме 75 оно существует). Покажем, что это
квазиравновесие является равновесием. Рассмотрим произвольного потребителя i. Доход дан-
? ? ??
ного потребителя в квазиравновесии имеет вид ?i = p? i + j?J ?ij pyj . Второе слагаемое —

<< Предыдущая

стр. 48
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>