<< Предыдущая

стр. 49
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

доход от прибыли предприятий — неотрицательная величина, поскольку по предположению
18
Например, множества допустимых потребительских наборов имеют вид Xi = Rl , и ? i > 0 .
+
5.2. Задачи к главе 212
?
0 ? Yj . Таким образом, p? i ?i . Набор x? = ? i ? ?? при достаточно малом ? > 0 является
? p
i
?
?
допустимым для потребителя i. Стоимость этого набора в ценах p = 0 меньше ?i , поскольку
?
px? = p? i ? ? p 2 < p? i ?i . Согласно Теореме 74 наличие такого набора x? означает,
?i ? ? ? i
? ) при ценах
?
что набор xi , являющийся решением модифицированной задачи потребителя (C
?
?
p и доходе ?i , должен быть также решением соответствующей обычной задачи потребителя.
p??
Таким образом, (? , x, y) является также и вальрасовским равновесием.
(2) Как показано в предыдущем пункте, каждое квазиравновесие является равновесием.
Покажем, что в квазиравновесии все цены неотрицательны. Пусть это не так и pk < 0 для
?
некоторого блага k . Увеличивая количество этого блага у потребителя i , найдем допустимый
?
набор, который не хуже набора xi (по монотонности предпочтений) и стоит меньше его. Это,
согласно Теореме 73, противоречит тому, что xi — решение задачи (C ? ).
?

Теорема 77:
Пусть выполнены условия Теоремы 75, для каждого потребителя i ? I множество
допустимых потребительских наборов удовлетворяет условию Xi + Rl ? Xi и содержит
+
некоторый набор xi , такой что xi = ? i , предпочтения строго монотонны. Пусть также
i?I ? i > i?I xi . Тогда в рассматриваемой экономике существует равновесие по Вальрасу
p?? ?
(? , x, y), такое что p > 0.

?
Доказательство: Согласно Теореме 75 существует квазиравновесие ? = (? , x, y). По аналогии
p??
?
с предыдущей теоремой доказывается, что в этом квазиравновесии p = 0. Умножая нера-
? ?
венство i?I ? i > i?I xi на цены, получим p i?I ? i > p i?I xi , откуда следует, что хотя
?i . Таким образом, по Теореме 74 xi
? ? ?
бы для одного потребителя i выполнено pxi < p? i ?
является решением задачи этого потребителя.
Покажем, что в квазиравновесии все цены положительны. Пусть это не так и pk = 0 для
?
некоторого блага k . Увеличивая количество этого блага у потребителя i , найдем допустимый
?
набор, который лучше набора xi (по строгой монотонности предпочтений) и стоит столько
? ?
же. Это противоречит тому, что xi — решение задачи потребителя. Таким образом, p > 0.
Для произвольного потребителя, умножая соотношение xi = ? i на положительные це-
?
? ? ?
ны, получим pxi < p? i ?i . Таким образом, по Теореме 74 xi является решением задачи
потребителя.


5.2 Задачи к главе
 339. Покажите, что в экономике обмена с двумя потребителями и двумя благами, если
предпочтения гомотетичны и одинаковы, то граница Парето совпадает с диагональю ящика
Эджворта. Как найти равновесие в такой экономике, используя свойства границы Парето?
 340. В моделях общего равновесия часто рассматривают альтернативную концепцию допу-
стимого состояния экономики, заменяя балансы благ
m m n
yjk , ?k ? K
xik = ?ik +
i=1 i=1 j=1

на полубалансы
m m n
yjk , ?k ? K.
xik ?ik +
i=1 i=1 j=1

Обозначим такую экономику EA .
p??
Равновесием в этом случае называют набор (? , x, y), удовлетворяющий следующим усло-
виям:
5.2. Задачи к главе 213

? цены p неотрицательны;
?
? каждый вектор xi является решением задачи потребителя при ценах p и доходе ?i =
? ?
k?K pk ?ik +
? j?J ?ij ?j ;
? каждый вектор yj является решением задачи производителя при ценах p ;
? ?
? состояние (? , y) является допустимым;
x?
? выполнен закон Вальраса, т. е.
m m n
? ? ? ? ?
p xi = p ?i + p yj .
i=1 i=1 j=1

Рассмотрите экономику с одним дополнительным производителем, технологическое множе-
ство которого имеет вид Yn+1 = ?Rl (технология утилизации благ без издержек), и балансами
+
в виде равенств. Обозначим такую экономику EU . Рассмотрите равновесие в этой экономике
и продемонстрируйте его эквивалентность равновесию в экономике EA , а именно:
(1) Покажите, что в любом равновесии экономики EU цены благ неотрицательны.
(2) Покажите, что если (? , x, y) — равновесие в экономике EA , то (? , x, (? , yn+1 )) — рав-
p?? p? y?
новесие в экономике EU , где
m m n
xi ? ?i ?
? ? ?
yn+1 = yj .
i=1 i=1 j=1

(3) Покажите, что если (? , x, (? , yn+1 )) — равновесие в экономике EU , тогда (? , x, y) —
p? y? p??
равновесие в экономике EA .
 341. Рассмотрим модель обмена с m потребителями. Коалицией называется любое под-
множество множества потребителей. Говорят, что коалиция S блокирует данное состояние
экономики x = (x1 , . . . , xm ), если существует состояние экономики y = (y1 , . . . , ym ), такое
что ys s xs и s?S ys s?S ? s , где ? i — начальные запасы потребителя i, а i — его
предпочтения (другими словами, участники коалиции могут, обмениваясь только друг с дру-
гом, улучшить свое положение, по сравнению с рассматриваемым состоянием x). Наконец,
ядро данной экономики состоит из распределений x, которые не блокируются ни одной из
коалиций.
Предположим, что допустимые потребительские наборы задаются неравенствами xi 0.
(1) Докажите, что если предпочтения потребителей строго монотонны и непрерывны, то
каждое распределение из ядра Парето-оптимально.
(2) Покажите, приведя соответствующий контрпример, что отказ от условия строгой моно-
тонности делает утверждение, вообще говоря, неверным.
(3) Докажите следующий аналог первой теоремы благосостояния: если предпочтения потре-
бителей локально ненасыщаемы, то равновесное распределение принадлежит ядру экономики.
 342. Найдите ядро в экономике обмена с двумя благами и двумя потребителями, предпо-
чтения которых описываются функциями Кобба — Дугласа, а начальные запасы равны (1, a)
и (b, 1) соответственно при разных значениях a, b 0.
 343. Приведите пример экономики обмена, ядро которой. . .
(1) совпадает с границей Парето;
(2) содержит границу Парето как собственное подмножество;
(3) содержит только одно состояние экономики.
 344. Найти в соответствующей модели обмена с двумя потребителями и двумя благами
(и потребительским множеством, удовлетворяющим ограничениям xi 0) и с начальными
запасами ? 1 = (1, 1), ? 2 = (1, 1)
- равновесие,
- границу Парето,
5.2. Задачи к главе 214

- ядро.
Функции полезностей обоих потребителей одинаковы и имеют вид
(A) u(x1 , x2 ) = x?1 x?2 ;
1v 2 v
(B) u(x1 , x2 ) = ?1 x1 + ?2 x2 ;
v
(C) u(x1 , x2 ) = ?1 x1 + ?2 x2 ;
(D) u(x1 , x2 ) = x?1 exp(?2 x2 ).
1
 345. Предположим, что предпочтения потребителей в модели обмена допускают представ-
ление линейными функциями полезности. Какие свойства этих функций гарантируют, что
каждое равновесие этой модели. . .
(1) принадлежит слабой границе Парето;
(2) принадлежит сильной границе Парето.
 346. Покажите, что выпуклость предпочтений потребителей и Парето-эффективность состо-
яния экономики с начальными запасами в качестве потребительских наборов не гарантирует,
что начальное распределение является равновесным. Приведите соответствующий контрпри-
мер.
 347. Покажите, что в экономике обмена прирост начальных запасов потребителя может
привести к падению его полезности в точке равновесия.
Указание. Рассмотрите экономику с двумя товарами и двумя потребителями с одинаковы-
ми предпочтениями, описываемыми следующей квазилинейной функцией полезности
v
u(x) = x1 + x2 ,

рассмотрите сравнительную статику потребителя 1 в зависимости от изменения начальных
запасов ?1 и ?2 .
 348. (1) Предположим, что в экономике обмена с непрерывными, строго выпуклыми и строго
монотонными квазилинейными сепарабельными предпочтениями происходит перераспределе-
ние начальных запасов. Покажите, что если начальные запасы потребителя возрастают, то его
полезность не может упасть.
(2) Рассмотрим передачу ресурсов от первого потребителя ко второму, как и выше, но на
этот раз предпочтения не квазилинейные. Предположите, что передаваемое количество мало и
что изменение (относительное) равновесной цены мало. Покажите, что полезность потребителя
1 может упасть. Проинтерпретируйте с точки зрения соотношения между эффектом замены
и эффектом дохода.
(3) Покажите, что в экономике с двумя товарами и двумя потребителями этот парадокс
может произойти только в случае единственности равновесия. (Подсказка: Покажите, что если
передача начальных запасов потребителя 1 ведет к уменьшению его полезности тогда в перво-
начальной ситуации должно существовать еще одно равновесие с еще более низким уровнем
полезности у потребителя 1.)
 349. Рассмотрим экономику обмена с двумя благами и тремя потребителями, которые имеют
следующие функции полезности и положительные начальные запасы.

u1 (x11 , x12 ) = ex11 x12
v v
u2 (x21 , x22 ) = x21 + x22
u3 (x31 , x32 ) = min{x31 , x32 }
(1) Найдите функции спроса потребителей, опишите их свойства.
(2) Найдите функции избыточного спроса и проверьте, что они являются положительно
однородными нулевой степени и удовлетворяют закону Вальраса.
(3) При каких начальных запасах известные вам утверждения гарантируют существование
равновесия в этой экономике?
5.2. Задачи к главе 215

(4) Вычислите равновесие при следующих начальных запасах:

? 1 = (2, 3), ? 2 = (1, 4), ? 3 = (2, 1)

 350. Пусть в модели обмена предпочтения потребителей и их начальные запасы совпадают.
Гарантирует ли выпуклость предпочтений единственность равновесия (если оно существует)?
Аргументируйте свой ответ, дав доказательство единственности равновесия, либо приведя при-
мер неединственности.
 351. Пусть в модели обмена предпочтения потребителей и их начальные запасы совпадают.
Гарантирует ли строгая выпуклость предпочтений единственность равновесия (если оно су-
ществует)? Аргументируйте свой ответ, дав доказательство единственности равновесия, либо
приведя пример неединственности.
 352. Покажите, что в модели обмена (с m потребителями) с совпадающими и строго выпук-
лыми предпочтениями потребителей, представимыми непрерывно дифференцируемыми функ-
циями полезности, и совпадающими начальными запасами, равновесие, если существует, един-
ственно.
Какими будут при этом равновесные цены и равновесное распределение?
Какие дополнительные предположения относительно модели гарантируют существование
равновесия? Аргументируйте свой ответ.
sssssssssssssssssssssssssssss
Глава

Квазилинейная экономика и
6
частное равновесие
ссылки на литературу??


В этой главе мы рассмотрим теоретическое основание моделей частного равновесия, то есть
таких моделей, в которых рассматривается равновесие на рынке одного товара в предположе-
нии, что цены всех остальных товаров остаются фиксированными.
Как известно, спрос и предложение каждого блага в моделях общего равновесия зависят,
вообще говоря, от цен всех рассматриваемых благ. Такая зависимость не позволяет анализиро-
вать рынки благ по отдельности, поскольку изменения на одном рынке влияют на ситуацию
на других рынках, приводя к сдвигу кривых спроса и предложения на этих рынках. Это, в
свою очередь, приводит к сдвигам кривых спроса и предложения на данном рынке и т. д.
Поэтому частный равновесный анализ оказывается корректным только в ситуациях, когда
указанные зависимости отсутствуют. Это случай так называемых квазилинейных предпочте-
ний. Если предпочтения потребителей квазилинейны, то функция спроса, соответствующая
этим предпочтениям характеризуется отсутствием эффекта дохода. Если к тому же предпо-
чтения и технологии сепарабельны, то рынки оказываются полностью независимыми и при
изменениях на одном из них состояния прочих рынков остаются неизменными. В данной гла-
ве нам предстоит проиллюстрировать сказанное. Таким образом, экономика с квазилинейными
сепарабельными предпочтениями годится для моделирования ситуаций, в которых в первом
приближении можно пренебречь эффектом дохода и взаимозависимостью рынков.
Приведем соответствующие обозначения и определения. Рассмотрим экономику с l + 1
благом, m потребителями и n производителями. Будем обозначать через I = {1, . . . , m} мно-
жество потребителей, а через J = {1, . . . , n} множество производителей.
Предположим, что предпочтения i-го потребителя описываются функцией полезности сле-
дующего вида: ui (xi1 , . . . , xil , zi ) = vi (xi1 , . . . , xil )+zi . Эту функцию полезности принято назы-
вать квазилинейной. Последнее благо будем интерпретировать как деньги1 . В дальнейшем, если
не оговорено противное, будем предполагать, что величина zi может принимать и отрицатель-
ные значения2 . Будем предполагать, что множество физически допустимых потребительских
наборов потребителя i задано ограничениями xik 0.
Каждый потребитель сталкивается с бюджетным ограничением, формируемым его началь-
ными запасами и доходами, получаемыми от владения финансовыми активами. Пусть каждый
потребитель обладает начальными запасами только (l + 1)-го блага. Другими словами, началь-
ный запас потребителя i имеет вид (0, 0, . . . , 0, ?i ), причем ?i 0. Предполагается также, что
потребитель i ? I получает доход от владения активами в виде долей от прибыли фирм. Чис-
ла ?ij 0, i ? I, j ? J задают распределение прав на получение прибыли, т. е. ?ij обозначает
долю потребителя i в прибыли фирмы j .
Производители в модели представлены технологиями вида (y1 , . . . , yl , ?r), где yk 0 для
всех k = 1, . . . , l — объемы выпуска первых l благ, а r 0 — затраты последнего l + 1-го

<< Предыдущая

стр. 49
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>