<< Предыдущая

стр. 5
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

теории поведения потребителя, таким образом, нам необходимо удобное для последующего
анализа описание этих предпочтений. Хотя может быть предложено несколько возможных
описаний, следует иметь в виду, что каждое из них является лишь способом представления
одного и того же объекта — предпочтений (вкусов, оценок) данного потребителя. Проверка
того, насколько такое описание адекватно, является целью эмпирического анализа. Теория,
постулируя те или иные свойства таких описаний, должна приводить к верифицируемым (хо-
тя бы потенциально) прогнозам относительно поведения. Эмпирическая оценка этих гипотез
на их соответствие реально наблюдаемому поведению позволяет, в свою очередь, установить,
насколько такое описание адекватно, что и является целью эмпирического анализа. Для нас
важно только то, что конструкция, с помощью которой моделируются предпочтения, мыслима
и непротиворечива.
Заметим, что определить нестрогое отношение предпочтения можно и следующим альтер-
нативным способом, который представляется не менее естественным:

y ? (x y или x ? y).
x

В случае неоклассических предпочтений такое альтернативное определение приводит к то-
му же отношению (как показывает приведенное ниже утверждение) При отказе от предпо-
ложения, что предпочтения являются неоклассическими, мы получаем два альтернативных
описания одного и того же предпочтения (и, соответственно, различные теории поведения,
построенные на основе таких описаний).
Укажем теперь другие свойства неоклассических предпочтений, которые не отражены в
Определении 3.
Теорема 4:
, , ? — неоклассические предпочтения на X . Тогда они обладают следую-
Пусть
щими свойствами:

транзитивно (если x лучше y , и y лучше z, то x
(1) Строгое отношение предпочтения
лучше z) и иррефлексивно (набор не может быть лучше самого себя).

(2) Нестрогое отношение предпочтения рефлексивно (любой набор не хуже самого себя)
и отрицательно транзитивно.

(3) Для любых x, y ? X выполняется ровно одно из следующих трех соотношений:

x, или x ? y.
x y, или y

(4) Для x, y ? X соотношение x y выполняется тогда и только тогда, когда x y или
x ? y.

(5) Для x, y ? X соотношение x y выполняется тогда и только тогда, когда x y , но
y x неверно.
2.3. Неоклассические предпочтения 22

(6) Для x, y, z ? X выполнено
(x y и y ? z) ? x z;
(a)
(x ? y и y z) ? x z;
(b)
(x y и y ? z) ? x z;
(c)
(x ? y и y z) ? x z;
(d)
(x y и y z) ? x z;
(e)
(x y и y z) ? x z.
(f)

Доказательство: Докажем только некоторые из перечисленных свойств. Остальные свойства
оставляются читателю в качестве упражнения.
(1) Покажем транзитивность . Предположим противное. Пусть существуют x, y, z ? X
такие, что x y , y z, но при этом (x z). Из асимметричности отношения из y z
следует (z y ). Из (x z) и (z y ) по свойству отрицательной транзитивности следует,
что (x y ). Противоречие.
Иррефлексивность следует из асимметричности.
следует, что соотношения x y и y x не могут выполняться
(3) Из асимметричности
одновременно. Свойство (P2) означает, что как x y , так и y x одновременно могут быть
неверными если и только если x ? y . Сопоставляя эти факты, убеждаемся в истинности
доказываемого.
(4) Из доказанного в пункте (3) следует, что x y или x ? y выполнены тогда и только
тогда, когда не выполнено (y x). Но согласно (P1) (y x) эквивалентно x y .
(6а) Пусть x y и y ? z. Согласно (P2) из y ? z следует, что (z y ). Предположим
противное, т. е. что (x z). Тогда из (x z) и (z y ) по свойству отрицательной тран-
зитивности строгого отношения предпочтения имеем (x y ). Пришли к противоречию.

Как уже упоминалось, еще один способ моделирования предпочтений основан на «карте
кривых безразличия». Он эквивалентен моделированию с помощью неоклассических предпо-
чтений, если «карта кривых безразличия» связана с элементарными бинарными отношениями
соответствующим образом.
Определение 4:
Для данного набора x ? X
• множеством безразличия14 будем называть множество наборов, эквивалентных x:

I(x) = { y ? X y ? x } ;


• верхним лебеговским множеством будем называть множество наборов, которые не хуже
x:
L+ (x) = { y ? X y x } ;

• нижним лебеговским множеством будем называть множество наборов, которые не лучше
x:
L? (x) = { y ? X x y } .

Эти объекты обладают очевидными свойствами:
Теорема 5:
Пусть I(·) и L+ (·) заданы на основе неоклассических предпочтений. Тогда для них
верно следующее:
14
Надеемся, что читатель узнал в этом объекте кривую безразличия, известную ему из вводного курса мик-
роэкономики.
2.3. Неоклассические предпочтения 23

(i) Если I(x), I(y) — два любые множества безразличия, то они либо не имеют общих
точек, либо совпадают.
(ii) Если L+ (x), L+ (y) — два любые верхние лебеговские множества, то либо L+ (x) ?
L+ (y), либо L+ (y) ? L+ (x).
Если отображение L+ (·) ставит в соответствие каждому набору из X некоторое подмноже-
ство X , и обладает свойством, указанным во втором пункте данной теореме, то на его основе
несложно построить неоклассические предпочтения по следующему правилу: x y тогда и
+ (y), задав отношения
только тогда, когда x ? L и ? в соответствии с (P1) и (P3) (т. е.
y , если y ? L+ (x) и x ? y , если x ? L+ (y) и y ? L+ (x)). Такие предпочтения будут
x /
неоклассическими, поскольку отношение будет полным и транзитивным.
Альтернативно, можно рассматривать в качестве исходного строгое отношение предпочте-
ния, заданное на множествах безразличия (обозначим его через ? ). Разные множества без-
различия не пересекаются и в совокупности составляют множество X . При этом любые два
множества безразличия, I и I , либо находятся в отношении I ? I , либо находятся в отно-
шении I ? I , либо совпадают. Тогда строгое отношение предпочтения на X можно задать
следующим образом: x x тогда и только тогда, когда I ? I , где x ? I , x ? I .
В целом можно сказать, что подход, основанный на «карте кривых безразличия», является
лишь другим изложением обычного неоклассического подхода15 .
Как говорилось выше, для описания выбора индивидуума в теории выбора вводятся по-
нятия ситуации выбора и правила выбора, определенного на множестве ситуаций выбора. Си-
туация выбора — это некоторое непустое подмножество множества допустимых (физически)
альтернатив X , с которым индивидуум сталкивается и из которого он может выбирать.
Определение 5:
Пусть A — множество ситуаций выбора (A ? 2X ). Правило выбора (функция выбора) C(·)
ставит в соответствие каждой ситуации выбора A из A (A = ?) множество C(A) выбранных
альтернатив, каждая из которых является элементом A, т. е. C(A) ? A.
Для потребителя, имеющего неоклассические предпочтения, соответствующее правило вы-
бора C(A) естественно определить следующим образом:
Определение 6:
, , ? следующими
Правило выбора задается на основе неоклассических предпочтений
эквивалентными способами:
1. C(A) = C (A) = { x ?y ? A x y }.
2. C(A) = C (A) = { x y?A: y x }.
Другими словами, если из A выбрана альтернатива x, то никакая другая альтернатива y
из A не может быть лучше x. Т. е.
x ? C(A) и y ? A ? x y.
или
x ? C(A) и y x ? y ? A.
/
Отношения , ? в некотором смысле можно рассматривать как правила выбора, заданные
на парах альтернатив. Подразумевается, что если x y , то соответствующее правило выбора
имеет вид C({x, y}) = {x}, а если x ? y , то правило выбора имеет вид C({x, y}){x, = y}. Нео-
классическая теория выбора распространяет это правило выбора на другие ситуации выбора,
позволяя тем самым предсказывать выбор в очень многих ситуациях.
15
Исторически такой подход, пионером которого был Вильфредо Парето, был как раз первым ординалист-
ским подходом к моделированию предпочтений (см. сноску 17).
2.4. Представление предпочтений функцией полезности 24

2.3.1 Задачи
 13. Какое наименьшее число вопросов требуется задать индивидууму с неоклассическими
предпочтениями, чтобы выявить его предпочтения на потребительских наборах, состоящих из
5 благ, каждое из которых может потребляться в количестве 0 или 1?
 14. Пусть некто предложил в качестве аксиом строгого отношения предпочтения постули-
ровать асимметричность и транзитивность. Какие проблемы на этом пути Вы видите?
 15. Пусть — нестрогое отношение предпочтения (полное и транзитивное бинарное отно-
шение), заданное на X , а (x y ? (x y) и (y x)) и ? (x ? y ? (x y) и (y x)) —
строгое отношение предпочтения и отношение эквивалентности, построенные на его основе.
и ??
Каким свойствам будут удовлетворять отношения
 16. Пусть X = R+ , x y ? x > y , x y ? x y и x ? y ? x = y . Покажите, что тройка
, , ? представляет собой неоклассические предпочтения.
бинарных отношений
Объясните, почему в многомерном случае (X = Rn при n 2) нельзя ввести неокласси-
+
ческие предпочтения аналогичным образом.
 17. (Продолжение) Покажите, что для любых x, y ? X выполняется ровно одно из трех
соотношений: x y, y x, x ? y .
 18. (Продолжение) Докажите, что для любых x, y, z ? X таких, что x y и y ? z, выпол-
нено x z. Какие еще свойства, аналогичные этому, выполнены для данных предпочтений?
 19. (Продолжение) Докажите что при полноте отношения определение строгого отноше-
ния предпочтения эквивалентно x y ? (y x).
 20. Докажите недоказанные в основном тексте пункты Теоремы 4.
, , ? — неоклассические предпочтения. Рассмотрим семейство множеств
 21. Пусть
(кривых) безразличия, построенных на основании ?. Как на основании порядка, задаваемо-
го неоклассическими предпочтениями, корректно и непротиворечиво ввести порядок на этом
семействе? Какими свойствами он обладает?
 22. Докажите Теорему 5.
 23. Изложите формально подход, основанный на «карте кривых безразличия», и продемон-
стрируйте его связь с неоклассическими предпочтениями.
 24. Покажите, что если нестрогое и строгое отношения предпочтения связаны соотношением

y ? (x
x y, но не y x),

то построенные на их основе правила выбора (см. Определение 6) совпадут, то есть

C (A) = C (A) ?A ? A.




2.4 Представление предпочтений функцией полезности
В этом параграфе мы рассмотрим условия, при выполнении которых можно получить чис-
ловой индикатор полезности — функцию полезности16 — с некоторыми наперед заданными
16

Понятие полезности (пользы) появилось впервые в работах английского философа Иеремии Бентама
(1748-1832): «. . . стремиться к удовольствию и избегать страдания составляет его (человека) единственную
задачу. . . Польза есть понятие отвлеченное. Оно выражает свойство или способность какого-нибудь предмета
предохранить от какого-нибудь зла или доставить какое-нибудь благо.» (Цит. по Юм Д. Опыты.
2.4. Представление предпочтений функцией полезности 25

свойствами. Под функцией полезности потребителя традиционно понимается некоторая веще-
ственнозначная функция, упорядочивающая альтернативы из множества допустимых альтер-
натив X таким же образом, как и предпочтения17 . Функция полезности является удобным
инструментом анализа выбора потребителя, особенно в приложениях теории. Например, с по-
мощью нее удобно изучать вопросы сравнительной статики — как изменяется потребительский
выбор при изменении параметров модели.
Определение 7:
Будем говорить, что функция u(·) : X > R является функцией полезности, соответству-
, , ? (другими словами, представляющей эти предпочтения), если
ющей предпочтениям
для всякой пары потребительских наборов x, y ? X соотношение x y выполнено тогда и
только тогда, когда u(x) u(y).

Замечание: Следует понимать, что если некоторые предпочтения могут быть представлены
функцией полезности u(·), то данные предпочтения могут быть представлены также и суперпо-
зицией f (u(·)), где f (·) — некоторая возрастающая функция (см. задачу 30). Т. е. при наличии
хотя бы одной функции, представляющей предпочтения потребителя, мы автоматически име-
ем бесконечное множество функций полезности, таким же точно образом упорядочивающих
потребительские наборы, и, соответственно, эквивалентных с точки зрения описания потре-
бительских предпочтений. Некоторые из этого бесконечного множества функций полезности
могут быть более удобными для анализа, чем другие, например, обладать такими свойства-
ми как непрерывность, дифференцируемость, вогнутость, квазилинейность, сепарабельность
и т. п. (см. далее).

В связи с приведенным определением естественно возникает вопрос о том, какие свой-
ства предпочтений (и множества альтернатив, на которых заданы предпочтения) гарантиру-
ют существование функции полезности, представляющей эти предпочтения. Вначале приведем
утверждение, которое дает нам необходимое условие существования функции полезности.
Заметим, прежде всего, что Определение 7 намеренно сформулировано таким образом,
чтобы учесть возможность того, что предпочтения не являются неоклассическими. Для са-
мых «ходовых» случаев неполной рациональности (см. параграф 2.B) предпочтения можно
описать, если задать нестрогое отношение предпочтения. При этом оно определяется как
"Бентам И. Принципы законодательства. О влиянии условий времени и места на законодательство. Руковод-
ство по политической экономии. М., 1895."
Бентам И. Принципы законодательства // Антология мировой политической мысли: в 5 т. TI – М., 1997
Бентам И. Введение в основания нравственности и законодательства. - М.: РОССПЭН, 1998. - 415 с. - (Ис-
тория полит. мысли).
И. Бентам Принципы законодательства. — О влиянии условий, времени и места на законодательство. —
Руководство по политической экономии. Вып. 5. М, 1896) ??J. Bentham: An Introduction to the Principles of
Morals and Legislation, London: T. Payne, 1789
17
??Понятие функции полезности эволюционировало вместе с экономической теорией. Так Г. Госсен (см. снос-
ку 4 на с. 66), впервые систематическим образом рассмотревший понятие функции полезности, предполагал,
что она представляет собой сумму полиномов второй степени, причем все перекрестные произведения отсут-
ствуют. Дальнейшее обобщение понятия полезности принадлежит Уильяму Стенли Джевонсу (W. S. Jevons:
The Theory of Political Economy, London: Macmillan, 1871) предложившего в качестве функции полезности
сумму произвольных вогнутых функций одного аргумента. Фрэ??нсис Ис??идро Эджворт (F. Y. Edgeworth:
Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences, London: C. Kegan Paul
& Co., 1881) пошел дальше всех предыдущих авторов и в качестве функции полезности рассмотрел произ-
вольную функцию многих переменных, без ограничения на смешанные производные. Следует отметить, что
все эти авторы мыслили о функции полезности в рамках кардиналистского подхода. В дальнейшем развитие
концепции полезности происходит в рамках ординалистского подхода, начала которого заложены в работах
Вильфредо Парето (V. Pareto: Manuel d’?conomie politique, Paris: V. Giard et E. Bri`re, 1909). Подробнее об
e e
истории развития понятия полезности и теории потребителя см. H. S. Houthakker: The Present State of Con-

<< Предыдущая

стр. 5
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>