<< Предыдущая

стр. 50
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

блага на производства первых l благ. Таким образом, предполагается, что единственным за-

1
Тем самым мы имеем в виду следующую интерпретацию: рассматриваемая нами экономика является малой
частью некоторой большей экономики, в которой эти деньги можно потратить на покупку производящихся там
товаров.
2
Это предположение введено для упрощения анализа. В дальнейшем предлагаются условия, которые гаран-
тируют неотрицательность значений zi в рассматриваемых состояниях равновесия.


216
217

трачиваемым благом в каждом технологическом процессе является (l +1)-ое благо — деньги3 .
В анализе удобно описывать технологии с помощью функции издержек cj (y1 , . . . , yl ) (которая
каждому вектору объемов первых l благ сопоставляет необходимые для производства этих
объемов затраты (l + 1)-го блага). Для того чтобы формально установить связь функции
издержек с технологическим множеством j -го предприятия (Yj ), рассмотрим следующую за-
дачу:
r > min
r

(y1 , . . . , yl , ?r) ? Yj .

Функция cj (y) сопоставляет каждому вектору выпусков y = (y1 , . . . , yl ) значение целевой
функции этой задачи. В предположении замкнутости технологического множества оптималь-
ное решение существует, если существует хотя бы одно допустимое решение. В дальнейшем мы
будем предполагать, что множество значений выпусков y , при которых существует допусти-
мое решение рассматриваемой задачи, совпадает с Rl . Это означает, что функция издержек
+
l , т. е. все неотрицательные выпуски возможны. Заметим,
cj (·) определена на множестве R+
что выпуклость множества Yj гарантирует выпуклость функции cj (·).
Заметим, что функция издержек однозначно описывает технологическое множество в том
случае, если выполнения для y и r неравенств

r cj (y),

y 0,

эквивалентно принадлежности множеству допустимых технологий Yj соответствующего век-
тора (y, ?r). Для этого можно дополнительно потребовать, чтобы технологическое множество
Yj удовлетворяло свойству свободы расходования (можно «выбрасывать» блага), то есть, что-
бы из допустимости технологии (y, ?r) всегда следовала допустимость технологии (y , ?r ),
такой что (y , ?r ) (y, ?r).
Мы будем рассматривать два типа экономик. В одной из них (экономика EQ ) предпола-
гается, что потребитель не сталкивается с ограничением типа zi 0 (может «брать в долг»
+
неограниченную сумму денег). В другой это ограничение принимается (экономика EQ ).
Под допустимым состоянием квазилинейной экономики EQ мы будем понимать такое со-
стояние {(x1 , z1 ), . . . , (xm , zm ), (y1 , r1 ), . . . , (yn , rn )}, что выполнены неравенства:

yjk ?k = 1, . . . , l,
xik
i?I j?J


zi + rj = ?i ,
i?I j?J i?I


cj (yj ) ?j ? J,
rj

0 ?i ? I, yj 0 ?j ? J.
xi
+
Соответственно, под допустимым состоянием квазилинейной экономики EQ мы будем по-
нимать такое состояние {(x1 , z1 ), . . . , (xm , zm ), (y1 , r1 ), . . . , (yn , rn )}, что выполнены все выше-
приведенные условия, и, кроме того, zi 0 ?i ? I .
3
Вообще говоря, мы можем предполагать, что некоторые из первых l благ затрачиваются в производстве,
и для них может выполняться yj < 0 ; это никак не изменит выводов.
6.1. Характеристика Парето-оптимальных состояний 218


6.1 Характеристика Парето-оптимальных состояний в
квазилинейных экономиках
Квазилинейностью предпочтений потребителей объясняется ряд особых свойств рассмат-
риваемой экономики. В частности, анализировать Парето-оптимальные состояния в квазили-
нейной экономике можно с помощью следующей задачи оптимизации:

vi (xi ) ? cj (yj ) > max
x,y
i?I j?J

yjk ?k = 1, . . . , l,
xik (W)
i?I j?J

0 ?i ? I,
xi
0 ?j ? J.
yj

Другими словами, верна следующая теорема, дающая полное описание границы Парето
экономики EQ .
Теорема 78:
Состояние {(? 1 , z1 ), . . . , (? m , zm ), (? 1 , r1 ), . . . , (? n , rn )} является Парето-оптимальным со-
x? x? y? y?
стоянием в квазилинейной экономике EQ тогда и только тогда, когда

?? ?
(? 1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn )
x

является решением задачи (W),
rj = cj (? j )
? y

и
?i ? cj (? j ).
zi =
? y
i?I i?I



Доказательство: (?) Докажем сначала, что если {(? 1 , z1 ), . . . , (? m , zm ), (? 1 , r1 ), . . . , (? n , rn )} —
x? x? y? y?
Парето-оптимальное состояние в квазилинейной экономике EQ , то набор (? 1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn )
?? ?
x
является решением задачи (W).
Напомним, что Парето-оптимальное состояние при любом i0 ? I является решением сле-
дующей задачи условной максимизации:

vi0 (xi0 ) + zi0 > max
vi (? i ) + zi ?i = i0
vi (xi ) + zi x ?
yjk ?k = 1, . . . , l,
xik
i?I j?J

zi + rj ?i ,
i?I j?J i?I

cj (yj ) ?j ? J,
rj
0 ?i ? I, yj 0 ?j ? J.
xi

Как несложно показать, в этой задаче первое, третье и четвертое неравенства можно заме-
нить на равенства, не изменяя множество решений задачи. Выражая из этих равенств zi и rj
и исключая их из оставшихся неравенств, видим, что данная задача сводится к задаче (W).
6.1. Характеристика Парето-оптимальных состояний 219

?? ?
(?) Обратно, пусть (? 1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ) является решением задачи (W). Рассмотрим
x
произвольные zj , удовлетворяющие балансам
?

?i ?
zi =
? rj ,
? (?)
i?I i?I j?J

где rj = cj (? j ) ?j . Легко увидеть, что состояние
? y

?
S = {(? 1 , z1 ), . . . , (? m , zm ), (? 1 , r1 ), . . . , (? n , rn )}
x? x? y? y?

является допустимым состоянием экономики EQ . Докажем, что оно Парето-оптимально. Пусть
это не так, и существует другое допустимое состояние экономики EQ ,
?
S = {(? 1 , z1 ), . . . , (? m , zm ), (? 1 , r1 ), . . . , (? n , rn )},
x? x? y? y?

такое что для всех потребителей (i ? I)

vi (? i ) + zi
x ? vi (? i ) + zi ,
x ?

и существует, по крайней мере, один потребитель i0 , для которого выполнено

vi0 (? i0 ) + zi0 > vi0 (? i0 ) + zi0 .
x ? x ?

Складывая эти неравенства, получаем

vi (? i ) +
x zi >
? vi (? i ) +
x zi .
? (??)
i?I i?I i?I i?I

?
Поскольку S — допустимое состояние, то

zi +
? rj =
? ?i
i?I j?J i?I

и
cj (? j ), j ? J,
rj
? y
откуда
?i ?
zi
? cj (? j ).
y (???)
i?I i?I j?J

Складывая (?), (??) и (???), получаем

vi (? i ) ? vi (? i ) ?
x cj (? j ) >
y x cj (? j ).
y
i?I j?J i?I j?J

?? ?
Поскольку (? 1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ) является допустимым в задаче (W), то это означает, что су-
x
? ?? ?
ществование состояния S противоречит оптимальности (? 1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ) в задаче (W).
x
+
Первая часть доказанной теоремы для экономики EQ в общем случае неверна (см. ниже-
приведенный пример). Вторая часть верна при дополнительном предположении о том, что
совокупные начальные запасы достаточно велики.
Как видно из вышеприведенной теоремы, задача поиска Парето-оптимума для экономики
EQ эквивалентна задаче (W). В то же время множество допустимых состояний для экономики
+
EQ является подмножеством множества допустимых состояний для экономики EQ . Поэтому
+
не исключена ситуация, в которой Парето-оптимум экономики EQ не является Парето-опти-
мумом экономики EQ и, следовательно, не будет решением задачи (W).
6.1. Характеристика Парето-оптимальных состояний 220
+
Несложно придумать пример экономики EQ и Парето-оптимума этой экономики, так что-
бы в этом Парето-оптимуме ограничение zi 0 оказалось существенным для одного из по-
требителей, и при снятии этого ограничения можно было бы увеличить полезность одного
из потребителей, не уменьшая полезность остальных. Читатель может сконструировать такой
пример самостоятельно.
+
Но даже если в Парето-оптимуме экономики EQ все ограничения zi 0 выполняются как
строгие неравенства, снятие данных ограничений может позволить осуществить Парето-улуч-
шение. Приведем пример.
Пример 33:
Рассмотрим экономику с одним потребителем (m = 1), одним производителем (n = 1) и
двумя благами (l+1 = 2). Для упрощения обозначений индексы будем опускать. Предпочтения
потребителя заданы функцией v(x) = 5x3 ?9x2 +6,9x, а технологическое множество фирмы —
функцией издержек c(x) = x4 . Обе функции являются возрастающими при x 0, поэтому
y = x, r = c(x) и z+r = ? , так что поиск Парето-оптимума сводится к максимизации функции

v(x) ? c(x)

при ограничениях x 0 и c(x) ? . Здесь ограничение c(x) ? соответствует ограничению
z 0. Можно переписать последнее ограничение в виде x c?1 (?).


0,025

0,5 1 1,5 2
?0,025
?0,05
?0,075
?0,1
0,125

<< Предыдущая

стр. 50
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>