<< Предыдущая

стр. 51
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


Рис. 6.1. Пример существенности ограничения неотрицательности линейного члена

Пусть ? = 1, при этом c?1 (?) = 1. Как видно на Рис. 6.1 функция v(x)?c(x) имеет два ло-
кальных максимума: x1 ? 0,83473 и x2 ? 1,6988. Только второй из этих максимумов является
+
глобальным. Парето-оптимум экономики EQ достигается при x = x1 , поскольку максимиза-
ция идет на отрезке [0, 1]. В то же время Парето-оптимум экономики EQ и, следовательно,
решение задачи (W) достигается при x = x2 .

В этом примере ключевым моментом является то, что функция v(·) не является вогну-
той. Можно было построить подобный пример иначе: так, чтобы функция v(·) была вогнутой,
но функция издержек не была выпуклой. Таким образом, для доказательства аналога пер-
+
вой части предыдущей теоремы в «выпуклой» экономике EQ следует потребовать, чтобы все
функции vi (·) были вогнутыми, а функции cj (yj ) — выпуклыми. Аналогом этой теоремы для
+
случая экономики EQ является следующая теорема.
Теорема 79:
1) Предположим, что функции vi (·) вогнуты, а функции издержек cj (·) выпуклы, и
пусть
?
S = {(? 1 , z1 ), . . . , (? m , zm ), (? 1 , r1 ), . . . , (? n , rn )} —
x? x? y? y?
+
Парето-оптимальное состояние в квазилинейной экономике EQ , причем zi > 0 ?i. Тогда
?
??
набор (? 1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ) является решением задачи (W).
x ?
6.1. Характеристика Парето-оптимальных состояний 221

?? ?
2) Обратно, пусть (? 1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ) является решением задачи (W), причем
x

?i ? cj (? j )
y 0.
i?I j?J

Тогда для произвольных z1 , . . . , zm
? ? 0, удовлетворяющих балансам

?i ? cj (? j )
zi =
? y
i?I i?I

набор {(? 1 , z1 ), . . . , (? m , zm ), (? 1 , c1 (? 1 )), . . . , (? n , cn (? n ))} является Парето-оптимальным со-
x? x? y y y y
+
стоянием квазилинейной экономике EQ .

Доказательство: 1) Доказательство опирается на следующее вспомогательное утверждение: ес-
? +
ли S — Парето-оптимум в экономике EQ , удовлетворяющий условиям теоремы, то он также
является Парето-оптимумом в соответствующей экономике EQ . Если это утверждение верно,
то доказываемое является тривиальным следствием предыдущей теоремы.
Докажем это вспомогательное утверждение от противного. Пусть в соответствующей эко-
номике EQ существует допустимое состояние

?
S = {(? 1 , z1 ), . . . , (? m , zm ), (? 1 , r1 ), . . . , (? n , rn )},
x? x? y? y?

?
которое доминирует по Парето состояние S .
Рассмотрим выпуклую комбинацию этих двух состояний:

? ?
S(?) = ?S + (1 ? ?)S, ? ? [0, 1].

Существует достаточно малое ? > 0, такое что S(?) является допустимым в экономике
+ +
EQ .Однако при ? > 0 состояние S(?) представляет собой Парето-улучшение в экономике EQ
?
по сравнению с S , что противоречит предположению теоремы.
Подробное изложение доказательства оставляется в качестве упражнения.
2) Доказательство оставляется в качестве упражнения.

Приведенные выше результаты позволяют нам в случае квазилинейной экономики исполь-
зовать задачу (W) для анализа Парето-оптимальных состояний.
В ситуации, когда функции vi (·) строго вогнуты, а функции cj (·) выпуклы, решение задачи
(W) единственно, поэтому два Парето-оптимальных состояния в экономике EQ (в экономике
+
EQ , если zi и zi положительны)
? ?

{(? 1 , z1 ), . . . , (? m , zm ), (? 1 , r1 ), . . . , (? n , rn )},
x? x? y? y?

{(? 1 , z1 ), . . . , (? m , zm ), (? 1 , r1 ), . . . , (? n , rn )},
x? x? y? y?
могут различаться лишь объемами потребления (l+1)-го блага. Другими словами, xi = xi ?i ?
? ?
I и yj = yj ?j ? J .
? ?
Поэтому, как несложно заметить, в случае экономики EQ граница Парето представляет
собой гиперплоскость вида (читателю предлагается доказать этот результат самостоятельно)

ui = const.
i?I

+
В экономике EQ граница Парето может «загибаться» из-за того, что некоторые из ограни-
чений zi 0 являются существенными, что иллюстрирует следующий пример.
6.1. Характеристика Парето-оптимальных состояний 222

u2
14
12
10
8
6
4
2
u1
0
0 2 4 6 8 10

+
Рис. 6.2. Парето-граница в экономике типа EQ

Пример 34:
+
На Рис. 6.3. изображена Парето-граница в экономике типа EQ со следующими параметра-
ми: 2 блага (l + 1 = 2), 2 потребителя, с функциями полезности
v v
u1 = 2 x1 + z1 и u2 = 4 x2 + z2 ,
и один производитель с функцией издержек
c(y) = y.
Начальные запасы 2-го блага равны 10.
Несложно проверить, что решение задачи (W) дает x1 = 1 и x2 = 4. Однако это решение
описывает точки границы Парето только при u1 ? [2, 7]. Парето-граница при этом имеет вид
u2 = 15 ? u1 .
При u1 ? [0, 2] Парето-граница имеет вид
u2
u2 = 14 ? 1 .
4
При u1 ? [7, 11] Парето-граница имеет вид
v
u2 = 4 11 ? u1 .

В случае двух благ можно привести графическую иллюстрацию Парето границы экономи-
+
ки типа EQ на основе диаграммы Эджворта (см. Рис. 6.3). Жирная линия представляет собой
границу Парето.
Так как в достаточно широком классе случаев решения задачи (W) описывают Парето-гра-
ницу, то целевую функцию задачи (W) можно использовать для решения вопроса о принад-
лежности некоторого допустимого состояния к Парето-границе. В связи с этим, естественно
рассматривать функцию
vi (xi ) ?
W (x, y) = cj (yj )
i?I j?J
в качестве индикатора благосостояния. Основанием для этого является следующая теорема.
Пусть
?
S = {(? 1 , z1 ), . . . , (? m , zm ), (? 1 , r1 ), . . . , (? n , rn )},
x? x? y? y?
?
S = {(? 1 , z1 ), . . . , (? m , zm ), (? 1 , r1 ), . . . , (? n , rn )} —
x? x? y? y?
+
допустимые состояния экономики EQ (EQ ). Тогда выполнена следующая теорема.
6.1. Характеристика Парето-оптимальных состояний 223

z2
x1




x2




c(y)
y
?
z1

+
Рис. 6.3. Парето-граница экономики типа EQ на основе диаграммы Эджворта

Теорема 80:
?
1) Если каждый из потребителей в состоянии S имеет не меньшую полезность, чем в
?
состоянии S , т. е.
vi (? i ) + zi vi (? i ) + zi ?i,
x ? x ?
и4
zi +
? cj (? j ) =
y ?i ,
i?I j?J i?I
то
x? x?
W (? , y) W (? , y),
причем если существует потребитель i0 , такой что

vi0 (? i0 ) + zi0 > vi0 (? i0 ) + zi0
x ? x ?
? ?
(т. е. состояние S доминирует S по Парето), то

x? x?
W (? , y) > W (? , y).
? ?
2) Для экономики EQ выполнено и обратное: если для состояний S и S верно W (? , y) >
x?
x?
W (? , y), то можно подобрать z1 , . . . , zm такие, что состояние экономики
? ?

{(? 1 , z1 ), . . . , (? m , zm ), (? 1 , r1 ), . . . , (? n , rn )},
x? x? y? y?

будет допустимым, причем

vi (? i ) + zi > vi (? i ) + zi ?i.
x ? x ?


Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения.

Первая часть данного утверждения говорит о том, что любое Парето-улучшение сопро-
вождается ростом индикатора W (·). Смысл второй части приведенного утверждения состоит
?
x? x?
в том, что если W (? , y) > W (? , y), то можно в состоянии S произвести такие трансфер-
?
ты (перераспределить деньги), что новое состояние будет строго доминировать состояние S
4
Это условие будет, например, выполнено в общем равновесии.
6.2. Характеристика поведения потребителей 224

по Парето. Заметим, что некоторые zi при этом могут оказаться отрицательными, поэтому
+
вторая часть утверждения неприменима к экономике EQ .
В Парето-оптимуме квазилинейной экономики индикатор благосостояния достигает мак-
? ?
симума. Пусть W — это максимальное значение. Разность между W и уровнем индикатора
W (S) в некотором состоянии S называется чистыми потерями благосостояния:
?
DL = W ? W (S).
Сравнение уровней благосостояния в анализируемом состоянии и в идеальной ситуации позво-
ляет количественно оценить, насколько далеко данное неэффективное состояние от границы
Парето, и сколько экономика в целом теряет вследствие неэффективности.


6.2 Характеристика поведения потребителей в квазилинейных
экономиках
В дальнейшем сравниваются потребительские наборы, которые оказываются рыночными
равновесиями при различных организациях рынков (совершенная конкуренция, монополия,
олигополия и т. д.). При этом всюду предполагается, что потребители рассматривают рыноч-
ные цены как данные. Другими словами, определяя предпочитаемый потребительский набор
(xi , zi ) при рыночных ценах благ (p, 1), потребитель в экономике EQ решает следующую за-
дачу:
vi (xi1 , . . . , xil ) + zi > max
xi ,zi

pxi + zi ?i , (CQ )
xik 0.
+
Соответствующая задача в экономике EQ включает дополнительное ограничение zi 0. (Бу-
+
дем обозначать эту задачу через (CQ ).) Здесь через ?i обозначен доход потребителя.
Имеют место следующие результаты, характеризующие оптимальный выбор потребителя.

<< Предыдущая

стр. 51
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>