<< Предыдущая

стр. 52
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Теорема 81:
?
Предположим, что (? i , zi ) — решение задачи потребителя (CQ ) при ценах p. Тогда xi
x?
является решением следующей задачи:
vi (xi1 , . . . , xil ) ? pxi > max
xik 0. ()
И обратно, пусть xi — решение задачи ( ), тогда (? i , ?i ? p? i ) — решение задачи (CQ )
? x x
при ценах p.

Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения.

Это означает, что спрос потребителя на первые l благ не зависит от его дохода. Аналог
+
этого результата верен и в случае задачи (CQ ), когда допустимые потребительские наборы
удовлетворяют дополнительному условию zi 0, что показывает следующая теорема.
Теорема 82:
Предположим, что vi (·) — вогнутая функция, а (? i , zi ), — решение задачи потребителя
x?
+ +
при ценах p (соответствующей экономике EQ ), такое что zi > 0. Тогда xi является
?
?
(CQ )
решением следующей задачи
vi (xi1 , . . . , xil ) ? pxi > max
0 ?k
xik ()
6.2. Характеристика поведения потребителей 225

p? i , тогда (? i , ?i ? p? i ) — решение
?
И обратно, пусть xi — решение задачи ( ), и ?i x x x
+
задачи (CQ ) при ценах p и доходе ?i .

Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения.

Предположим дополнительно, что vi (·) — непрерывно дифференцируемая функция. Тогда
+
для решения задачи оптимального выбора потребителя (CQ ) (или (CQ ) при zi > 0) должно
выполняться следующее условие
vi (? i ) p,
x
причем если xik > 0, то
?
?vi (? i )
x
= pk .
?xik
?
Таким образом, если решение задачи потребителя внутреннее ( xi > 0) и, кроме того, zi > 0 в
+
случае задачи (CQ )), то
vi (? i ) = p.
x
Другими словами, градиент функции vi (·), вычисленный для набора благ, совпадающего с
рыночным спросом потребителя, равен вектору рыночных цен этих благ. Таким образом, гра-
диент функции vi (·) представляет собой обратную функцию спроса pi (xi ) потребителя i —
вектор цен первых l благ, при котором потребитель предъявляет спрос именно на этот набор
благ.
В классе квазилинейных экономик важную роль играет случай когда предпочтения всех
потребителей, помимо свойства квазилинейности обладают свойством сепарабельности, т. е.
функции полезности таких потребителей представимы в виде

ui (xi1 , . . . , xil , zi ) = vi (xi1 , . . . , xil ) + zi = vik (xik ) + zi .
k?K

Если функция полезности i-го потребителя имеет такой вид, то задачу потребителя (CQ ) мож-
но разложить на l задач — по одной на каждое благо кроме (l + 1)-го:

vik (xik ) ? pk xik > max (CQk )
xik 0

Теорема 83:
?
Если xi — решение задачи потребителя (CQ ) при ценах p, то xik — решение задачи
?
(CQk ) при цене pk . Обратно, если xik — решение задачи (CQk ) при цене pk при k = 1, . . . , l ,
?
?
то xi = (?i1 , . . . , xil ) — решение задачи (CQ ) при p = (p1 , . . . , pl ).
x ?

Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения.

Из данной теоремы следует, что функция спроса на k -е благо зависит только от цены на
это благо, т. е. имеет вид xik (pk ).
В этом случае (при условии дифференцируемости) необходимое условие оптимальности
+
потребительского набора ( xi , zi ) (как в случае экономики EQ , так и в случае EQ при zi> 0)
??
имеет вид:
?vik (?ik )
x
pk ,
?xik
причем если xik > 0, то
?
?vik (?ik )
x
= pk .
?xik
Это условие является также и достаточным, если vik (·) — вогнутые функции.
6.2. Характеристика поведения потребителей 226

Из Теоремы 83 следует, что, вместо исходной задачи мы можем использовать для анализа
спроса на k -е благо задачу (CQk ). Мы будем предполагать, что функция vik (xik ) дважды
дифференцируема, имеет положительную производную и строго вогнута. Строгая вогнутость
гарантирует, в числе прочего, что если решение задачи (CQk ) существует, то оно единственно.
Очевидно, что это решение есть значение функции спроса рассматриваемого потребителя на
k -е благо при данном pk , xik (pk ).
Рассмотрим условия существования решения задачи (CQk ). (Заметим, что из Теоремы 83
следует, что решение исходной задачи (CQ ) в случае сепарабельной функции полезности суще-
ствует тогда и только тогда, когда существуют решения задач (CQk ) при любом k = 1, . . . , l .)
Введем обозначения5
?vik (xik )
p = sup
?
?xik
xik >0
и
?vik (xik )
p = inf .
?xik
xik >0
Легко видеть, что при любом pk , таком что p < pk < p , решение задачи (CQk ) существует.
?
Действительно в силу непрерывности функции ?vik (xik )/?xik , существует xik , такое что
?vik (xik )
= pk .
?xk
Это xik должно быть решением задачи потребителя при ценах pk .
Кроме того, при ценах pk p задача (CQk ) не имеет решения. Покажем это. Пусть при
pk p существует решение xik (pk ) 0. Тогда должно выполняться необходимое условие
оптимума (условие первого порядка)
?vik (xik (pk ))
pk .
?xik
Откуда в силу того, что pk p имеем
?vik (xik (pk )) ?vik (xik )
inf
?xik ?xik
xik >0

Рассмотрим теперь значение функции ?vik (xik )/?xik в точке xik (pk ) + ?. В силу убывания
этой функции имеем
?vik (xik (pk ) + ?) ?vik (xik (pk ))
<
?xik ?xik
при любом ? > 0. Откуда получаем
?vik (xik (pk ) + ?) ?vik (xik (pk )) ?vik (xik )
< inf = p.
?xik ?xik ?xik
xik >0

Так как xik (pk ) + ? > 0, мы получили противоречие с определением инфимума. Тем самым,
предположив существование решения задачи (CQk ) при pk p мы пришли к противоречию, а
значит полностью обосновали то, что при pk p задача (CQk ) не имеет решения.
Покажем теперь, что xik (pk ) > 0 при pk > ?. Рассмотрим для этого два случая: p = ?
?
и p < ?.
?
Пусть p = ?. При pk > p, по доказанному ранее решение xik (pk ) задачи (CQk ) существует,
?
причем оно будет внутренним (xik (pk ) > 0), так как любое значение pk > p по непрерывно-
сти функции ?vik (xik )/?xik может быть реализовано при соответствующем подборе xik . Это
означает, что условие первого порядка в этой задаче выполнено как равенство при pk > p:
?vik (xik (pk ))
= pk ,
?xk
5
Здесь p — это так называемая цена «удушения» спроса.
?
6.2. Характеристика поведения потребителей 227

и оно определяет функцию спроса xik (pk ) при pk > p.
Рассмотрим теперь последовательность {pn }, такую что
k

lim pn = ?.
k
n>?

Выделим из последовательности {pn } возрастающую подпоследовательность {pns }. На осно-
k k
ns
вании подпоследовательности цен {pk } построим соответствующую ей последовательность
объемов спроса {xns } по правилу
ik
?vik (xns )
= pns .
ik
k
?xik
Так как lims>? pns = ?, то в силу строгой вогнутости функции полезности имеем, что после-
k
довательность объемов спроса {xns } убывает, причем xns +1 < xns . Как мы отметили выше при
ik ik ik
pk > p решение задачи (CQk ) является внутренним и, таким образом, xns > 0 ?ns , но каждая
ik
убывающая и ограниченная снизу последовательность имеет предел. Пусть xik — предел этой
?
последовательности объемов спроса и xik > 0. Тогда, как нетрудно заметить, подпоследова-
?
тельность {pns } имеет (в силу непрерывности ?vik (xik )/?xik ) конечный предел ?vik (?ik )/?xik ,
x
k
что противоречит ее построению. Получив противоречие, мы доказали, тем самым, что xik = 0 ?
и тем самым, что xik (pk ) > 0 при pk > ?.
Пусть теперь p < ?. Тогда в силу убывания функции ?vik (xik )/?xik имеет место равенство
?

?vik (xik ) ?vik (xik )
p = lim
? = max .
?xik ?xik
xik >0 xik 0

Тогда при любой цене pk p выполнено
?
?vik (0)
pk .
?xik
Отсюда следует, что при pk p спрос на данное благо равен нулю, т. е. xik (pk ) = 0, поскольку
?
в силу вогнутости целевой функции это необходимое условие оптимальности является также
и достаточным. Отметим, что так как функция полезности в задаче (CQk ) является строго
вогнутой, то xik (pk ) = 0 — единственное решение этой задачи. Тем самым мы доказали, что
в общем случае xik (pk ) > 0 при pk > ?.

6.2.1 Потребительский излишек: определение, связь с прямой и обратной
функциями спроса
Пользуясь выведенными выше характеристиками потребительского выбора, проанализиру-
ем связь оценки vi (xi ) с площадью под кривой спроса потребителя.
Пусть xi = xi (p), т. е. является спросом потребителя при ценах p. Величина

CSi = vi (xi1 , . . . , xil ) ? pxi ? vi (0)

называется потребительским излишком. В дальнейшем без потери общности будем предпола-
гать, что vi (0) = 0.
Мы рассмотрим случай квазилинейных сепарабельных функций полезности, т. е. vi (xi1 , . . . , xil ) =
l
k=1 vik (xik ). Потребительский излишек при этом получается суммированием потребитель-
ских излишков, получаемых потребителем на рынках отдельных благ:
l l
(vik (xik ) ? pk xik ) =
CSi = CSik ,
k=1 k=1

где CSik = vik (xik ) ? pk xik .
6.2. Характеристика поведения потребителей 228

pk




CS
pik (·)

xik


Рис. 6.4. Излишек потребителя


В этом случае геометрически излишек потребителя на рынке k -го блага равен площади фи-
гуры, лежащей под графиком функции обратного спроса выше цены этого блага (см. Рис. 6.4).

<< Предыдущая

стр. 52
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>