<< Предыдущая

стр. 53
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Поясним это. Рассмотрим потребительский излишек как функцию цен:
l l
[vik (xik (pk )) ? pk xik (pk )] =
CSi (p) = CSik (pk ).
k=1 k=1

Функции CSik (pk ) = vik (xik (pk )) ? pk xik (pk ) определены при всех ценах pk p и, кроме того,
не могут быть отрицательными6 .
Как было доказано, xik (pk ) > 0 при pk > ?, откуда vik (xik (pk )) > 0 при pk > ?.
Поскольку pk xik (pk ) vik (xik (pk )), то при росте цены блага расходы на его приобретение
стремятся к нулю, т. е. pk xik (pk ) > 0 при pk > ?.
Функция CSi (p) является дифференцируемой, если функция полезности дважды диффе-
ренцируема. Дифференцируя ее, получаем (с учетом условий первого порядка для задачи
потребителя), что при xik (pk ) > 0

?CSi (p) ?CSik (pk )
xik (pk ) = ? =? .
?pk ?pk

(Читателю предоставляется проверить этот факт самостоятельно.)
Если xik (t) > 0 при всех t pk , то проинтегрировав обе части этого дифференциального
уравнения, получим
? ?CS (t) ?
ik
? dt = xik (t)dt.
?t
pk pk

Откуда
?
CSik (p) ? lim CSik (t) = xik (t)dt,
t>? p

что позволяет выразить излишек потребителя i от потребления блага k в виде7
?
CSik (p) = xik (t)dt + lim CSik (t).
t>?
p
6
Так как xik = 0 является допустимым в задаче C1k (pk ) , то CSik (pk ) = vik (xik (pk )) ? pk xik (pk ) vik (0) ?
pk · 0 = 0 , и, тем самым, CSik (pk ) 0 .
7
Заметим, что если существует цена pk , такая что xk (t) > 0 при всех t < pk и xk (t) = 0 при всех t pk ,
? ? ?
то при pk pk ?
pk
? pk
?
?CSik (t)
? dt = xik (t)dt.
?t
p p
k k
6.3. Характеристика поведения производителей 229

Поскольку второе слагаемое в этом соотношении равно нулю:

lim CSik (t) = 0,
t>?

то ?
CSik (p) = xik (t)dt.
p

В силу того, что функция pik (·) является обратной к функции xik (·), имеет место соотноше-
ние8
xik (p)
pik (q)dq ? pxik (p),
CSik (p) =
0
В итоге, общий потребительский излишек получаем суммированием этих интегралов по всем
рынкам:
l l ?
CSi (p) = CSik (p) = xik (t)dt =
k=1 pk
k=1
l l
xik (p)
pik (t)dt ? p
= xik (p).
k=1 0 k=1




6.3 Характеристика поведения производителей в
квазилинейных экономиках
Напомним, что в рассматриваемом случае технологию каждого производителя представ-
ляет функция издержек. Если технологическое множество выпукло, то функция издержек
является выпуклой. В этом параграфе мы приведем постановки задачи потребителя при раз-
личных предположениях о типе конкуренции с которым сталкивается производитель.
Предположим, что j -й производитель сталкивается с функцией обратного спроса на про-
изводимые им блага вида
pj = pj (yj ).
Здесь мы отходим от предположения о совершенстве конкуренции — производители не рас-
сматривают цены как данные.
В предположении (обычном для неоклассической парадигмы), что производитель выби-
рает объемы производства соответствующих благ, максимизирующие прибыль, задача j -го
производителя имеет вид:
?j = pj (yj )yj ? cj (yj ) > max .
yj 0

Если функции pj (yj ) и cj (yj ) дифференцируемы, то необходимое условие оптимальности
выпуска yj производителя j имеет вид

??? упс ??? pjk (yj )yj + pjk (yj ) ? cjk (yj ) 0,

причем если yjk > 0, то
??? pjk (yj )yj + pk (y j ) ? cjk (yj ) = 0.
В случае, если функции полезности сепарабельны, спрос на каждое благо зависит только от
его цены. В этом случае цена любого блага зависит только от продаваемого количества блага:

pjk = pjk (yjk ).
8
Равенство доказывается интегрированием по частям и заменой переменных.
6.3. Характеристика поведения производителей 230

Предположим также, что функция издержек производителя также сепарабельна, т. е.
l
cj (yj ) = cjk (yjk ).
k=1

В этом случае прибыль имеет вид
l
[pjk (yjk )yjk ? cjk (yjk )].
?j =
k=1

Задача максимизации прибыли распадается, таким образом на l задач. Условия первого по-
рядка приобретают более простой вид:

pjk (yjk )yjk + pjk (yjk ) cjk (yjk ),

причем при yjk > 0
pjk (yjk )yjk + pjk (yjk ) = cjk (yjk ).
И наконец, если цена спроса не зависит от продаваемого объема блага,

pjk (yjk ) = const,

(производители принимают цены как данные, в отрасли складывается ситуация совершенной
конкуренции), то pjk (yjk ) = 0 и условия первого порядка приобретают вид

pjk cjk (yjk ),

причем при yjk > 0
pjk = cjk (yjk ).
Последнее соотношение задает функцию предложения k -го блага j -м предприятием. Это
функция зависит только от цены k -го блага.

6.3.1 Излишек производителя
Предположим, что производитель рассматривает цену как данную, или, другими словами,
цена спроса не зависит от продаваемого объема, и цены у всех производителей одинаковы и
равны p. В качестве излишка производителя при ценах p будем рассматривать его прибыль
при этих ценах, т. е.
P Sj = ?j = pyj ? cj (yj ).



pk cjk (·)




PS
yjk



Рис. 6.5. Излишек производителя
6.4. Связь излишков с благосостоянием 231

В случае, если функция издержек сепарабельна, излишек производителя можно предста-
вить как сумму излишков по l рынкам:
l l
[pk yjk ? cjk (yjk )] =
P Sj = P Sjk .
k=1 k=1

Можно представить излишек производителя на k -м рынке в виде интеграла:
yjk
[pk? cjk (t)]dt ? cjk (0).
P Sjk =
0

Он равен (с точностью до константы cjk (0)) площади фигуры, образуемой прямой, проходящей
через точку (0, pjk ) параллельно оси абсцисс, и кривой предельных издержек cjk (yjk ) (кривой
предложения). В случае, когда cjk (0) = 0 получаем, что излишек производителя равен
yjk
P Sjk = [pk? cjk (t)]dt.
0



6.4 Связь излишков потребителя и производителя с
индикатором благосостояния
Предположим, что {(x1 , z1 ), . . . , (xm , zm ), (y1 , r1 ), . . . , (yn , rn )} — допустимое состояние эко-
номики, причем (xi , zi ) — решение задачи (CQ ) i-го потребителя при ценах p и
p xi = p yj .
i?I j?J

Тогда
vi (xi ) ?
W (x, y) = cj (yj ) =
i?I j?J

vi (xi ) ? p (pyj ? cj (yj )) = CS + P S,
= xi +
i?I i?I j?J
где
CS = CSi
i?I
— суммарный потребительский излишек,
PS = ?j (p) = P Sj (p)
j?J j?J

— суммарный излишек производителей.
Другими словами, индикатор благосостояния W (x, y), соответствующий любому равнове-
сию, равен сумме излишков потребителей и производителей.
????Заметим, что если p — равновесный вектор, предпочтения локально ненасыщаемы, то
условия
p xi = p yj
i?I j?J
выполнены. Заметим также, что в этом случае состояние экономики Парето-оптимально, и
поэтому W (x, y) достигает максимума на множестве допустимых состояний.
В сепарабельной экономике излишки потребителей и производителей представляют собой
суммы соответствующих излишков на l рынках:
l l
CS = CSk , P S = P Sk .
k=1 k=1
6.5. Репрезентативный потребитель 232


6.5 Представление суммарного спроса посредством модели
репрезентативного потребителя
Очень часто при изучении моделей частного равновесия бывает удобно использовать пред-
положение о том, что суммарный спрос порождается решением задачи одного потребителя. В
том случае, когда такой потребитель существует, его называют репрезентативным потребите-
лем.
Покажем, что в экономике EQ репрезентативный потребитель всегда существует.
Пусть xi (p) — вектор спроса i-го потребителя на первые l благ при ценах p. Тогда сум-
марный спрос всех потребителей равен

X(p) = xi (p).
i?I

В этих обозначениях репрезентативный потребитель будет порождать своими предпочтениями
суммарный спрос X(p).
Покажем что репрезентативный потребитель в этих условиях существует, причем его пред-
почтения на множестве потребительских наборов (x, z), x 0, могут быть представлены ква-
зилинейной функцией полезности вида:

u(x, z) = v(x) + z.

Рассмотрим следующую задачу (задачу максимизации суммы полезностей от потребления
1-го блага при фиксированном количестве x этого блага):
?

vi (xi ) > max
x1 ,...,xm
i?I

?
xi x, (c)
i?I
xi 0.

?
Тогда в качестве v(x) мы можем взять значение этой задачи при x = x. Покажем, что X(p)
является решением задачи репрезентативного потребителя с функцией полезности, u(x, z) =
v(x) + z , при любом векторе цен p > 0.

<< Предыдущая

стр. 53
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>