<< Предыдущая

стр. 54
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Предположим противное. Как мы видели, задачу представительного потребителя в случае
квазилинейных предпочтений можно записать в эквивалентной форме:

v(x) ? px > max .
x0

?
Пусть существует x 0, такой что

v(? ) ? p? > v(X(p)) ? px(p).
x x

?
При этом, так как X(p) = xi (p), и xi (p) допустимы в задаче (c) при x = X(p), то
i?I
должно быть выполнено

v(? ) ? p? > vi (xi (p)) ? p
x x xi (p).
i?I i?I

? ? ?
Заметим, что v(? ) =
x vi (? i ), где (? 1 , . . . , xm ) — решение задачи (c) при x = x . Таким
x x
i?I
образом имеем

vi (? i ) ? p vi (? i ) ? p? > vi (xi (p)) ? p
?
x xi x x xi (p).
i?I i?I i?I i?I i?I
6.6. Задачи к главе 233

Но это означает, что по крайней мере для одного из потребителей выполнено

vi (? i ) ? p? i > vi (xi (p)) ? pxi (p),
x x

что противоречит оптимальности набора xi (p).
Докажем, что
v(X(p)) = vi (xi (p)),
i?I

другими словами, индикатор благосостояния в экономике с одним представительным потреби-
телем упорядочивает интересующие нас состояния экономики так же, как и индикатор благо-
состояния первоначальной экономики.
Предположим противное. Случай v(X(p)) < i?I vi (xi (p)) невозможен, тaк как xi (p)
?
допустимы в задаче (c) при x = X(p). Поэтому предположим, что существует p такое, что

v(X(p)) > vi (xi (p)).
i?I

? ?
Пусть (? 1 , . . . , xm ) — решение задачи (c) при x = X(p). По определению v(X(p)) =
x vi (? i ).
x
i?I
Значит,
vi (? i ) >
x vi (xi (p)).
i?I i?I

С другой стороны,
?
xi X(p) = xi (p).
i?I i?I

Умножим на p:
?
p xi p xi (p).
i?I i?I

Складывая два неравенства, получаем

vi (? i ) ? p vi (xi (p)) ? p
?
x xi > xi (p).
i?I i?I i?I i?I

Получили требуемое противоречие.


6.6 Задачи к главе
 353. Докажите вторую часть Теоремы ?????.
 354. ?? а) Постройте контрпример с вогнутыми функциями vi (·) и выпуклыми функциями
cj (·), который бы показывал, что условие zi > 0 ?i существенно в первой части Теоремы ?????.
?
?? б) Постройте контрпример, который бы показывал, что условие выпуклости функции
издержек существенно в первой части Теоремы ?????.
 355. ?? Докажите Теорему ??.
 356. Покажите, что в случае квазилинейной экономики без ограничений на квазилинейное
благо (EQ ) Парето-граница в координатах полезностей ui представляет собой гиперплоскость
вида i?I ui = const.
 357. ??? Докажите Теоремы ??, ?? и 83.
 358. Докажите, что при xk (pk ) > 0 выполнено

?CSi (p) ?CSik (pk )
xk (pk ) = ? =? .
?pk ?pk
6.6. Задачи к главе 234

 359. Пусть (x, y) — допустимое состояние квазилинейной экономики, и p 0 — некоторый
вектор цен, причем xi является решением задачи потребителя при ценах p, и

p xi = p yj .
i?I j?J

Докажите, что
ui (xi , zi ) = W (x, y) + ?i
i?I i?I

 360. В экономике два блага (l + 1 = 2) и два потребителя, имеющие функции полезности
v v
u1 = x1 +z1 и u2 = 2 x2 +z2 . Найдите функцию полезности репрезентативного потребителя.
 361. Решите предыдущую задачу с функциями полезности u1 = ?3/x3 + z1 и u2 = ?3/x3 +
1 2
z2 .
 362. Потребители (i = 1, . . . , m) имеют квазилинейные функции полезности вида
v 21
(A) ui = 2?i xi + zi , (B) ui = ??i xi + zi , (C) ui = 2?i ln xi + zi .
Найдите функцию полезности репрезентативного потребителя в каждом из случаев.
 363. Пусть предпочтения потребителей представляются квазилинейными сепарабельными
функциями полезности. Тогда без потери общности можно считать, что в экономике два блага
(l + 1 = 2). Пусть xi (p) — спрос на первое благо i-го потребителя при ценах p, D(p) =
xi (p) — суммарный спрос потребителей на первое благо, и p(x) = D?1 (x) — обратная
функция спроса. Предположим, что функция p(x) является непрерывной и убывающей при
x 0. Докажите, что если
x
v(x) = p(q)dq,
0
то v(x) + z является функцией полезности репрезентативного потребителя.
 364. В ситуации предыдущей задачи функция спроса на благо имеет вид
1
D(p) = .
4p2
Найдите функцию полезности репрезентативного потребителя.
 365. Пусть в экономике имеется 2 блага и цена 2-го блага равна 1. Функция спроса потреби-
теля на 1-е благо является линейной убывающей функцией цены этого блага и не зависит от
дохода. Покажите, что предпочтения потребителя можно представить квазилинейной функ-
цией полезности. Найдите эту функцию полезности.
 366. Пусть в экономике имеется l + 1 благо и цена (l + 1)-го блага равна 1. Функция спроса
потребителя на каждое из первых l благ является убывающей функцией цены этого блага и
не зависит от дохода и цен остальных благ. Покажите, что предпочтения потребителя мож-
но представить квазилинейной сепарабельной функцией полезности. Как найти эту функцию
полезности на основе функции спроса?
sssssssssssssssssssssssssssss
Глава




7
Риск и неопределенность

Принятие экономическим субъектом решений в условиях риска (неопределенности) озна-
чает, что его благосостояние в будущем зависит от двух факторов: его решения в данный
момент и от того, какое состояние мира (состояние природы) реализуется в будущем: какая
будет погода, экономическая конъюнктура и т. п. Что именно произойдет, человек, принимаю-
щий решение, может только догадываться. Когда же определенное состояние реализуется, то
принятое решение уже нельзя изменить.
Таким образом, для характеристики ситуации выбора в условиях неопределенности мы
должны, в дополнение к множеству возможных решений A, описать множество состояний ми-
ра S и множество исходов (результатов) принятия решений X . При этом исход xa (s) ? X ,
описывает, что «получает» данный субъект в состоянии мира s ? S , если принимает решение
a ? A. Это может быть, например, некоторый набор из множества допустимых потребитель-
ских наборов. Часто рассматривают случай, когда X = R (или R+ ). В этом случае исходы
обычно называют выигрышами (денежными выигрышами). Ряд положений теории выбора в
условиях неопределенности не зависит от природы рассматриваемых исходов.
Предполагается, что на множестве состояний мира S задано тем или иным способом распре-
деление вероятностей. Этот объект называется вероятностным пространством. Тогда с точки
зрения теории вероятностей множество состояний мира S — это множество элементарных
событий, а функция xa (·), описывающая исходы действия a во всех состояниях мира, —
?
это случайная величина. Соответствующую случайную величину мы будем обозначать xa .
В дальнейшем, чтобы не усложнять анализ техническими деталями, мы, как правило, будем
предполагать, что множество состояний мира S конечно: S = {1, . . . , N }. Тогда случайная
?
величина xa является дискретной и может быть описана таблицей:

1 2 ... N
xa1 xa2 ... xaN
µa1 µa2 ... µaN

Здесь µas 0 — вероятность того, что реализуется состояние мира s при условии, что осу-
ществлены действия a (принято решение a). Сумма вероятностей равна единице: s?S µas =
1.
?
Мы будем часто говорить об xa как о случайных величинах, но, вообще говоря, речь неяв-
?
но идет и о соответствующих вероятностных пространствах. А именно, объект xa включает
в себя не только информацию о функции xa (·), но и о вероятностях состояний мира µas ,
?
т. е. всю информацию, содержащуюся в приведенной таблице. Будем называть xa случайным
потребительским набором.
Как обычно, мы следуем неоклассической парадигме и предполагаем, что индивидуум осу-
ществляет принятие решения в условиях риска на основании своих предпочтений. Вообще
говоря, для предсказания поведения индивидуума достаточно задать его предпочтения на
множестве возможных решений A. Однако, хотелось бы иметь более общее описание, чтобы
анализировать поведение в условиях риска не в одной конкретной ситуации, задаваемой на-
бором исходов xas и вероятностей состояний мира µas , а в некотором достаточно богатом

235
7.1. Представление предпочтений линейной функцией полезности 236

множестве таких ситуаций. Таким образом, следует предположить существование предпочте-
? ? ?
ний на множестве A? X пар (a, x), где случайный потребительский набор x включает исходы
xs и их вероятности µs (s ? S ).
?
Рассматривая предпочтения на A ? X , мы неявно предполагаем, что, вообще говоря, ин-
дивидууму не безразлично, какие действия a он предпринял. Содержательно это означает,
что при принятии решения важны как исходы xs принятого решения при всех возможных
состояниях мира S , так и (говоря неформально) возможные издержки получения исходов, свя-
занные с действиями a. Однако все последствия предпринятых действий мы можем включить
в наборы xs , так что сами по себе действия a будут носить «нейтральный» характер. Други-
ми словами, мы без потери общности можем рассматривать ситуацию, когда экономическому
субъекту безразлично, какое решение привело к данным результатам:

Для любых двух решений a, b ? A и любого случайного потребительского набора
?
x ? X выполнено (a, x) ? (b, x).
? ? ?

?
Таким образом, мы можем считать, что предпочтения заданы на множестве X .
?
Множество возможных случайных потребительских наборов, X , должно быть достаточно
богатым. Удобно предположить, что оно имеет структуру X ? M , где M — множество (сим-
плекс) всех возможных векторов вероятностей µ = {µs }s?S , удовлетворяющих естественным
требованиям µs 0 ?s ? S и s?S µas = 1.
В следующих двух параграфах мы покажем, что при некоторых предположениях относи-
?
тельно предпочтений на множестве X существует представляющая их функция полезности
U (·) особого вида (линейная по вероятностям состояний мира). Этот материал может быть
пропущен без ущерба для понимания последующего изложения.



7.1 Представление предпочтений линейной функцией
полезности
Как уже сказано выше, мы будем исходить из того, что у принимающего решение индиви-
дуума имеются некоторые предпочтения { , , ?} на множестве случайных потребительских
наборов. Как обычно, будем при этом предполагать, что предпочтения являются неоклассиче-
скими (в частности, отношение отрицательно транзитивно и асимметрично):
? заданы неоклассические предпочтения { , , ?}.
(A1 ) На A ? X
Как известно, если предпочтения являются неоклассическими (рациональными) и непре-
рывными, они могут быть представлены функцией полезности. В этом параграфе, опираясь
на результаты последующего, мы покажем, что при выполнении некоторых дополнительных
предположений относительно предпочтений, представляющая их функция полезности имеет
некоторый специальный вид.
Итак, наша цель состоит в том, чтобы доказать, что представляющая рассматриваемые
предпочтения функция полезности имеет вид:

U (? ) =
x µs u(xs ).
s?S

Функция U (·) такого вида называется функцией Неймана — Моргенштерна (ожидаемой полезно-
стью), а функция u(·), заданная на множестве исходов X , — элементарной функцией полезно-
сти (функцией Бернулли)1 .
1
Эта функция впервые была выведена на основе аксиом Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном
в их знаменитой книге John Von Neumann and Oskar Morgenstern. Theory of Games and Economic Behavior,
7.1. Представление предпочтений линейной функцией полезности 237

Первое предположение, которое требуется сделать, состоит в том, что для потребителя
не имеет значения само по себе состояние мира. Это предположение позволяет характеризо-

<< Предыдущая

стр. 54
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>