<< Предыдущая

стр. 55
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?
вать предпочтения на случайных потребительских наборах x посредством предпочтений на
лотереях — объектах более простой природы. Если для потребителя не имеет значения само
по себе состояние мира, и потребление xs в нескольких различных состояниях мира совпа-
дает, то можно «объединить» эти состояния и сложить вероятности. Получившийся объект
и будет называться лотереей. Лотерея включает информацию только о результатах, которые
непосредственно влияют на потребителя, и вероятностях получения этих результатов, но не
содержит информации о том, как эти результаты получены, и каким состояниям мира они
соответствуют.
Покажем, как построить такие лотереи и осуществить соответствующий переход к пред-
почтениям на них. Пусть, например, имеется три равновероятных состояния мира: «желтое»,
«фиолетовое» и «голубое». В желтом состоянии мира потребитель потребит 1 кг картошки
и 2 л пепси-колы, в фиолетовом также 1 кг картошки и 2 л пепси-колы, а в голубом — 3
кг картошки и 1 л пепси-колы. В результате получаем лотерею, в которой набор (1, 2) имеет
вероятность 2/3, а набор (3, 1) — вероятность 1/3.
В общем случае пусть x — случайный потребительский набор. Рассмотрим множество {xj }
? ?
всех различных между собой исходов xs из этого случайного набора, которым соответству-
ют положительные вероятности (другими словами, это носитель соответствующей случайной
?
величины). Каждому исходу xj сопоставляется вероятность pj , равная сумме вероятностей
?
состояний мира, в которых исход равен xj , то есть

pj = µs .
s:xs =xj
?


Такие объекты (множества различных исходов и их вероятности) принято называть лотереями
на множестве X . Построенную на основе исходного случайного потребительского набора x ?
?
?
X лотерею будем обозначать (? ). Множество построенных таким образом лотерей будем
x
обозначать L:
?
L= (? ) x ? X .
x?

?
Если потребовать, чтобы при сравнении разных x принимались во внимание только исходы
?
и вероятности их получения, то предпочтения на множестве X порождают предпочтения на
множестве лотерей, порожденных этими величинами. В таком случае можно рассматривать
непосредственно лотереи и предпочтения на множестве лотерей. Таким образом, мы предпо-
?
лагаем, что исходные предпочтения на X удовлетворяют следующему свойству:
?
(A1 ) Если для x, y ? X выполнено (? ) = (? ), то x ? y .
?? ??
x y
Несложно понять, что предпочтения на множестве L, построенные на основе исходных,
будут неоклассическими.
Дальнейшее изложение не зависит от способа задания множества лотерей L и предпочте-
ний на нем. Поскольку многие ситуации выбора изначально представляются как ситуации
выбора на множестве лотерей, то приведенный ниже анализ имеет и самостоятельное значе-
ние.
?
Если множество состояний мира S достаточно «большое» и множество X достаточно бога-
то, то и множество лотерей L будет достаточно представительным. Мы будем предполагать,
что множество лотерей L содержит все так называемые простые лотереи, выделяемые следу-
ющим определением.

Princeton University Press, 1944 (рус. пер.: Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Теория игр и экономическое
поведение. — М.: Наука, 1970). Сама идея ожидаемой полезности появилась гораздо раньше (см. напр. работу
Даниила Бернулли упоминаемую в сноске ?? на с. ??).
7.1. Представление предпочтений линейной функцией полезности 238
Определение 53:
Под простой лотереей мы будем понимать лотерею с конечным носителем, т. е. пару (Xp , p),
где Xp — конечное подмножество множества исходов X , а p — вектор вероятностей получе-
ния исходов из Xp .

Если множество состояний мира конечно, то все лотереи из множества L будут простыми.
Однако при этом L не может содержать все простые лотереи, поскольку количество исходов
в носителе лотереи не может быть больше числа состояний мира.
Вначале мы охарактеризуем условия существования функции полезности Неймана — Мор-
генштерна для предпочтений, заданных на множестве, состоящем только из простых лотерей.
Позже мы поясним, как этот результат распространить на более общий случай.
Простую лотерею можно представить следующей таблицей (где, как говорилось выше, все
?
xj предполагаются различными):

···
? ? ?
x1 x2 xk
···
p1 p2 pk

В дальнейшем удобно простую лотерею представлять в виде функции p(·), заданной на
всем множестве X , считая, что p(x) = 0, если x ? Xp и p(xj ) = pj . Тогда без потери общно-
/
сти простую лотерею (Xp , p) можно отождествлять с p, где p понимается как сокращенное
обозначение функции p(·). В дальнейшем будем придерживаться этого упрощения. Будем
обозначать соответствующее p множество Xp , т. е. носитель лотереи, через Supp(p).

x ? X p(x) > 0 .
Supp(p) =

Понятно, что по определению вероятности

p(x) = 1.
x?Supp(p)

Множество всех простых лотерей участника обозначим S . В дальнейшем мы будем предпола-
гать, что предпочтения заданы на всех возможных парах элементов множества S .
Как уже говорилось из предположений (A1 ) и (A1 ) следует, что предпочтения на лоте-
реях являются неоклассическими (рациональными). Поскольку в дальнейшем мы будем рабо-
тать только с простыми лотереями, то переформулируем исходные предположения в терминах
этих лотерей:
(A1) На множестве простых лотерей S заданы неоклассические предпочтения { , , ?}.
Кроме рациональности предпочтений на лотереях, нам потребуется также сделать два важ-
ных предположения о свойствах комбинаций лотерей.
Определение 54:
Для любой пары простых лотерей p, q ? S и числа ? ? [0, 1] определим выпуклую комбина-
цию (смесь) p ? q как простую лотерею, носителем которой является объединение носителей
лотерей p и q:
Supp(p ? q) = Supp(p) ? Supp(q),
а вероятность исхода x рассчитывается по формуле

?p(x) + (1 ? ?)q(x), x ? Supp(p ? q).

Построение выпуклой комбинации лотерей с различающимися множествами исходов ил-
люстрирует Рис. 7.1.
Одна из возможных интерпретаций операции выпуклой комбинации лотерей p ? q со-
стоит в том, что рассматривается двухэтапная лотерея: лотерея с двумя исходами, которые в
7.1. Представление предпочтений линейной функцией полезности 239

свою очередь являются обычными одноэтапными лотереями. В первоначальной лотерее веро-
ятности равны ? и 1 ? ?: с вероятностью ? реализуется исход p, а с вероятностью 1 ? ? —
исход q. При этом предполагается, что оценка лотереи потребителем не зависит от способа ее
реализации: двухэтапная и соответствующая ей одноэтапная лотереи эквивалентны. То есть
в оценке любой лотереи потребитель ориентируется лишь на исходы этой лотереи и вероят-
ности, с которыми эти исходы реализуются, что и подразумевает предположение (A1 ). Так,
две показанные на Рис. 7.1 лотереи эквивалентны, поскольку приводят в конечном итоге к
одним и тем же исходам с одинаковыми вероятностями этих исходов, и поэтому их можно
рассматривать как одну и ту же альтернативу.

x1 x1
p ?p+(1??)q
?
x2
1?p ?(1?p)
x2
x1
q
(1??)(1?q)
1??
1?q
x3
(а) x3 (б)


Рис. 7.1. (а) Две простые лотереи, p и q и (б) их выпуклая комбинация p ? q

Легко понять, что множество всех простых лотерей S содержит все выпуклые комбинации
своих элементов: если p, q ? S , тогда p ? q ? S , ?? ? [0, 1]. Но ясно, что для произвольного
подмножества множества S это свойство может не выполняться.
Мы будем исходить из того, что для выпуклых комбинаций лотерей выполнены следующие
два предположения:
(A2) Аксиома независимости от посторонних альтернатив:
Пусть p q и r — произвольная лотерея. Тогда для любого ?, 0 < ? 1 выполняется
соотношение p ? r q ? r.
Эту аксиому можно интерпретировать через двухэтапные лотереи. Предположим, что инди-
видуум считает лотерею p более предпочтительной, чем q. Ему предлагают выбрать заранее,
что он предпочтет — p или q, и проводят лотерею, исходами которой с вероятностями ? и
1 ? ? соответственно являются та из лотерей p и q, которую он выбрал, и лотерея r. Ясно,
что он выберет p. Но это, фактически, то же, что выбирать между двумя двухэтапными лоте-
реями: лотереей, где исходами являются p и r с вероятностями ? и 1 ? ? соответственно, и
лотерей, где исходами являются q и r с вероятностями ? и 1??. Следовательно, индивидууму
следует выбрать первую из этих двухэтапных лотерей, что и означает, что p ? r q ? r.
(A3) Аксиома исчерпания Архимеда:
Если p q r, то существуют числа ?, ? ? (0, 1), такие что

p?r q p ? r.

Эта аксиома утверждает, что если лотерея q лучше r, но хуже p, то не может быть так,
чтобы все нетривиальные смеси лотерей p и r были либо лучше, либо хуже q: найдется хотя
бы одна смесь, которая хуже q, и хотя бы одна смесь, которая лучше q.
При этих предположениях предпочтения на простых лотереях задаются функцией, которая
линейна по вероятностям (имеет вид Неймана — Моргенштерна).
Определение 55:
Функция полезности U (·), представляющая предпочтения на простых лотереях, называет-
ся функцией полезности Неймана — Моргенштерна, если существует определенная на множестве
7.1. Представление предпочтений линейной функцией полезности 240

исходов X функция u(·), такая что

U (p) = p(x)u(x).
x?Supp(p)



Мы хотим доказать следующий результат2 .
Теорема 84:
Если предпочтения на множестве простых лотерей S удовлетворяют предположениям
(A1)-(A3), то существует представляющая их функция полезности U (·), имеющая вид Ней-
мана — Моргенштерна. Такое представление единственно с точностью до линейного преоб-
разования.

Теорема 84 указывает предположения о предпочтениях на простых лотереях (на множе-
стве S ), гарантирующие существование функции полезности U (p), имеющей вид Неймана —
Моргенштерна. Этих предположений, вообще говоря, недостаточно для того, чтобы гарантиро-
вать существование подобной функции полезности на более сложных лотереях. Однако, если
в дополнение к свойствам (A1)-(A3) предположить, что предпочтения определены на множе-
стве всех лотерей, заданных на X , (т. е. борелевских вероятностных мер на множестве X ) и
непрерывно (в слабой топологии) на этом множестве, то построенную функцию U (p) можно
определить на любой вероятностной борелевской мере стандартным способом, поскольку мно-
жество простых мер является плотным во множестве всех борелевских мер. Читатель может
попробовать доказать соответствующие утверждения самостоятельно, обращаясь, в случае
необходимости, к учебникам по математическому анализу и топологии.
Таким образом, мы можем определить полезность U как функцию от лотереи p ? L. По-
кажем, что эта же функция задает предпочтения на множестве исходных случайных величин
?
x ? X.
?
Действительно эта функция (рассматриваемая как функция U (? )), обладает тем свой-
x
? ?
ством, что если случайным величинам x и y соответствует одна и та же лотерея, то по пред-
? ?
положению (A1 ) x и y эквивалентны, и, следовательно, U (? ) = U (? ). При этом функция
x y
U (? ) оказывается линейной по исходным вероятностям µs . Для того, чтобы это показать,
x
следует вспомнить, как мы построили вероятности p(x), x ? Supp(p), на основе исходных
вероятностей µs :
k k
U= p(x)u(x) = pj u(xj ) =
? µs u(xj ) = µs u(xs ).
j=1 j=1 s:xs =xj
? s?S
x?Supp(p)

Окончательно получаем следующий вид для функции полезности, представляющей исходные
?
предпочтения на X :
U (? ) =
x µs u(xs ).
s?S

Заметим, что, в соответствии с определением функции Неймана — Моргенштерна, ее можно
записать в следующем виде
U (? ) = E u(? ).
x x
где E — оператор математического ожидания. Заметим также, что этот вид не зависит от
предположений о конечности множества состояний мира. Если это множество не является
конечным, то соответствующие суммы по s ? S заменяются интегралами. В дальнейшем
2
Здесь используется не та система аксиом, которая предложена в книге фон Неймана и Моргенштерна. Мы
исходим из ставшего традиционным подхода Н. Йенсена (N. E. Jensen: An Introduction to Bernoullian Utility
Theory, I: Utility Functions, Swedish Journal of Economics 69 (1967): 163–183.
7.2. Представление линейной функцией полезности: доказательство 241

мы чаще всего будем пользоваться оператором E, а не соответствующей суммой, поскольку
это упрощает обозначения и позволяет формулировать и доказывать утверждения в более
общей форме. Что именно спрятано за оператором E имеет значение в основном тогда, когда
требуется брать производные от U (·).
В заключение этого параграфа укажем на на то, что предположение (A1 ) содержательно
далеко не всегда оправдано. Во многих реальных ситуациях польза от блага зависит от того,
в каком состоянии мира происходит потребление этого блага. Можно, например, рассмотреть
два состояния — «солнечная погода» и «дождливая погода» и два блага — солнцезащитные
очки и зонтик. Ясно, что наличие очков в дождливую погоду не приносит никакой пользы
потребителю. То же верно и для зонтика в ясную погоду. Решение этой проблемы состоит в том,
чтобы рассматривать лотереи не на самих по себе потребительских благах, а на тех «услугах»,
которые они оказывают потребителю. В рассматриваемом примере следует перейти от набора
благ (количество солнцезащитных очков, количество зонтиков) к набору услуг, которые они
оказывают: (услуга защиты глаз от солнца, услуга защиты от дождя).
В общем случае, пусть есть функция zs (x), ставящая в соответствие потребительскому на-
бору x в состоянии мира s оказываемые этим набором потребителю услуги z. Предполагается,

<< Предыдущая

стр. 55
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>