<< Предыдущая

стр. 56
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

что польза от услуг уже не связана с состоянием мира. В этом случае можно применить рас-
сматриваемую теорию к лотереям, заданным на z, а потом построить на этой основе функцию
полезности, заданную на наборах благ x. Если u0 (z) — элементарная функция полезности,
заданная на «услугах» благ, то us (x) = u0 (zs (x)) — соответствующая элементарная функция
полезности, заданная на благах. Заметьте, что она зависит от состояния мира. При этом
функция полезности Неймана — Моргенштерна принимает следующий более общий вид:

U= µs us (xs ).
s?S




7.2 Доказательство представимости предпочтений на
множестве простых лотерей линейной функцией
полезности
В этом параграфе нам предстоит доказать Теорему 84. Для упрощения выкладок понадо-
бятся некоторые свойства операции выпуклой комбинации лотерей. Доказательство их доста-
точно очевидно.
Теорема 85:
Операция выпуклой комбинации лотерей на множестве всех простых лотерей S обла-
дает следующими свойствами:
» p 1 q = p,
» p 0 q = q,
» p ? q = q (1 ? ?) p,
» (p ? q) ? (p ? q) = p (?? + (1 ? ?)?) q.

Функция Неймана — Моргенштерна является линейной по вероятностям. Дадим общее
определение линейности функции.
Определение 56:
Будем называть функцию полезности U (·), представляющую предпочтения на лотереях,
линейной, если для произвольных лотерей p, q ? S и числа ? ? [0, 1] верно соотношение

U (p ? q) = ?U (p) + (1 ? ?)U (q).
7.2. Представление линейной функцией полезности: доказательство 242

Докажем, что линейность функции полезности эквивалентна тому, что это функция Ней-
мана — Моргенштерна.
Теорема 86:
Если U (·) является линейной функцией полезности, представляющей предпочтения на
множестве лотерей S , тогда и только тогда, когда она имеет вид Неймана — Моргенштер-
на.

Доказательство: Обозначим через ?(x) лотерею, в которой x является единственным исходом,
т. е.
Supp(?(x)) = {x}.
Определим функцию u(·) на множестве элементарных исходов X по формуле

u(x) = U (?(x)).

Тогда U (p) = x?Supp(p) p(x)u(x). Докажем это утверждение по индукции.
Пусть утверждение доказано для лотерей с k исходами, и пусть p — лотерея с k + 1
исходом. Пусть x — один из этих исходов, т. е. x ? Supp(p). Тогда

p = ?(x ) p(x ) q,

где q — лотерея с Supp(q) = Supp(p)\x и q(x) = p(x)/(1 ? p(x )) ?x ? Supp(q).
В силу линейности функции U (·)

U (?(x ) p(x ) q) = p(x )u(x ) + (1 ? p(x )U (q).

В силу предположения индукции

p(x)/(1 ? p(x ))u(x).
U (q) = q(x)u(x) =
x?Supp(q) x?Supp(q)

В итоге получим требуемый результат
? ?

U (p) = (p(x )u(x ) + (1 ? p(x )) ? p(x)/(1 ? p(x ))u(x)? =
? ?
x?Supp(q)

= p(x)u(x).
x?Supp(p)

Доказательство обратного достаточно очевидно.

Следующая теорема является обратной к той, которую мы хотим доказать.
Теорема 87:
Если предпочтения на множестве лотерей представимы линейной функцией полезности
U (·), то эти предпочтения удовлетворяют свойствам (A1)-(A3).

Доказательство: (A1) Свойство (A1) очевидно.
(A2) (независимость от посторонних альтернатив)
Пусть p q. Тогда U (p) > U (q).
Пусть r — произвольная лотерея, ? — число, 0 < ? 1. Тогда

U (p ? r) = ?U (p) + (1 ? ?)U (r) >

> ?U (q) + (1 ? ?)U (r) = U (q ? r).
7.2. Представление линейной функцией полезности: доказательство 243

Поэтому p ? r q ? r.
(A3) (аксиома исчерпания Архимеда)
Пусть p q r, то есть
U (p) > U (q) > U (r).
Тогда если
U (q) ? U (r)
?> ,
U (p) ? U (r)
то ?(U (p) ? U (r)) > U (q) ? U (r), откуда по свойству линейности p ? r q. Аналогично,
если
U (q) ? U (r)
?< ,
U (p) ? U (r)
то q p ? r.

Если предпочтения участника на лотереях удовлетворяют аксиомам (A1)-(A3), то можно
подобрать линейную функцию полезности, которая представляет предпочтения этого участни-
ка, притом такая линейная функция полезности единственна. Ниже мы докажем это3 , исполь-
зуя следующее вспомогательное предположение (теорема верна и без этого предположения4 ):
(A4) Множество S содержит наихудший w и наилучший b элементы:

b ?p ? S.
w p


Для доказательства этого докажем ряд утверждений. Всюду предполагается, что выполне-
ны свойства (A1)-(A4).
В случае, когда b ? w , все лотереи из множества S эквивалентны и построение функции
полезности с нужными свойствами не вызывает труда:

U (p) = C,

где C — произвольное число. (Понятно, что константа — линейная функция.) Поэтому в
дальнейшем будем считать, что w b.
Теорема 88:
q, и пары чисел ?, ? ? [0, 1] условие
Для любой пары лотерей p, q таких что p

p?q p?q

выполняется тогда и только тогда, когда

? > ?.


Доказательство: Докажем сначала, что из ? > ? следует p ? q p ? q.
В случае ? = 0 рассмотрим лотерею r = p ? q. Для нее выполнено
?

? ?
r ? q = (p q) ? q = p ? q = p ? q.
? ?
3
Эти доказательства можно сделать более элегантными, если предположить конечность множества X .
4
См. напр. P. C. Fishburn: Utility Theory for Decision Making, John Wiley & Sons, 1970 (рус. пер. П. Фиш-
бёрн: Теория полезности для принятия решений, М.: Наука, 1978). Ниже предлагается доказать это утвер-
ждение самостоятельно в виде серии утверждений.
7.2. Представление линейной функцией полезности: доказательство 244
?
? (0, 1] выполнено
Так как p q, то по аксиоме (A2) при ?

? ?
p=p p p q = r.
? ?

r при ? ? (0, 1] позволяет еще раз применить (A2):
Условие p

p?q r ? q,

откуда получаем p ? q p ? q.
?
= 0. В случае ? = 0 соотношение
В предыдущем доказательстве нам требовалось, чтобы ?
p ? q p ? q выполнено, так как

p ? q=p 0 q=q=q ? q

и, кроме того, по (A2) имеем q ? q p ? q.
Докажем обратное. Пусть для некоторых ? и ? выполнено p ? q p ? q, но при
этом ? ? . Если ? > ? , то по только что доказанному p ? q p ? q, что противоречит
асимметричности строгого отношения предпочтения. Если же ? = ? , то p ? q = p ? q,
что противоречит нерефлексивности отношения . Таким образом, утверждение доказано.

Будем обозначать через f (?) выпуклую комбинацией лучшей и худшей лотерей с коэффи-
циентом ? ? [0, 1], т. е.
f (?) = b ? w.
Обозначим множество таких лотерей через f ([0, 1]). Напомним, что мы рассматриваем только
случай b w . Из определения функции f (·) следует, что она задает взаимооднозначное
соответствие между отрезком [0, 1] и множеством f ([0, 1]), поскольку при ? = ? выполнено
f (?) = f (?). Следующее утверждение показывает, что на основании функции f (·) можно
построить функцию полезности.
Теорема 89:
Для любой лотереи p из S найдется единственное число U (p) ? [0, 1] такое, что справед-
ливо f (U (p)) ? p. Функция U (·) является функцией полезности, представляющей данные
предпочтения.


Доказательство: Для любой лотереи p ? S нам нужно установить, что существует эквивалент-
ная ей лотерея из f ([0, 1]).
Когда p ? b либо p ? w доказательство существования числа U (p) тривиально: оно
равно 1 и 0 соответственно.
Рассмотрим случай w p b.
Обозначим множество чисел, соответствующих лотереям из f ([0, 1]), которые лучше p,
через A+ :
A+ = ? ? [0, 1] p f (?) .
Аналогично множество чисел, соответствующих лотереям из f ([0, 1]), которые хуже чем p,
обозначим A? :
A? = ? ? [0, 1] f (?) p .
Эти два множества непусты, так как 1 ? A+ и 0 ? A? .
Так как множества A+ , A? , непусты и ограничены, то существуют числа

?+ = inf A+ , ?? = sup A? .
7.2. Представление линейной функцией полезности: доказательство 245

Для этих чисел справедливо соотношение ?? ?+ ; в противном случае нашелся бы общий
элемент ? ? A? , ? ? A+ , что противоречит нерефлексивности .
f (?? ), т. е. ?+ ? A+ и ?? ? A? . Предположим противное.
Покажем, что f (?+ ) p / /
f (?+ ). В таком случае в силу (A3) существует ? > 0, такое что
Пусть, например, w p
для лотереи w ? f (?+ ) справедливо соотношение

w ? f (?+ ) p.

Поскольку

w ? f (?+ ) = w ? (b ?+ w) = b ?+ (1 ? ?) w = f (?+ (1 ? ?)),

то это означает, что f (?+ (1??)) p. Значит, ?+ (1??) ? A+ , а это противоречит определению
числа ?+ . Итак, предположение f (?+ ) p неверно. Поэтому f (?+ ) p. Рассуждения для
? аналогичны. Таким образом,
?
f (?+ ) p f (?? ).
Если сопоставить это с вытекающим из Теоремы 88 и ?? ?+ соотношением

f (?? ) f (?+ ),

то
f (?? ) ? p ? f (?+ ).
Таким образом, мы можем выбрать U (p) = ?+ . Существование числа U (p) доказано.
Единственность числа U (p) следует из Теоремы 88.
Теперь покажем, что U (p) есть функция полезности. Из Теоремы 88 следует, что из двух
лотерей из f ([0, 1]) хуже та, коэффициент которой меньше и обратно:

f (?) ? ? < ?.
f (?)

Для двух произвольных лотерей p, q ? S соотношение p q эквивалентно тому, что f (U (p))
f (U (q)). Поэтому
p q ? U (p) < U (q).

Докажем теперь, что построенная таким образом функция является единственной линей-
ной функцией, представляющей рассматриваемые предпочтения.
Теорема 90:
Функция полезности U (·), такая что f (U (p)) ? p, является линейной.
Эта функция — единственная (с точностью до линейного преобразования) линейная
функция полезности, представляющая данные предпочтения.

Доказательство: (Линейность)
Мы хотим доказать, что если p, q ? S , ? ? [0, 1], то выполнено

U (p ? q) = ?U (p) + (1 ? ?)U (q).

При ? = 0 и ? = 1 доказываемое очевидно.
Рассмотрим случай 0 < ? < 1.
Пусть утверждение теоремы неверно, например, для некоторых p, q ? S

U (p ? q) < ?U (p) + (1 ? ?)U (q).
7.2. Представление линейной функцией полезности: доказательство 246

Тогда можно подобрать числа 0 ? < U (p) и 0 ? < U (q), такие что

U (p ? q) = ?? + (1 ? ?)?,

<< Предыдущая

стр. 56
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>