<< Предыдущая

стр. 58
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Его потребительский набор имеет вид x = (xA , xB ), где xA и xB — доход, который получит
потребитель, если произойдут события A и B соответственно. Как несложно понять, точка
(E x, U ) лежит на отрезке, соединяющей точки (xA , u(xA )) и (xB , u(xB )) и делит его в от-
?
ношении µB к µA . Здесь E x — ожидаемый доход набора, а U — полезность. Поскольку
?
потребитель не любит риск, то график функции полезности лежит выше указанного отрезка,
и ожидаемая полезность U = E u(?) больше полезности ожидаемого дохода u(E x). Гарантиро-
x ?
ванный эквивалент x выбирается так, чтобы U (?) = u(x? ). Плата за риск ?x равна разности
? x
между ожидаемой доходностью и доходностью гарантированного эквивалента.

Пример 35 (Санкт-Петербургский парадокс6 ):
«Петр бросает вверх монету, пока она не упадет лицевой стороной вверх; если это проис-
ходит после первого броска, он должен дать Павлу 1 дукат, но если только после второго — 2
дуката, после третьего — 4, после четвертого — 8 и так далее, так что после каждого броска
число дукатов удваивается. Спрашивается: какова оценка жребия для Павла?».
Ожидаемый доход от этой игры для Павла бесконечно велик, однако вряд ли кто согласит-
ся заплатить за право участия в такой игре неограниченно большую сумму. В этом и состоит
5
Англ. certainty equivalent.
7.3. Предпочтения потребителя в условиях неопределенности 251

u
u(x)
?x
u(E?)
x
U (?)=Eu(?)
x x




x
xA x? E?
x xB


Рис. 7.4. Различные характеристики лотереи с двумя событиями


парадокс. Объяснение парадокса состоит в том, что «ценность денег» для игрока не являет-
ся постоянной. Она определяется некоторой возрастающей вогнутой элементарной функцией
полезности.
Предположим, что исходный (безрисковый) доход игрока составляет сумму ? дукатов. В
таком случае он сталкивается с лотереей, приносящей ему доход ? + 2k?1 с вероятностью 2?k
(k = 1, 2, . . . , ?). Ожидаемый доход (с учетом цены p, уплаченной за участие в игре) равен
?
2?k (? + 2k?1 ? p) = ?.
Ex =
?
k=1

Если u(·) — элементарная функция полезности игрока, то ожидаемая полезность равна
?
2?k u(? + 2k?1 ? p).
U = E u(?) =
x
k=1

Если x? — безрисковый эквивалент этой лотереи, то игрок будет готов заплатить за право
участвовать в игре x? ? ? .
Например, если u(x) = ln(x) и ? = 100, то максимальная цена, которую Павел будет готов
отдать за участие в игре, определяется уравнением
?
2?k ln(100 + 2k?1 ? p) = ln(100).
k=1

Отсюда, решая численно это уравнение, получим

p ? 4,36 < ?,

то есть несколько больше 4 дукатов.

7.3.1 Задачи
v
 372. Потребитель имеет элементарную функцию полезности u(x) = x. Он получает доход
9 с вероятностью 2/3 и доход 25 с вероятностью 2/3. Найти плату за риск.
 373. Индивидуум имеет функцию полезности типа Неймана — Моргенштерна. Элементар-
ная функция полезности строго возрастает и зависит только от одного аргумента (денег).
Лотерея $3 и $5 с вероятностями 1/2 и 1/2 и лотерея $3 и $9 с вероятностями 2/3 и 1/3
для него эквивалентны. Может ли быть верным, что этот индивидуум
7.3. Предпочтения потребителя в условиях неопределенности 252

(а) рискофоб;
(б) нейтрален к риску;
(в) рискофил?
 374. Пусть есть одно благо (деньги), элементарная функция полезности потребителя имеет
v
вид u(x) = x, а начальный запас (гарантированная сумма) денег равен $9. Существует
лотерейный билет, который может выиграть $0 с вероятностью 0,5 (если выпадет «орел») и
$7 с вероятностью 0,5 («решка»). Рассмотрите три альтернативные ситуации:
(1) За какую сумму x потребитель купил бы такой билет?
(2) За какую сумму y потребитель согласился бы сам эмитировать (продать) такой лоте-
рейный билет (можно считать, что его гарантированный запас состоит из 9-ти билетов по $1
выигрывающих в состоянии мира «орел» и 9-ти по $1 на «решку»)?
(3) Если потребителю подарят такой билет, за какую сумму z он бы его продал?
 375. Рискофоб с элементарной функцией полезности (функцией Бернулли) вида u(x) =
?1/x имеет $900 и лотерейный билет, который дает $900 с вероятностью 1/2 и $0 с вероят-
ностью 1/2. За сколько он продал бы этот билет?
 376. Богатство потребителя равно 100 д. е. Элементарная функция полезности равна квад-
ратному корню из дохода. Лотерейный билет дает выигрыш 0 д. е. с вероятностью ? и 20
д. е. с вероятностью (1 ? ?). Цена билета равна 5 д. е. При каких вероятностях потребитель
(1) купит билет?
(2) продаст билет (сам его эмитирует)?
(3) продаст билет, если ему его подарят?
(Решать не обязательно, достаточно составить неравенство)
 377. Рассмотрим следующую игру: если игрок называет число a, то получает дополнительно
к имеющейся у него сумме ? сумму a с вероятностью 1/3 и (?a) с вероятностью 2/3. Какое
число назовет игрок, предпочтения которого описываются функцией полезности Неймана —
Моргенштерна vэлементарной функцией полезности u(·)?
с
(a) u(x) = x; (b) u(x) = ?e?ax ; 1
(c) u(x) = ? x ;
v
(d) u(x) = ln x; (e) u(x) = ax ? bx2 ; (f) u(x) = a x + bx.
 378. Пусть рискофоб, предпочтения которого описываются функцией полезности Нейма-
v
на — Моргенштерна с элементарной функцией полезности u(x) = x, владеет суммой денег
? рублей и лотерейным билетом, выигрывающим a рублей с вероятностью 1/2. Покажите,
что при уменьшении a до нуля цена, за которую он готов продать этот лотерейный билет,
стремиться к величине ожидаемого (для данного рискофоба) выигрыша по этому билету.
 379. Индивидуум, чьи предпочтения на лотереях описываются функцией полезности Ней-
v
мана — Моргенштерна с элементарной функцией полезности u(x) = x, располагает суммой
денег ? рублей. Ему предлагают приобрести лотерейный билет, выигрывающий a рублей с
вероятностью 1/2. Пусть p — максимальная цена, которую он готов уплатить за лотерейный
билет.
(1) Чему равна p при ? = 9 и a = 16?
(2) Покажите, что p . . .
- растет при увеличении величины выигрыша a;
- растет при увеличении суммы денег ? ;
- не может превышать величину a/4 рублей.
 380. Нейтральный к риску фермер может посеять капусту на берегу реки и получить доход
$1000, но рискует потерять весь урожай при наводнении. Он может посеять вдали от берега,
где урожайность на 20% меньше, но нет риска. Фермер оценивает вероятность наводнения
в 0,1. Как он поступит без дополнительной информации? Сколько бы он отдал за точную
информацию о наводнении?
7.4. Задача потребителя при риске 253

 381. Золотоискатель с запасом $900, полезностью типа Неймана — Моргенштерна и функ-
v
цией Бернулли вида u(x) = x решает, купить ли по цене $300 золотоносный участок, где с
равной вероятностью ожидает выигрыш в $900 или ничего.
За сколько он купил бы у геолога соответствующий прогноз, если положительный прогноз
означает, что с вероятностью 0,75 золото есть, а отрицательный — что с вероятность 0,75
золота нет?


7.4 Задача потребителя при риске
В экономике с неопределенностью естественно ожидать заключения контрактов, условных
по состояниям мира. Соответственно, блага следует рассматривать как условные по состояни-
ям мира — контингентные (условно-случайные) блага. Каждое контингентное благо характе-
ризуется парой (k, s). Контингентное благо естественно интерпретировать как актив, дающий
право получить единицу блага k если (и только если) реализуется состояние мира s. Такой
актив получил название актива Эрроу. (Нам понадобится понятие актива Эрроу ниже, когда
речь пойдет о модели Раднера. В данном контексте это только интерпретация контингентного
блага.)
Если ничто не препятствует заключению контрактов условных по состояниям мира (т. е.
купле-продаже контингентных благ), то можно предположить, что любое контингентное благо
можно обменять на любое другое контингентное благо. Иными словами, можно предположить,
что любое благо k1 в любом состоянии мира s1 можно поменять (прямо или косвенно) на лю-
бое благо k2 в любом состоянии мира s2 . Это предположение о полноте рынков контингентных
благ.
Следует отметить, что предположение о полноте рынков контингентных благ является до-
статочно ограничительным и, как правило, не позволяет адекватно моделировать реальные
рынки с риском. Тем не менее, модели, основанные на этом предположении, оказывается по-
лезными при анализе реальных феноменов и понимании причин фиаско рынка при наличии
неопределенности.
Другое предположение, которое мы сделаем — это предположение о свободной конкурен-
ции на рынках контингентных благ. С точки зрения задачи потребителя — это стандартное
предположение о том, что потребитель считает цены данными. Через pks мы будем обозначать
рыночную цену контингентного блага (k, s) (это цена контракта на поставку единицы блага k
в ситуации, если реализуется состояние мира s, т. е. цена соответствующего актива Эрроу).
Эти предположения позволяют записать задачу потребителя:
µs ui (xis ) > max
Ui (xi ) =
xi
s?S

pks xiks pks ?iks ,
s?S k?K s?S k?K
xis ? Xi ?s ? S.
По сути, задача потребителя имеет тот же вид, что и в классической модели, только ин-
декс блага становится двойным, и суммирование в бюджетном ограничении идет по двум
индексам — k и s. Дифференциальная характеристика внутреннего решения задачи потреби-
теля тоже совершенно аналогична дифференциальной характеристике выбора потребителя в
отсутствии неопределенности:
?Ui /?xik1 s1 pk s
= 1 1 , ?k1 , k2 ? K, ?s1 , s2 ? S.
?Ui /?xik2 s2 pk2 s 2
С учетом того, что целевая функция имеет специфический вид (Неймана — Моргенштер-
на), дифференциальную характеристику можно переписать в терминах элементарной функции
7.4. Задача потребителя при риске 254

полезности:
µs1 uik1 (xis1 ) pk s
= 1 1 , ?k1 , k2 ? K, ?s1 , s2 ? S,
µs2 uik2 (xis2 ) pk2 s 2
где uik (·) — производная элементарной функции полезности по k -му благу.
Проиллюстрируем введенные понятия простым примером.
Пример 36 ((Задача страхования имущества)):
Предположим, что потребитель имеет имущество стоимостью ?1 , которое в случае состо-
яния мира 1 (при отсутствии пожара) сохранится, а в случае пожара — состояния мира 2 —
окажется равным ?2 (?2 < ?1 ). На (совершенном) рынке страховых услуг этот потребитель
может приобрести страховой контракт (? , y ), где — ? ? [0, 1] — цена контракта, а y —
страховая сумма. То есть если потребитель застрахуется на сумму y , то он вне зависимости
от состояния мира заплатит ?y и получит y в случае пожара. Таким образом, при отсутствии
пожара доход потребителя будет равен

x1 = ?1 ? ?y,

если же пожар произойдет, то доход составит

x2 = ?2 + y ? ?y.

Таким образом, мы имеем одно благо — деньги, и два состояния мира (отсутствие и наличие
страхового случая).
Бюджетное ограничение того вида, что выше (в терминах контингентных потребительских
наборов), можем получить, исключив y :

(1 ? ?)x1 + ?x2 (1 ? ?)?1 + ??2 .

Покупая страховой контракт, потребитель тем самым меняет благо ‘деньги в состоянии 1’ на
благо ‘деньги в состоянии 2’ в отношении

p1 /p2 = (1 ? ?)/?.

Предположим далее, что потребитель имеет функцию полезности типа Неймана — Морген-
штерна
U = (1 ? µ)u(x1 ) + µu(x2 ),
такую что производная элементарной функции полезности u (·) положительна и строго убы-
вает (т. е. потребитель характеризуется строгим неприятием риска), где µ — вероятность
пожара. Дифференциальная характеристика решения задачи потребителя как обычно имеет
вид
(1 ? µ)u (x1 ) 1??
?U/?x1
= = .
?U/?x2 µu (x2 ) ?
Опираясь на то, что u (·) — убывающая функция, можно сделать выводы об оптимальном
решении потребителя в зависимости от соотношения вероятности пожара µ и цены страховки
? . При ? = µ (актуарно справедливая цена страховки) имеем

u (x1 ) = u (x2 ).

Таким образом, в этом случае потребитель застрахуется на такую сумму, что x1 = x2 , то есть
на всю сумму потенциального ущерба:

y = ?1 ? ?2 .
7.4. Задача потребителя при риске 255

?<µ
x2



?=µ




?>µ
? x1


Рис. 7.5. Иллюстрация различных соотношений между ценой и вероятностью в задаче
страхования имущества

<< Предыдущая

стр. 58
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>