<< Предыдущая

стр. 59
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


Нетрудно проверить, что если цена будет высокой (? > µ), то он застрахуется так, что

u (x1 ) < u (x2 ),

откуда x1 > x2 . То есть страховая сумму будет меньше величины ущерба. Наоборот, при ? < µ
страховая сумма будет превосходить величину ущерба.
?? Нет ссылки на рисунок
В предположении, что потребитель является рискофобом, этот результат обобщить на слу-
чай, когда элементарная функция полезности недифференцируема.
?
Будем рассматривать доход потребителя как случайную величину x , которая принимает
значение x1 с вероятностью (1 ? µ), и x2 с вероятностью µ.
Тогда при ? = µ ожидаемый доход E x равен (1 ? ?)?1 + ??1 , то есть не зависит от суммы
?
страховки y . Рискофоб предпочитает среди таких лотерей ту, которая не связана с риском, то
есть дает один и тот же доход вне зависимости от состояния мира. А к такой лотерее приводит
страхование на полную сумму потерь.
?
При ? > µ (? < µ) с ростом страховой суммы y величина ожидаемого дохода E x умень-
шается (увеличивается). Поэтому потребителю не выгодно выбирать y больше (меньше) вели-
чины ущерба. Действительно, если он застрахуется на величину ущерба, то риск будет отсут-
?1 ? ?2 ,
?
ствовать, а ожидаемый доход E x будет выше. Таким образом, если ? > µ, то y
а если ? < µ, то y ?1 ? ?2 . Строгие неравенства можно гарантировать только при диффе-
ренцируемости. Если функция полезности недифференцируема, то при ? = µ оптимальным
может быть страхование на полную сумму ущерба (y = ?1 ? ?2 ).


7.4.1 Задачи

 382. Предпочтения судовладельца описываются функцией полезности типа Неймана — Мор-
генштерна с элементарной функцией полезности от богатства x вида u(x), причем u(·) имеет
положительную убывающую производную. Он владеет богатством $40000 и может потерять
в случае аварии судна $10000.
(A) Пусть вероятность аварии равна 0,02 и известно, что он застраховался на сумму $9000.
Возможно ли, что цена страхования на $1 равна $0,02? Если нет, то больше или меньше, чем
$0,02? Объясните.
(B) Пусть цена страхования на $1 равна $0,02 и известно, что он застраховался на сумму
$11000. Возможно ли, что вероятность аварии равна 0,02? Если нет, то больше или меньше,
чем 0,02? Объясните.
7.5. Модель инвестора (выбор оптимального портфеля) 256

(C) Пусть вероятность аварии равна 0,01 и известно, что цена страхования на $1 равна
$0,02. Возможно ли, что он застраховался на сумму $10000? Если нет, то больше или меньше,
чем $10000? Объясните.
 383. Предположим, что в ситуации задачи 381 на с. 253 золотоискатель не купил прогноз,
а застраховался на сумму в $300 на случай отсутствия золота и купил участок. По какой цене
продавались страховые контракты?
 384. Приведите пример, когда оптимальным является страхование на полную сумму ущерба
при том, что цена страховки не является актуарно справедливой.
 385. Пусть в экономике с риском с одним физическим благом предпочтения потребителя-
рискофоба представимы функцией Неймана — Моргенштерна. Покажите, что предельная нор-
ма замещения блага в состоянии мира s на благо в состоянии мира t убывает при росте
его потребления в состоянии мира s и равна отношению вероятностей этих состояний, когда
потребление одинаково.
 386. Пусть в экономике с риском цены благ пропорциональны вероятностям состояний мира.
(А) Докажите, что рискофоб, предпочтения которого представимы функцией Неймана —
Моргенштерна, выберет такой набор, что потребление каждого блага не зависит от состояние
мира.
(Б) Продемонстрируйте, что обратное утверждение неверно, приведя соответствующий
контрпример.
(В) Продемонстрируйте, что предположение о том, что потребитель — рискофоб, суще-
ственно, приведя соответствующий контрпример.
 387. Пусть в экономике с риском при ценах p потребитель с локально ненасыщаемыми
предпочтениями выбрал набор x. Рассмотрим потребительский набор, равный ожидаемому
? ?
потреблению, т. е. x = s?S µs xs и «агрегированный» вектор цен p = s?S ps .
??
(А) Покажите, что px s?S ps xs .
(Б) Покажите, что если потребитель является рискофобом и в равновесии потребление
хотя бы одного из благ различно хотя бы в двух состояниях мира, то неравенство строгое.



7.5 Модель инвестора (выбор оптимального портфеля)
К выбору наиболее предпочтительной денежной лотереи сводятся многочисленные модели
инвестиционного повеления.
Мы проиллюстрируем этот анализ на основе следующей простой двухпериодной модели.
Рассмотрим задачу распределения одного блага — капитала7 — между несколькими ак-
тивами k ? K = {1, . . . , l}. Модель двухпериодная. В первый период инвестор вкладывает
капитал в активы, а во второй получает доход с этих активов. Величину капитала будем обо-
значать ? (? > 0).
Каждый актив характеризуется своей доходностью (отношением чистого дохода от едини-
цы актива к цене). Пусть rk — валовая доходность k -го актива, т. е. валовой доход на рубль
?
вложений. Волна означает, что это случайная величина. Если считать пространство состоя-
ний мира дискретным, как и выше, то доходность rk — дискретная случайная величина и
?
принимает значения rks (s ? S ) с соответствующими вероятностями µs .
Инвестор должен выбрать размеры вложений zk в каждый из доступных активов k ? K
при следующих ограничениях:

7
Возможно, первоначально капитал размером имеется в виде безрискового актива k = 0 (см. далее). Может
быть, начальный запас имеет более общий вид:
(?0 , . . . , ?l ) :?????k = ? .
r
7.5. Модель инвестора (выбор оптимального портфеля) 257

W Можно покупать актив, но не эмитировать его, т. е.

zk 0.

W Общая сумма вложений не должна превышать величину капитала, т. е.

zk ?.
k?K

Последнее неравенство представляет собой аналог бюджетного ограничения.
Вектор {zk }k?K будем называть портфелем. Общий (валовой) доход от портфеля равен:

x=
? zk r k .
?
k?K

Если пространство состояний мира дискретное, то доход от портфеля x — дискретная слу-
?
чайная величина и принимает значения

xs = zk rks
k?K

с вероятностями µs .
Как обычно, предполагаем, что предпочтения инвестора описывается функцией типа Ней-
мана — Моргенштерна
U = E u(?) =
x µs u(xs ).
s?S

В дальнейшем мы везде будем считать, что u(·) — дифференцируемая функция, причем про-
изводная u (·) положительна и убывает (инвестор — рискофоб).
Поскольку капитал ? — постоянная величина (выбор между накоплением и потреблением
остается за рамками модели), то полезность определяется структурой портфеля, и можно вместо
величины вложений в k -й актив, zk , рассматривать долю этого актива в портфеле

?k = zk /?.

Тогда
x=?
? ?k rk .
?
k?K

Получим следующую задачу:

?k rk ) > max . 0, ?k ? K.
U = E u(?) = E u(?
x ? ?k 1, ?k
?k
k?K k?K

Принято вводить еще безрисковый актив k = 0 с гарантированной доходностью rk = r0
?
(его можно интерпретировать как государственные ценные бумаги или вклад до востребова-
ния). Этот актив имеет одну и ту же доходность r0 независимо от состояния мира. При этом
K = {0, . . . , l}.
Еще одно предположение, которое принято делать — нет ограничения на неотрицатель-
ность вложений в безрисковый актив, т. е. может быть ?k < 0. Интерпретация — можно
взять кредит на любую сумму по той же ставке r0 .
Так как производная u (x) положительна, то целевая функция ненасыщаема и поэтому
«бюджетное ограничение» в задаче инвестора выходит на равенство, т. е. ?0 = 1 ? k=0 ?k .
Исключив ?0 , преобразуем задачу инвестора к виду

?k (?k ? r0 ))) > max .
E u(?(r0 + r
?k
k=0
7.5. Модель инвестора (выбор оптимального портфеля) 258

При соответствующих условиях регулярности производная математического ожидания равна
математическому ожиданию производной8 . Будем предполагать, что эти условия выполнены.
Тогда условие первого порядка решения задачи инвестора имеет вид

E[u (?)?(?k ? r0 )] 0, ?k = 0.
xr

Кроме того, если ?k > 0, то это условие выполняется как равенство

E[u (?)?(?k ? r0 )] = 0.
xr

или
E[u (?)?k ] = r0 E u (?).
xr x
Нетрудно проверить, что в силу свойств функции u(·) (инвестор — рискофоб) и линейности
оператора E, ожидаемая полезность портфеля, как функция долей вложений в соответству-
ющие активы, является вогнутой. Поэтому эти условия являются достаточными условиями
оптимальности портфеля.
Рассмотрим частный случай этой задачи. Пусть есть два актива — безрисковый и один
рискованный. Задача инвестора имеет вид:

E u(?(?0 r0 + ?1 r1 )) > max .
?
?0 ,?1

?0 + ?1 1,
?1 0.

Исключив ?0 , получим следующую задачу одномерной максимизации:

U = E u(?(r0 + ?1 (?1 ? r0 ))) > max .
r
?1 0

Обозначим максимизируемую функцию через U (?1 ) и вычислим ее производную:
?U (?1 )
= E[u (?(r0 + ?1 (?1 ? r0 )))?(?1 ? r0 )] =
r r
??1
= ?(E[u (?)?1 ] ? r0 E u (?)).
xr x

Решение задачи инвестора (если оно существует) может быть внутренним (?1 > 0) либо гра-
ничным (?1 = 0).
1) Если в оптимальном портфеле ?1 > 0, то ?U (?1 )/??1 = 0, откуда

E[u (?)?1 ] = r0 E u (?).
xr x

Заметим, что в рассматриваемом случае u (?) является убывающей функцией r1 , поэтому
x ?

E[u (?)?1 ] < E u (?) E r1 .
xr x?

(Ковариация u (?) и r1 отрицательна). Таким образом, поскольку E u (?) > 0 (ожидание по-
x ? x
ложительной случайной величины положительно), необходимое условие внутреннего решения
состоит в том, что r0 < E r1
?
2) Если в оптимальном портфеле ?1 = 0, то x = ?r0 (т. е. доход портфеля — не случайная
?
величина). Значит,
?U (?1 )
= ?u (?r0 )(E r1 ? r0 ).
?
??1
8
Достаточно, чтобы пространство состояний мира было дискретно. Для непрерывных распределений усло-
вие регулярности заключается в том, что носитель распределения не зависит от параметра, по которому берется
производная.
7.5. Модель инвестора (выбор оптимального портфеля) 259

Поскольку для граничного решения ?U (?1 )/??1 0 и производная элементарной функции
полезности положительна, то получим следующее необходимое условие оптимальности гранич-
ного решения:
E r1 r0 .
?



Внутреннее Граничное
решение решение
U (?1 )

Решение
U (?1 ) U (?1 )
отсутствует


?1 ?1 ?1


Рис. 7.6. Возможные ситуации в случае выбора из двух активов

Отсюда следует, что необходимым и достаточным условием того, что 1-й актив войдет
в портфель (?1 > 0) является то, что его ожидаемая доходность больше гарантированной

<< Предыдущая

стр. 59
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>