<< Предыдущая

стр. 6
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

sumption Theory, Econometrica 29 (1961): 704–740 и G. Stigler: The Development of Utility Theory, Journal of
Political Economy 58 (1950): 307–327, 373–396.
2.4. Представление предпочтений функцией полезности 26

? ? («лучше или безразлично»). Если для каждой пары наборов x, y ? X выпол-
=
нено не более, чем одно из соотношений x y , x y , x ? y 18 , то, зная , отношения и
? можно однозначно восстановить по следующим правилам:

x y, если x y и (y x); (P4)
x ? y, если x yиy x. (P5)

В нижеприведенной теореме мы будем исходить именно из этих допущений.
Теорема 6:
, , ? , задан-
Если существует функция полезности, представляющая предпочтения
ные на X , то эти предпочтения являются неоклассическими.

Доказательство: Поскольку отношение , заданное на множестве определения функции полез-
ности (подмножестве R), является полным и транзитивным, то отношение на X тоже полно
и транзитивно. Кроме того, очевидно, что (P5) совпадает с (P3), а (P4) при полноте эквива-
лентно (P1). Таким образом, согласно пункту (ii) Теоремы 3 рассматриваемые предпочтения
являются неоклассическими.

Как несложно понять, если предпочтения являются неоклассическими, то для того, чтобы
проверить, представляет ли их данная функция u(·), достаточно проверить, что для всякой
пары альтернатив x, y ? X соотношение x y верно тогда и только тогда, когда u(x) > u(y).
В дальнейшем в этой главе (за исключением задач и приложения, посвященного пред-
почтениям, отличным от неоклассических) мы будем рассматривать только неоклассические
предпочтения и во многих случаях не будем оговаривать это особо, говоря просто «предпочте-
ния».
Отметим, что когда множество альтернатив не более чем счетное (например, счетное),
условие, что предпочтения являются неоклассическими, является достаточным для суще-
ствования функции полезности. (Множество альтернатив будет счетным, например, когда все
блага потребляются только в целых количествах.)
Теорема 7:
Если множество альтернатив X не более чем счетно, то для любых неоклассических
предпочтений на X существует представляющая их функция полезности.

Доказательство: Поскольку множество альтернатив X не более чем счетно, то его можно пред-
ставить в виде последовательности альтернатив xi , i = 1, 2, . . .. Доказательство утверждения
строится в виде алгоритма.
Пусть мы уже присвоили величину полезности первым N альтернативам из данной после-
довательности. Требуется присвоить величину полезности альтернативе xN +1 . Рассмотрим
два подмножества множества AN = {x1 , . . . , xN }:

AN = x ? AN x xN +1 и AN = x ? AN xN +1 x.
?
+

Обозначим через x такой элемент множества AN , что x x для всех x ? AN . В случае
? ?
+ +
неединственности такого элемента берем любой из них. Аналогичным образом обозначим через
x такой элемент множества AN , что x x для всех x ? AN . Существование x (при непустом
? ? ?
? ?
N ) и x (при непустом множестве AN ) следует из полноты и транзитивности
?
множестве A+ ?
отношения . Доказательство этого оставляется в качестве упражнения19 .
Возможны 4 случая:
18
Естественно предположить также, в качестве минимального требования рациональности, что нестрогое
отношение предпочтения удовлетворяет условию рефлексивности ( x x ).
19
См. задачу 34. См. также Теорему 15.
2.4. Представление предпочтений функцией полезности 27

• AN = ?. Тогда можно взять u(xN +1 ) = u(? ) + 1.
x
+

• AN = ?. Тогда можно взять u(xN +1 ) = u(? ) ? 1.
x
?

• AN = ?, AN = ?, AN ? AN = ?. Тогда можно взять u(xN +1 ) = (u(? ) + u(? ))/2.
x x
? ?
+ +

• AN = ?, AN = ?, AN ? AN = ?. В этом случае берем u(xN +1 ) = u(x), где x —
? ?
+ +
произвольный элемент множества AN ? AN (по построению все элементы множества
?
+
N ? AN имеют одну и ту же полезность).
A+ ?
Чтобы закончить описание алгоритма, положим A1 = {x1 } и u(x1 ) = 0. Заметим, что при
таком построении функции полезности свойство
y ? u(x)
x u(y)
выполнено для всех x, y ? AN при произвольном N (см. задачу 35). Поэтому построенная
таким образом функция u(·) действительно является функцией полезности.
Если же множество альтернатив не является счетным, то утверждение в общем случае
неверно. Это показывает, пример предпочтений на основе лексикографического упорядочения
потребительских наборов из R2 .
+
Пример 4:
Лексикографическое упорядочение называется так, поскольку оно ранжирует наборы по-
добно правилу расположения слов в словаре. В двумерном случае (X = R2 ) чем больше
+
первого блага, тем лучше набор, а если количество первого блага в двух наборах одинаково,
то имеет значение количество второго блага. Таким образом, согласно этому упорядочению x
лучше y (x L y ), если x1 > y1 или же если x1 = y1 и x2 > y2 . Таким образом заданное упо-
рядочение L удовлетворяет свойствам асимметричности и отрицательной транзитивности.
Однако соответствующие неоклассические предпочтения не представляются никаким числен-
ным индикатором полезности. Докажем это.
Предположим противное. Пусть существует соответствующая этим предпочтениям функ-
ция полезности, т. е. функция (принимающая действительные значения), такая что
L
y ? uL (x1 , x2 ) > uL (y1 , y2 ).
x
Сопоставим каждому неотрицательному действительному числу x1 некоторое рациональное
число r(x1 ), такое что uL (x1 , 2) > r(x1 ) > uL (x1 , 1). Такое r(x1 ) найдется, поскольку множе-
ство рациональных чисел всюду плотно в множестве действительных чисел.
Если x1 , x1 0 — два числа, таких что x1 > x1 , то по определению лексикографиче-
ского упорядочения имеем uL (x1 , 1) > uL (x1 , 2). Кроме того, uL (x1 , 2) > r(x1 ) > uL (x1 , 1) и
uL (x1 , 2) > r(x1 ) > uL (x1 , 1). В силу этих соотношений имеем
r(x1 ) > uL (x1 , 1) > uL (x1 , 2) > r(x1 ).
Тем самым, из того, что x1 > x1 имеем, что r(x1 ) > r(x1 ). В силу этого r(·) является взаим-
нооднозначной функцией. Область определения этой функции — неотрицательные действи-
тельные числа (это множество является континуумом), а область значения — некоторое под-
множество множества рациональных чисел (т. е. счетное множество). Подобное невозможно,
так как невозможно построить взаимнооднозначное соответствие между счетным множеством
и континуумом. Таким образом, мы пришли к противоречию, и, тем самым, доказали, что не
существует функции полезности, соответствующей лексикографическому упорядочению.
Отметим, что, однако, существует ряд случаев, для которых можно гарантировать суще-
ствование функции полезности, даже если множество альтернатив не является конечным или
счетным. Так, например, Жерар Дебре20 доказал, что функция полезности существует, если
20
G. Debreu: Representation of a Preference Ordering by a Numerical Function, in Decision Processes,
R. M. Thrall et al. (ed.), New York: John Wiley & Sons, 1954.
2.4. Представление предпочтений функцией полезности 28

предпочтения непрерывны. Существует несколько эквивалентных определений непрерывно-
сти. Мы дадим одно из таких определений, а затем укажем другие возможные определения.
Определение 8:
, , ? на X ? Rl , называются непрерывными, если
Неоклассические предпочтения
для любых сходящихся последовательностей допустимых наборов {xn }, {yn } (xn , yn ? X ),
таких что xn yn при всех n, пределы которых x = limn>? xn и y = limn>? yn являются
допустимыми наборами (x, y ? X ), выполнено x y .

Следующая теорема указывает некоторые альтернативные определения непрерывности21
Теорема 8:
, , ? — неоклассические предпочтения на X ? Rl . Тогда следующие утвер-
Пусть
ждения эквивалентны:

(1) предпочтения непрерывны в смысле Определения 8;

y }, так и множество L? (x) =
(2) для любого x ? X как множество L+ (x) = { y ? X x
{ y ? X x y } замкнуто (в Rl ).

y (x, y ? X ), то существуют ?-окрестности Vx и Vy точек x и y соответ-
(3) если x
ственно, такие что для любых x ? Vx ? X и y ? Vy ? X выполнено x y.


Доказательство: Доказательство проведем по схеме 1 ? 2 ? 3 ? 1.
(1) ? (2) Возьмем произвольный набор x ? X и любую сходящуюся последовательность
{yn }, целиком лежащую в L+ (x). Пусть y — предел этой последовательности22 . По опреде-
лению L+ (x) для любого n выполнено x yn . Поскольку предпочтения непрерывны, отсюда
следует, что x y , т. е. y ? L+ (x). Замкнутость второго множества доказывается аналогично.
(2) ? (3) Прежде всего, заметим, что множество L+ (x) замкнуто тогда, и только тогда,
когда его дополнение в Rl , множество Rl \L+ (x), открыто. Аналогично, L? (x) замкнуто тогда,
и только тогда, когда Rl \L? (x) открыто.
Пусть x y . Рассмотрим два возможных случая.
(a) Существует набор z ? X , такой что x z y . Тогда x лежит в открытом множестве
l \L? (z) и поэтому существует ?-окрестность этого набора, V , целиком лежащая в Rl \L? (z).
R x
l \L+ (z) вместе с некоторой окрестностью V .
Аналогично, y лежит в R y
(b) Не существует набора z ? X такого, что x z y . Набор x лежит в Rl \L? (y) вместе
с некоторой окрестностью Vx , а y лежит в Rl \L+ (x) вместе с некоторой окрестностью Vy .
Читателю предлагается самостоятельно проверить, что в каждом из случаев (a), (b) для
любых x ? Vx ? X и y ? Vy ? X выполнено x y (см. задачу 41).
21
Мы исходим, из того, что X является подмножеством Rl . Однако приведенные альтернативные определе-
ния, фактически, являются более общими и могут быть применены с определенными поправками к множествам
допустимых потребительских наборов другой природы. Поправки состоят в том, чтобы рассматривать все от-
носительно X (как если бы точек вне X не существовало):
• для любого x ? X как множество L+ (x) , так и множество L? (x) замкнуто в X (аналог определения
(2) из Теоремы 8);
• для любого x ? X как множество L++ (x) = { y ? X x y } , так и множество L-- (x) = { y ? X x y}
открыто в X (очевидная переформулировка предыдущего определения);
• множество открыто в X ? X (аналог определения (3) из Теоремы 8);
• множество замкнуто в X ? X (очевидная переформулировка предыдущего определения и аналог
исходного определения непрерывности).
Соответственно, приведенное доказательство эквивалентности определений подходит практически без измене-
ний.
22
Как обычно, предполагается, что X замкнуто и поэтому y ? X .
2.4. Представление предпочтений функцией полезности 29

(3) ? (1) Возьмем некоторые сходящиеся последовательности допустимых наборов {xn },
{yn }, такие что xn yn ?n. Если бы y x, где x = limn>? xn , y = limn>? yn , тогда
для точек x, y нашлись бы окрестности Vx и Vy , такие что для любых допустимых наборов
x ? Vx и y ? Vy выполнено y x . Это означает, что при достаточно больших значениях n
имеем yn xn , что противоречит xn yn . Таким образом, получили, что x y .

Приведенные эквивалентные определения непрерывности позволяют выявить содержатель-
ный смысл понятия непрерывности: если мы явно предпочитаем один из наборов другому, то
при рассмотрении достаточно близких наборов наша ранжировка сохранится. Кроме того, со-
гласно этой теореме непрерывность предпочтений можно переформулировать как требование
замкнутости верхнего и нижнего лебеговских множеств23 .
Пример 5 (продолжение Примера 4):
В случае лексикографических предпочтений на R2 для любого x ? R2 множества L+ (x) и
+ +
? (x) не являются ни замкнутыми, ни открытыми. Здесь L задается на основе L обычным
L
образом. Несложно увидеть, что
L
y ? ((x1 > y1 ) или (x1 = y1 и x2
x y2 )).


x2



L+ (x)
x


x1


Рис. 2.2. Верхнее лебеговское множество для лексикографического упорядочения

Рис. 2.2 показывает одно из верхних лебеговских множеств для лексикографических пред-
почтений. Очевидно, что изображенное на рисунке множество L+ (x) не является ни замкну-
тым, ни открытым, и, таким образом, лексикографические предпочтения не являются непре-
рывными. (То же самое имеет место и для L? (x).)

Теперь сформулируем и частично докажем анонсированную выше теорему Ж. Дебре о
существовании функции полезности, представляющей неоклассические предпочтения.
Теорема 9:
Для любых непрерывных неоклассических предпочтений на X ? Rl существует пред-
ставляющая их непрерывная функция полезности.

Доказательство: Как уже говорилось, мы не будем полностью доказывать этот результат. До-
кажем только часть его, а именно, существование функции полезности. За доказательством
непрерывности заинтересованный читатель отсылается к оригинальной работе Траута Раде-
ра24 , чей вариант доказательства теоремы Дебре мы здесь приводим.
Рассмотрим систему шаров в Rl с рациональными центрами и радиусами. Очевидно, что
таких шаров счетное число. На основании этих шаров построим систему множеств {On }+? n=1
23
Иногда, свойство замкнутости верхнего (нижнего) лебеговского множества называют полунепрерывностью
предпочтений сверху (снизу).
24
На самом деле, построенная функция полезности не будет непрерывной. Чтобы получить непрерывную
функцию, требуется еще «склеить» разрывы. См. J. T. Rader: The Existence of a Utility Function to Represent
Preferences, Review of Economic Studies 30 (1963): 229–232.
2.4. Представление предпочтений функцией полезности 30

по следующему принципу: в эту систему попадают непустые пересечения исходной системы
шаров с множеством X . Обозначим через L-- (x) множество потребительских наборов из X ,
которые строго хуже x, т. е. L-- (x) = { y ? X | x y }. Введем в рассмотрение множество
индексов тех множеств On , все точки которых хуже x: N (x) = { n | On ? L-- (x) }.
Покажем, что n?N (x) On = L-- (x). Включение n?N (x) On ? L-- (x) очевидно, так как для
каждого n ? N (x) выполнено On ? L-- (x).
Докажем обратное включение L-- (x) ? n?N (x) On . Возьмем некоторую точку y ? L-- (x).
Множество Rl \L+ (x) открыто (так как L+ (x) замкнуто), и ему принадлежит точка y (так
как L-- (x) ? Rl \L+ (x)). В это множество можно вписать шар с рациональными центром и ра-
диусом, содержащий точку y . Другими словами, существует множество On , которое содержит

<< Предыдущая

стр. 6
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>