<< Предыдущая

стр. 60
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(E r1 > r0 ).
?
Тот факт, что для случая двух активов условие E r1 > r0 является достаточным, является
?
частным случаем более общего результата, который называется теоремой о диверсификации.
Теорема 92 ((теорема Самуэльсона о диверсификации9 )):
Пусть инвестор характеризуется целевой функцией типа Неймана — Моргенштерна с
элементарной функцией полезности u(·), и пусть, кроме того,
функция u (x) положительна и убывает;
доходности активов (статистически) независимы10 ;
ограничение ?0 0 несущественно;
выполнены условия регулярности, обеспечивающие, что производная математическо-
го ожидания равна математическому ожиданию производной.
Тогда любой актив k ? K , ожидаемая доходность которого выше доходности безриско-
вого актива (E rk > r0 ) войдет в портфель, т. е. ?k > 0.
?

Доказательство: Как мы видели ранее, условие первого порядка для задачи инвестора имеет
вид (постоянный множитель ? > 0 можно сократить)

E[u (?)(?k ? r0 )] 0, ?k = 0,
xr

Предположим, что ?k = 0, k = 0 (k -й актив не входит в портфель). При этом величины rk
?
и x должны быть между собой независимы ( x зависит только от доходностей остальных ак-
? ?
тивов). Следовательно, rk и u (?) также независимы (функции от независимых случайных
? x
величин тоже независимы). Воспользовавшись тем, что математическое ожидание произве-
дения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий,
получим, что
E rk E u (?) r0 E u (?).
? x x
Так как E u (?) > 0, то E rk
x ? r0 . Следовательно, если E rk > r0 , то не может быть ?k = 0,
?
т. е. такой актив войдет в портфель.
10
В модели Марковица достаточно некоррелированности (см. ниже).
7.5. Модель инвестора (выбор оптимального портфеля) 260

Если несколько преобразовать условие первого порядка, можно привести интересную его
интерпретацию.
По определению ковариации для двух случайных величин ? и ? выполнено

E(??) = Cov(?, ?) + E(?) E(?).

С учетом этого соотношения условия оптимальности (если k -й актив вошел в портфель, т. е.
?k > 0),
E[u (?)?k ] = r0 E u (?).
xr x
можем записать в виде
Cov(u (?), rk )
x?
E rk = r0 ?
? .
E u (?)
x
Второе слагаемое этого выражения — величина
Cov(u (?), rk )
x?
?
E u (?)
x
представляет собой превышение ожидаемой доходности k -го актива над доходностью без-
рискового актива и носит название премии за риск.
Заметим, что полученное соотношение означает, что включение актива в оптимальный
портфель определяется не только его средней доходностью, но и величиной корреляции его
доходности с доходностью всего портфеля. Премия за риск является положительной, если до-
ходность актива и доходность портфеля положительно коррелированны. Это объясняется тем,
что если доходность актива и доходность портфеля положительно коррелированны, то доход-
ность актива и предельная полезность отрицательно коррелированны, поскольку предельная
полезность у рискофоба является убывающей функцией. Следовательно, такой актив вклю-
чается в оптимальный портфель, только если он характеризуется положительной премией за
риск.
С другой стороны, премия за риск является отрицательной, если доходность актива и
доходность портфеля отрицательно коррелированны. Такой актив может входить в оптималь-
ный портфель, несмотря на то, что он характеризуется отрицательной премией за риск. Этот
феномен называется хеджированием. Так, например, у страховых полисов ожидаемая чистая
доходность, как правило, меньше нуля, но они часто включаются в портфель рискофоба, так
как их доходность отрицательно коррелирует с ожидаемым доходом от портфеля.

7.5.1 Задачи
 388. Пусть инвестор с полезностью типа Неймана — Моргенштерна сталкивается с m ак-
тивами один из которых — гарантированный, с возможностью кредита. Какие достаточные
условия гарантируют, что все рискованные активы войдут в портфель?
 389. Пусть инвестор с элементарной функцией полезности u(x) = ln x имеет возможность
вложить свое богатство ? в n рискованных активов с ожидаемыми доходностями ri = 1+1/i, и
?
в гарантированный актив с доходностью r0 = 1,1. Укажите гипотезы и условия на параметры,
при которых все рискованные активы войдут в портфель.
 390. Инвестор со строгим неприятием риска выбирает, какую долю капитала оставить в без-
рисковой форме с доходностью r0 , а сколько вложить в рискованные активы двух типов со
средними доходностями r1 > r0 , r2 > r0 . Пусть функция полезности инвестора типа Нейма-
? ?
на — Моргенштерна и возможен кредит в банке, а доходность рискованных активов вероят-
ностно независима.
Какие из перечисленных исходов возможны
а) все три актива войдут в портфель;
7.5. Модель инвестора (выбор оптимального портфеля) 261

б) только один рискованный и один безрисковый войдут;
в) только два рискованных войдут в портфель?
 391. Инвестор выбирает, какую долю ? своего капитала K вложить в рискованный актив,
а какую долю — в безрисковый.
(A) Пусть его элементарная функция полезности равна u(x) = ?e??x (? > 0). Докажите,
что независимо от величины капитала инвестор вложит в рискованный актив одну и ту же
сумму (?K ).
(B) Пусть u(x) = x? (0 < ? < 1), u(x) = ?x?? (? > 0) или u(x) = ln x. Докажите, что
независимо от величины капитала инвестор вложит в рискованный актив одну и ту же долю
капитала (?).
 392. Пусть на рынке доступны лишь два актива — рискованный и безрисковый. Как изме-
няется величина вложений в рискованный актив при росте суммы инвестиций, если предпо-
чтения инвестора представляются функцией полезности Неймана — Моргенштерна с элемен-
тарной функцией полезности u(·)?
Решить задачу при
v
(a) u(x) = x; (b) u(x) = ?e?ax ; 1
(c) u(x) = ? x ;
v
(d) u(x) = ln x; (e) u(x) = ax ? bx2 ; (f) u(x) = a x + bx.
 393. Инвестор имеет элементарную функцию полезности u = x3 . Состояния мира A и B
могут осуществиться с вероятностями µA = 2/3 и µB = 2/3. Инвестор может вложить свои 10
единиц капитала в два предприятия. Доход двух предприятий в двух состояниях мира равен:
x1A = 1, x2A = 2, x1B = 4, x2B = 3. Найдите оптимальный портфель.
 394. Известно, что рискованный актив дает доход, равный 2 в первом состоянии мира (с
вероятностью 1/2) и ? во втором состоянии мира, а безрисковый — 1 (вне зависимости от со-
стояния). Известно, что инвестор выбрал портфель, содержащий оба актива в положительных
количествах. Определите интервал, в котором может лежать ? , если предпочтения инвестора
характеризуются функцией Бернулли u(x) = ln x.
 395. Известно, что рискованный актив дает доход, равный 2 в первом состоянии мира (с
вероятностью 1/2) и 10 во втором состоянии мира, а безрисковый — ? (вне зависимости от со-
стояния). Известно, что инвестор выбрал портфель, содержащий оба актива в положительных
количествах. Определите интервал, в котором может лежать ? , если предпочтения инвестора
характеризуются функцией Бернулли u(x) = ln x.
 396. Известно, что рискованный актив дает доход, равный 4 в первом состоянии мира (с
вероятностью ? ) и 1 во втором состоянии мира, а безрисковый — 2 (вне зависимости от со-
стояния). Известно, что инвестор выбрал портфель, содержащий оба актива в положительных
количествах. Определите интервал, в котором может лежать ? , если предпочтения инвестора
характеризуются функцией Бернулли u(x) = ln x.
 397. Известно, что рискованный актив дает доход, равный 4 в первом состоянии мира (с
вероятностью 1/4) и ? во втором состоянии мира, а безрисковый — 1 (вне зависимости от
состояния). Известно, что инвестор выбрал портфель, содержащий только безрисковый актив в
положительном количестве (отрицательные количества невозможны). Определите интервал, в
котором может лежать ? , если предпочтения инвестора характеризуются функцией Бернулли
u(x) = ln x.
 398. [Аткинсон, Стиглиц] Инвестору доступны не приносящий дохода безрисковый актив и
рискованный актив, причем норма доходности рискового актива зависит следующим образом
в зависимости от некоторой базовой нормы доходности r и параметра ? ? [0, 1]:
?
(а) r1 = (1 ? ? )?;
? r
(б) r1 = r + ? (? ? r), где r = E(?).
? ? r? ? r
Как меняется структура оптимального портфеля инвестора-рискофоба в зависимости от
параметра ? ? Проинтерпретируйте полученные результаты.
7.6. Сравнительная статика решений в условиях неопределенности 262

Проиллюстрируйте анализ для простого случая, когда есть всего два состояния природы,
на диаграмме (в системе координат «богатство в первом состоянии» — «богатство во втором
состоянии»)11 .
 399. [Аткинсон, Стиглиц] Докажите, что в ситуации, когда инвестору доступны приносящий
доход безрисковый и рискованный активы, налог на валовой доход от портфельных инвести-
ций увеличивает (уменьшает, оставляет постоянным) частный риск (т. е. дисперсию доходно-
сти оптимального портфеля), если эластичность по доходу спроса на рискованный актив по-
ложительна (отрицательна, постоянна). Проиллюстрируйте его графически для случая двух
состояний природы.


7.6 Сравнительная статика решений в условиях
неопределенности
В этом параграфе мы попытаемся ответить на следующие вопросы, относящиеся к сравни-
тельной статике инвестиционного поведения
• какие условия на предпочтения инвестора гарантируют рост вложений в рискованную
часть портфеля при росте величины суммарных инвестиций;
• какие условия на предпочтения двух инвесторов гарантирую большую величину вложе-
ний в рискованную часть портфеля одного из них при равных величинах суммарных
инвестиций;
• какие свойства двух лотерей гарантируют, что одну их них всегда предпочитает любой
другой инвестор, предпочтения которого представляются функцией полезности Нейма-
на — Моргенштерна???.
Ответ на первые два вопроса формулируется в терминах характеристик отношения к риску,
к анализу которых мы переходим.
Рассмотрим лотерейный билет, которой приносит чистый выигрыш ?1 с вероятностью µ
и ?2 с вероятностью 1 ? µ. Обозначим соответствующую случайную величину через ? . По-
?
требитель, располагающий суммой денег ? , приобретет этот лотерейный билет, если лотерея,
описываемая случайной величиной x = ? + ? , предпочитается вырожденной лотерее, дающей
? ?
? с вероятностью 1, т. е.
E(u(? + ?)) u(?).
?
или
µu(? + ?1 ) + (1 ? µ)u(? + ?2 ) u(?).
Обозначим множество всех таких лотерейных билетов (?1 , ?2 ) (которые потребитель согласен
приобрести) через E(?).
Изобразим на плоскости (?1 , ?2 ) множество E(?). Потребителю выгодно приобрести любой
лотерейный билет, представленный точкой из I квадранта, и не выгодно приобретать любой
лотерейный билет, представленный точкой из III квадранта. Выгодность приобретения биле-
тов, представленных точками из II и IV квадрантов зависит, в частности, от отношения к
риску рассматриваемого потребителя. Если элементарная функция полезности u(·) вогнута,
то множество E(?) выпукло. (Докажите это.)
Для любой лотереи, лежащей на границе этого множества, выполняется:

µu(? + ?1 ) + (1 ? µ)u(? + ?2 ) = u(?). (E)
11
Это упражнение опирается на методы сравнительной статики, которые используются в анализе влияния
налогообложения на инвестиционные решения.
7.6. Сравнительная статика решений в условиях неопределенности 263

?2




E(?)

?1


?2 (?1 )



Рис. 7.7. Лотерейные билеты, которые потребитель готов приобрести

Это уравнение задает зависимость ?2 = ?2 (?1 ) в виде неявной функции. Стандартные свой-
ства элементарной функции полезности и условие µ < 1 гарантируют существование такой
функции и ее дифференцируемость. Подставим ?2 = ?2 (?1 ) в (E) и продифференцируем по ?1
в точке 0. Используя, тот факт, что ?2 (0) = 0 получим
µu (?) + (1 ? µ)u (?)?2 (0) = 0.
Это уравнение описывает касательную к E(?) в точке (0, 0). Эта касательная имеет наклон
µ
? 1?µ . Поскольку выпуклое множество лежит выше своей касательной, то точки лежащие ни-
µ
же этой касательной не принадлежат E(?). Таким образом, если ?2 будет меньше, чем ? 1?µ ?1 ,
то участник заведомо не примет участия в такой лотерее (какова бы ни была вероятность µ).
Рассмотрим двух рискофобов. Пусть первый из них принимает лотереи, принадлежащие
множеству E 1 (?), а второй — множеству E 2 (?). Если E 2 (?) ? E 1 (?) (строгое включение), то
естественно считать, что из этих двух рискофобов второй характеризуется б?льшим неприя-
о
тием риска, чем первый.

?2

E 1 (?)


E 2 (?)
?1




Рис. 7.8. Сравнение отношений к риску двух потребителей

Если ни одно из включений E 2 (?) ? E 1 (?) и E 1 (?) ? E 2 (?) не выполнено, то мы не можем
проранжировать рассматриваемых участников, используя данное правило.
Заметим, что линейная аппроксимация этих множеств (полуплоскость, задаваемая каса-
тельной в нуле) одна и та же и не отражает различие в отношениях к риску. Поэтому следует
рассмотреть «аппроксимацию второго порядка».
В предположении, что элементарная функция полезности дважды непрерывно дифферен-
цируема, продифференцируем соотношение (E) по ?1 дважды в точке 0. Получаем

µu (?) + (1 ? µ) u (?)(?2 (0))2 + u (?)?2 (0) = 0.
7.6. Сравнительная статика решений в условиях неопределенности 264
µ
С учетом того, что ?2 (0) = ? 1?µ , получим

<< Предыдущая

стр. 60
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>