<< Предыдущая

стр. 61
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

u (?) µ
?2 (0) = ? .
u (?) (1 ? µ)2

Мы убедились, что уравнения границ множеств E 1 (?) и E 2 (?) в первом приближении все-
гда совпадают, а во втором приближении могут различаться. При этом, если ?2 (0) у первого
меньше, чем у второго, то в окрестности нуля E 2 (?) содержится в E 1 (?). (Понятно, что гло-
бально это может не выполняться.) Поэтому величину ?u (?)/u (?) можно рассматривать
как локальную меру неприятия риска. Эти рассуждения мотивируют введение следующей
характеристики предпочтений потребителя.

Определение 59:
Мерой неприятия риска Эрроу — Пратта называется величина

u (x)
?(x) = ? .
u (x)

При определенных условиях эту меру неприятия риска можно рассматривать и как гло-
бальную меру неприятия риска. В терминах меры Эрроу — Пратта из двух участников можно
считать, что тот участник характеризуется б?льшим неприятием риска, у которого мера Эр-
о
роу — Пратта всегда больше.
Предложенный Эрроу и Праттом подход — не единственный способ измерить отношение к
риску. Выше мы ввели вознаграждение за риск, которую тоже можно рассматривать как меру
отношения к риску. Напомним, что величина ?x(?) называется вознаграждением за риск для
x
данного потребительского набора x , если E x ? ?x(?) является безрисковым эквивалентом x :
? ? x ?

E u(?) = u(E x ? ?x(?)).
x ? x

Также напомним, что для любого рискофоба вознаграждение за риск — величина неотрица-
тельная. Естественно считать, что в терминах вознаграждения за риск из двух участников
тот характеризуется большим неприятием риска, у которого вознаграждение за риск всегда
больше.
Можно предложить еще один способ ранжирования рискофобов по их отношению к рис-
ку — «степень вогнутости» элементарной функцией полезности. Можно считать, что u(·) «бо-
лее вогнута», чем v(·), если существует строго вогнутая строго возрастающая функция G(·)
такая, что u(x) = G(v(x)) ?x, тогда участник с элементарной функцией полезности u(·) ха-
рактеризуется большим неприятием риска.
Оказывается, что все эти способы ранжирования эквивалентны, о чем свидетельствует
следующее утверждение.
Теорема 93 ((Теорема Пратта)):
Рассмотрим двух потребителей, предпочтения которых характеризуются дважды непре-
рывно дифференцируемыми элементарными функциями полезности u1 (·) и u2 (·), такими
что ui (x) > 0 и ui (x) 0 ?x, i = 1, 2.
Следующие три условия эквивалентны:
(i) ?1 (x) ?2 (x) ?x, где ?i (·) — мера неприятия риска Эрроу — Пратта, соответствую-
щая ui (·).
(ii) Существует вогнутая возрастающая функция G(·) такая, что u1 (x) = G(u2 (x)) ?x.
(iii) Для всех случайных переменных x с ненулевой дисперсией (Var(?) = 0) выполнено
? x
?x1 (?) ?x2 (?).
x x
7.6. Сравнительная статика решений в условиях неопределенности 265

Доказательство: (i) ? (ii)
Имеется функция G(·), такая что

u1 (x) = G(u2 (x)).

(При доказательстве утверждения в направлении (i) ? (ii) можем определить G(·) на области
значений функции u2 (·) следующим образом:

G(x) = u1 (u?1 (x)).
2

Поскольку u2 (·) строго монотонна, то она обратима.)
Заметим, что функция G(·) является дважды непрерывно дифференцируемой и возраста-
ющей. Дважды продифференцируем последнее соотношение:

u1 (x) = G (u2 (x))u2 (x),

u1 (x) = G (u2 (x))u2 (x) + G (u2 (x))u2 (x).
Заметим, что из первого равенства следует, что G (u2 (x)) > 0. Поделив вторую производную
на первую, получим
G (u2 (x))
??1 (x) = ??2 (x) + .
G (u2 (x))
0 ?y = u2 (x), то есть
Поскольку G (u2 (x)) > 0, то ?1 (x) ?2 (x) эквивалентно G (y)
функция G(·) вогнута в своей области определения тогда и только тогда, когда ?1 (x) ?2 (x)
для всех x.
(ii) ? (iii)
Если функции u1 (·) и u2 (·) связаны между собой соотношением u1 (x) = G(u2 (x)) ?x,
то для произвольной случайной величины x по определению вознаграждения за риск имеют
?
место равенства

u1 (E x ? ?x1 (?)) = E u1 (?) = E G(u2 (?)),
? x x x
u1 (E x ? ?x2 (?)) = G(u2 (E x ? ?x2 (?))) = G(E u2 (?)).
? x ? x x

Из монотонности u1 (·) следует, что ?x1 (?) ?x2 (?) тогда и только тогда, когда u1 (E x ?
x x ?
?x1 (?)) u1 (E x ? ?x2 (?)), т. е. тогда и только тогда, когда E G(u2 (?)) G(E u2 (?)).
x ? x x x
Если функция G(·) вогнута, то по неравенству Йенсена E G(u2 (?)) G(E u2 (?)), и поэтому
x x
?x1 (?) ?x2 (?).
x x
Наоборот, если ?x1 (?)
x ?x2 (?), то выполнено неравенство E G(u2 (?))
x x G(E u2 (?)), а
x
это свойство эквивалентно вогнутости функции G(·). (Проверьте, что обычное определение
вогнутой функции является частным случаем неравенства Йенсена.)

Введенная мера Эрроу — Пратта называется абсолютной мерой Эрроу — Пратта. Кроме
того, рассматривают относительную меру Эрроу — Пратта, которая определяется по формуле:

u (x)x
? .
u (x)

Относительная мера Эрроу — Пратта является эластичностью предельной полезности (по до-
ходу).
Меры Эрроу — Пратта являются полезными инструментами анализа поведения инвестора
в условиях риска, так как в их терминах получаются ответы на стандартные вопросы сравни-
тельной статики: как изменяется структура инвестиционного портфеля при изменении разме-
ра инвестиций, доходностей активов и т. д. А к проблемам сравнительной статики сводятся
7.6. Сравнительная статика решений в условиях неопределенности 266

многие проблемы прикладной экономики: характер спроса на деньги в портфельной теории
формирования спроса на деньги, влияние налогообложения и т. д.
В терминах (абсолютной) меры Эрроу — Пратта можно охарактеризовать спрос на рис-
кованный актив как функцию величины инвестиций в рассматриваемый портфель из двух
активов.
U = E u(?r0 + z(? ? r0 )) > max .
r
?0

Мы предполагаем, что решение z(?) существует ?? ? R+ и что E r > r0 , т. е. что решение
?
внутреннее (z(?) > 0).
Теорема 94:
Если мера Эрроу — Пратта ?(x) убывает, то рискованный актив является нормальным
благом, т. е. z (?) > 0.

Доказательство: Условие оптимальности портфеля имеет вид

E[u (?)(? ? r0 )] = 0,
xr

где x = ?r0 + z(?)(? ? r0 ).
? r
Продифференцируем его по ? :

E[u (?)(? ? r0 )(r0 + z (?)(? ? r0 ))] = 0,
xr r

По свойствам оператора математического ожидания

r0 E[u (?)(? ? r0 )] = ?z (?) E[u (?)(? ? r0 )2 ],
xr xr

откуда
E[u (?)(? ? r0 )]
xr
z (?) = ?r0 ,
E[u (?)(? ? r0 )2 ]
xr
Ясно, что знаменатель здесь меньше нуля, так как в силу вогнутости функции полезности
u (x) < 0. Покажем, что числитель больше нуля.
Рассмотрим случайную величину r ? r0 : она принимает как положительные, так и отри-
?
цательные значения. Рассмотрим случай r = r > r0 . В силу убывания функции ?(·) при
?
z>0
?(?r0 + z(r ? r0 )) < ?(?),
По определению меры Эрроу — Пратта
u (?r0 + z(r ? r0 ))
? < ?(?),
u (?r0 + z(r ? r0 ))

Умножив это неравенство на знаменатель и на ?(r ? r0 ), получаем:

u (?r0 + z(r ? r0 )) > ??(?)u (?r0 + z(r ? r0 )),

Легко видеть, что при r = r < r0 это неравенство тоже верно. Это означает, что верно
?
соотношение
E u (?r0 + z(?)(? ? r0 )) > ??(?) E u (?r0 + z(?)(? ? r0 )).
r r
Следовательно, z (?) > 0. Другими словами, рискованный актив является нормальным бла-
гом.

Отметим, однако, что это свойство не выполняется для случая двух и более рискованных
активов.
7.6. Сравнительная статика решений в условиях неопределенности 267

7.6.1 Задачи
 400. Покажите, что если абсолютная мера Эрроу — Пратта неприятия риска убывает, то
u 0. Покажите, что обратное неверно.
 401. Приведите примеры элементарной функции полезности с возрастающей, убывающей и
постоянной абсолютной и относительной мерой Эрроу — Пратта.
 402. Покажите, что при увеличении объема инвестиций доля инвестиций в рискованный
актив (в сумме инвестиций в оптимальный портфель) постоянна (возрастает, убывает), если
относительная мера Эрроу — Пратта убывает (возрастает, постоянна).
 403. Пусть в ситуации с двумя активами, рассмотренной выше, ?(r0 ) — оптимальная до-
ля вложений в рискованный актив как функция доходности безрискового актива. Покажите,
что если для абсолютной меры Эрроу — Пратта выполнено ? (·) > 0 (она является возраста-
ющей функцией), и решение внутреннее (0 < ?(r0 ) < 1), то d?(r0 )/dr0 > 0, т. е. уменьшение
доходности безрискового актива приводит к увеличению доли вложений в рискованный актив.
Указание: Покажите, продифференцировав условие первого порядка, что

E(u (?)) ? ?(1 ? ?(r0 ))E(u (?)(? ? r0 ))
d?(r0 ) x xr
= .
?E(u (?)(? ? r0 )2 )
dr0 xr

Отсюда следует требуемый результат, поскольку E(u (?)(? ? r0 ))
xr 0 (вследствие того, что
? (·) > 0).
 404. Предположим, что (в мире с двумя состояниями) имеется один рискованный (с нормой
доходности r ) и один не приносящий дохода безрисковый актив. Охарактеризуйте в терми-
?
нах относительной и абсолютной меры неприятия риска Эрроу — Пратта (эластичности по
богатству спроса на рисковый актив) представленные на рисунке возможные структуры оп-
тимальных портфелей при разных уровнях богатства. Линия P P представляет совокупность
фактических портфелей (при разных уровнях инвестиций в портфель), SS (T T ) — сово-
купность портфелей при условии, что портфели содержат лишь безрисковые (рискованные)
активы. Линии ST (S T ) представляют совокупность допустимых портфелей при данном
уровне инвестиций.
(а)

r2
S
P

S
P
T
r1
T


(б)
(в)
(г)
 405. Докажите, что если у двух индивидуумов меры неприятия риска ?1 (·) и ?2 (·) таковы,
что при всех x выполнено ?1 (x) ?2 (x), то для любого исходного уровня богатства ? вы-
полнено E2 (?) ? E1 (?). (Заметим, что обратное утверждение фактически доказано в тексте
параграфа.)
 406. Пусть x(t) — семейство случайных величин, принимающих значение ? + t и ? ? t c
?
равными вероятностями, и пусть ?(t) — вознаграждение за риск для x(t) для потребителя
?
7.6. Сравнительная статика решений в условиях неопределенности 268

r2
S

P
S
P
T
r1
T


r2
S
P

S P

<< Предыдущая

стр. 61
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>