<< Предыдущая

стр. 62
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

T
r1
T


r2
S
P

S
P
T
r1
T



с элементарной функцией полезности u(·), такой что u (x) > 0 и u (x) 0. Покажите, что
?(0) = 0, ? (0) = 0 и ? (0) = ?u (?)/u (?) = r(?).
 407. Пусть x(t) — семейство случайных величин, принимающих значение ? + t и ? ? t
?
c равными вероятностями, и пусть ?(t) — вероятностное вознаграждение за риск для этих
случайных величин, которое определяется по формуле

1 1
? ?(t) u(? ? t).
u(?) = + ?(t) u(? + t) +
2 2

(A) Покажите, что если элементарная функция полезности u(·) строго вогнута, то ?(t) > 0
при t > 0 и ?(0) = 0.

(B) Покажите, что 4? (0) = ?u (?)/u (?) = r(?).

 408. Рассмотрите лотереи вида ? + t?, где E ? = 0. Покажите, что в первом приближении
(при малых t) премия за риск равна

?(?) Var(?)t2 /2,

где ?(·) — абсолютная мера Эрроу — Пратта.
7.7. Приложение: модель Марковица и CAPM 269


Приложение: модель Марковица и CAPM12
7.7
Рассмотрим интересный частный случай модели инвестора, предположив, что элементар-
ная функция полезности u(·) имеет вид параболы:

u(x) = a0 + a1 x ? a2 x2 .

(Можно интерпретировать это как квадратичную аппроксимацию первоначальной элементар-
ной функции полезности получаемую разложением в ряд Тейлора вплоть до членов второго
порядка в некоторой точке:
u(·) = ?0 + ?1 x + ?2 x2 + . . .)

Предполагается, что здесь a1 , a2 > 0. Условие a2 > 0 гарантирует, что инвестор является
рискофобом. Условие a1 > 0 гарантирует, что при достаточно малых x элементарная функция
полезности имеет положительную производную. Очевидно, что квадратичная функция может
быть адекватной аппроксимацией не при всех x, поскольку при x = a1 /(2a2 ) она достигает
максимума, а далее убывает (т. е. по сути дела она подразумевает насыщаемость предпочтений
инвестора)13 .

u(x)=a0 +a1 x?a2 x2




x
a1 /(2a2 )


Рис. 7.9. ???

При такой элементарной функции полезности ожидаемая полезность случайного дохода x
?
равна
U = E u(?) = a0 + a1 E x ? a2 E(?2 ).
x ? x
12
H. M. Markowitz: Portfolio Selection, The Journal of Finance 7 (1952): 77–91;H. M. Markowitz: Portfolio
Selection: E?cient Diversi?cation of Investments, New York: John Wiley & Sons, 1959;J. Tobin: Liquidity Preference
as Behaviour Towards Risk, Review of Economic Studies 25 (1958): 65–86;J. Tobin: The Theory of Portfolio Selection,
in The Theory of Interest Rates, F. H. Hahn and F. P. R. Brechling (ed.), London: Macmillan, 1965: 3–51.
13
У квадратичной функции есть и другие серьезные недостатки, вследствие чего модель Марковица нельзя
считать вполне адекватной для описания инвестиционного поведения. Однако она вполне оправданна, если
считать ее первым приближением с точки зрения моментов распределения. Очевидно, что если учитывать
только первые моменты (ожидаемые доходности), то модель станет совсем неадекватной, поскольку не будет
учитывать риск (см. об этом, например, в статье Г. Марковица). П. Самуэльсон показал (P. A. Samuelson:
The Fundamental Approximation Theorem of Portfolio Analysis in terms of Means, Variances and Higher Moments,
Review of Economic Studies 37 (1970): 537–542), что при малом риске, т. е. в пределе, при стремлении распре-
деления доходностей активов rk к вырожденному распределению, при котором rk принимает значение r0 с
? ?
вероятностью единица, приближение по двум первым моментам дает верное решение с точки зрения струк-
туры портфеля. Если учесть более высокие моменты, то приближение будет более точным, но анализ модели
существенно усложняется.
Другой случай (помимо квадратичной функции), при котором ожидаемая полезность зависит только от
ожидаемой доходности и дисперсии доходности, — это когда доходности активов rk имеют (многомерное)
?
нормальное распределение. Но нормальное распределение плохо аппроксимирует поведение доходностей ре-
альных финансовых активов.
7.7. Приложение: модель Марковица и CAPM 270
2
Введем обозначения x = E x (ожидаемый доход) и ?x = Var x (дисперсия дохода). По опреде-
? ? ?
лению дисперсии
E(?2 ) = (E x)2 + Var x = x2 + ?x .
2
x ? ??
В этих обозначениях ожидаемая полезность примет вид

U = a0 + a1 x ? a2 (?2 + ?x ).
2
? x

Таким образом, при квадратичной элементарной функции полезности целевая функция инве-
стора зависит от двух характеристик распределения его дохода от портфеля: от математиче-
ского ожидания дохода (среднего дохода) и дисперсии дохода (которую можно считать мерой
рискованности). Эта парадигма «среднее-дисперсия» Марковица не только упрощает анализ
инвестиционного поведения, но и позволяет давать наглядные геометрические интерпретации
различных этапов такого анализа, поскольку каждый портфель в этой ситуации характеризу-
ется всего двумя параметрами.
Удобно, как и выше, перейти от дохода к валовой доходности портфеля, которую обозначим
через rP :
?
rP = x/?.
? ?
2
Обозначим через rP ожидаемую доходность портфеля, E rP , а через ?P — дисперсию до-
? ?
ходности портфеля, Var rP . Поскольку x = ??P , то, вынося константу ? за операторы мат.
? ? r
ожидания и дисперсии, получим

x = E x = E(??P ) = ? E rP = ??P
? ? r ? r

и
?x = Var x = Var(??P ) = ? 2 Var rP = ? 2 ?P .
2 2
? r ?
Подставим эти выражения в функцию полезности:

U = a0 + a1 ??P ? a2 ? 2 (?P + ?P )
r2 2
r

или, при введении обозначений b0 = a0 , b1 = a1 ? , b2 = a2 ? 2 ,

r2 2
U = b0 + b1 rP ? b2 (?P + ?P ),
?

Мы можем нормировать эту функцию, применив к ней соответствующее линейное возрастаю-
щее преобразование. Окончательно получаем следующую функцию полезности:

r2 2
U = rP ? ?(?P + ?P ).
?

Функция зависит от ожидаемой доходности портфеля и дисперсии доходности портфеля. Ко-
эффициент ? отражает степень неприятия риска.
Доходность портфеля очевидным образом связана с доходностями активов:

rP =
? ?k rk
?
k?K

или
rP = ? ?,
? r
где ? = {?k }k — вектор долей активов (структура портфеля), ? — вектор, составленный из
r
доходностей активов. Таким образом, доходность портфеля — это взвешенное среднее доход-
ностей активов, где в качестве весов выступают доли активов в портфеле.
7.7. Приложение: модель Марковица и CAPM 271

Обозначим через ? вектор, составленный из ожидаемых доходностей активов rk = E rk , а
r ? ?
через V — ковариационную матрицу доходностей активов. В этих обозначениях для ожидае-
мой доходности портфеля выполнено соотношение

rP = E rP = E(? ?) = ? E(?) = ? ? =
? ? r r r ?k rk ,
?
k?K

(ожидаемая доходность портфеля — это взвешенное среднее ожидаемых доходностей акти-
вов), а для дисперсии доходности портфеля выполнено

?P = Var(?P ) = Var(? ?) = E[(? ? ? E(? ?))2 ] =
2
r r r r
= E[(? ? ? ? ?)2 ] = E[(? (? ? ?))2 ] = E[? (? ? ?)(? ? ?) ?] =
r r rr r rr r
= ? E[(? ? ?)(? ? ?) ]? = ? V? =
r rr r ?k1 ?k2 ck1 k2 .
k1 ?K k2 ?K

Типичным элементом ковариационной матрицы V является ковариация между доходно-
стями пары активов:

ck1 k2 = Cov(?k1 , rk2 ) = E[(?k1 ? rk1 )(?k2 ? rk2 )].
r? r ? r ?

Ковариационная матрица симметрична и по диагонали ее стоят дисперсии доходностей от-
2
дельных активов ?k = ckk = Var rk .
?
2
[Напомним, что в дискретном случае величины rk , ?k и ck1 k2 вычисляются по формулам:
?
2
µs (rks ? rk )2 , ck1 k2 = µs (rk1 s ? rk1 )(rk2 s ? rk2 )).]
rk =
? µs rks , ?k = ? ? ?
s?S s?S s?S

Дисперсию доходности портфеля можно выразить также через корреляции доходностей акти-
вов:
2
?P = ?k1 ?k2 ?k1 ?k2 ?k1 k2 ,
k1 ?K k2 ?K

где ?k — корень из дисперсии (среднеквадратическое отклонение) доходности k -го актива,
?k1 k2 — коэффициент корреляции доходностей активов k1 и k2 , определяемый как
ck1 k2
?k 1 k 2 = .
? k1 ? k2

В конечном итоге задача инвестора в модели Марковица приобретает следующий вид:

U = ? ? ? ? (? ?)2 + ? V? > max .
r r
?
?k 1,
k?K
0, ?k ? K, k = 0.
?k

В зависимости от рассматриваемой модели безрисковый актив k = 0 может присутство-
вать, либо нет в формулировке этой задачи инвестора. Эта задача представляет собой задачу
квадратичного программирования, поскольку в нее входят только многочлены второго поряд-
ка от долей ?k .
В такой упрощенной модели выбора каждый актив характеризуется для инвестора все-
го двумя параметрами, поэтому задачу инвестирования можно и удобно рассматривать на
диаграмме с осями ?, r (диаграмма риск-доходность). На этой диаграмме каждый актив или
?
портфель активов P можно изобразить точкой (?P , rP ).
?
7.7. Приложение: модель Марковица и CAPM 272

Кривые безразличия (линии уровня функции полезности)
r2 2
rP ? ?(?P + ?P ) = const
?
1
представляют собой окружности с центром в точке (?P , rP ) = 0, 2? .
?
Мы будем в дальнейшем предполагать, что точка насыщения с доходностью 1/2? находит-
ся выше доходностей всех доступных инвестору активов.
Для этой модели можно доказать ряд утверждений о характеристиках портфелей, харак-
теризующих структуры допустимых и оптимальных портфелей в разных ситуациях (с точки
зрения доходностей доступных инвестору активов).
Рассмотрим случай, когда портфель составлен из безрискового актива (k = 0) и одного
рискованного актива (первого). Дисперсия доходности такого портфеля равна
2 2 22
?P = Var(?0 r0 + ?1 r1 ) = Var(?1 r1 ) = ?1 Var(?1 ) = ?1 ?1 .
? ? r

<< Предыдущая

стр. 62
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>