<< Предыдущая

стр. 63
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Среднеквадратическое отклонение равно
?P = ?1 ?1 ,
т. е. при комбинировании безрискового и рискованного активов среднеквадратичное от-
клонение портфеля пропорционально среднеквадратичному отклонению рискованного актива,
причем коэффициент пропорциональности равен доле вложений в рискованный актив.
Доходность же портфеля, очевидно, равна
rP = ?0 r0 + ?1 r1 = (1 ? ?1 )r0 + ?1 r1 = r0 + ?1 (?1 ? r0 ).
? ? r
Таким образом, портфели (?P , rP ), соответствующие различным выпуклым комбинациям
?
этих активов лежат на отрезке с концами в точках (0, r0 ) и (?1 , r1 ). Это множество допустимых
?
портфелей для случая, когда кредит невозможен (т. е. инвестор не может выбрать ?0 > 0).
Если кредит доступен, то возможные комбинации лежат на луче, выходящем из (0, r0 ) и
проходящем через (?1 , r1 ). Часть луча за точкой (?1 , r1 ) соответствует кредиту (?0 > 0).
? ?
Этот луч — аналог бюджетной прямой для задачи инвестора.

rP
?

1/(2?)
(?1 ,?1 )
r

оптимальный
портфель
r0
?P


Рис. 7.10. Оптимальный портфель в случае двух активов

Оптимальному портфелю на графике соответствует точка, в которой кривая безразличия
касается луча. Доли активов в оптимальном портфеле определяются отношением инвестора
к риску (параметром ? ). Для того, чтобы оптимальный портфель был внутренним (в смысле
?1 > 0), необходимо и достаточно, чтобы r1 > r0 . В случае же r1
? ? r0 наклон луча будет
отрицательный и оптимум будет достигаться при ?1 = 0 (рискованный актив не войдет в
портфель).
Перейдем теперь к рассмотрению портфелей, содержащих несколько рискованных активов.
Мы выясним при различных частных предположениях о коррелированности доходностей ак-
тивов, какова будет структура множества возможных портфелей и каким будет оптимальный
портфель.
7.7. Приложение: модель Марковица и CAPM 273

Сначала рассмотрим случай, когда доходности всех рискованных активов жестко положи-
тельно коррелированны, то есть когда коэффициент корреляции между любой парой активов
равен единице:
?k1 k2 = 1 (?k1 , k2 = 0)14 .
При этом
?2
?
2
?P = ?k1 ?k2 ?k1 ?k2 = ?k1 ?k1 ?k2 ?k2 = ? ?k ?k ?
k1 k2 k1 k2 k
откуда
?P = ?k ?k .
k

(В матричном виде ? ?
?1 ?1 · · · ?l ?1
?. . ? = ?? ,
V =? . .?
?. .?
?1 ?l · · · ?l ?l
где ? = {?k }k — вектор корней из дисперсий активов. В этих обозначениях

?P = ? V? = ? ?? ? = (? ?)2 .)
2


Для ожидаемой доходности вне зависимости от коррелированности выполняется

rP =
? ?k rk .
?
k

Отсюда следует, что множество точек (?P , rP ) при неотрицательных долях ?k есть выпуклая
?
комбинация точек (?k , rk ), соответствующих рассматриваемым активам:
?

(?P , rP ) =
? ?k (?k , rk )
?
k

(риски складываются с весами ?, как и доходности).
Другими словами, на диаграмме риск-доходность множество возможных рискованных порт-
фелей представляет собой выпуклый многоугольник с вершинами в точках (?k , rk ), соответ-
?
ствующих отдельным активам.

rP
?




?P

Рис. 7.11. Возможные рискованные портфели в случае жестко положительно
коррелированных активов

Проанализируем структуру портфелей, содержащих дополнительно безрисковый актив.
14
Такое может происходить, если доходности зависят от фазы экономического цикла или другого общего
параметра.
7.7. Приложение: модель Марковица и CAPM 274

Выше мы уже рассмотрели, как комбинировать рискованный актив с безрисковым. Нетруд-
но понять, что по аналогичным формулам вычисляются характеристики портфеля, получен-
ного при комбинировании рискованного портфеля с безрисковым активом. Любой такой порт-
фель на диаграмме риск-доходность будет представлять собой точку отрезка (луча) соеди-
няющего безрисковый актив с данным рискованным портфелем. Действительно, пусть доли
активов в исходном рискованном портфеле равны ?k , тогда этот портфель имеет следующие
характеристики:
rR =
? ?k rk ,
?
k=0
2
?R = ?k1 ?k2 ck1 k2 .
k1 =0 k2 =0

Назовем комбинированным портфелем, состоящим из безрискового актива и исходного порт-
феля, с долями ?0 и 1 ? ?0 соответственно, такой портфель, в котором доли вложений в
рискованные активы равны ?k = ?k (1 ? ?0 ), а доля вложений в безрисковый актив равна ?0 .
Такой портфель имеет следующие характеристики:

rP =
? ?k rk ,
?
k?K

2
?P = ?k1 ?k2 ck1 k2 .
k1 ?K k2 ?K

Покажем, что выполнены следующие соотношения:

rP = ?0 r0 + (1 ? ?0 )?R ,
? r
?P = (1 ? ?0 )?R ,
rP = ?0 r0 + (1 ? ?0 )?R ,
? r

то есть при таком комбинировании с портфелями можно обращаться так же, как с активами.
(Этот результат можно обобщить на случай комбинирования любых портфелей.)
Действительно,

?k (1 ? ?0 )?k =
rP =
? ?k rk = ?0 r0 +
? r
k?K k=0

= ?0 r0 + (1 ? ?0 ) ?k rk = ?0 r0 + (1 ? ?0 )?R .
? r
k?K

Для дисперсии комбинированного портфеля имеем
2
?P = ?k1 ?k2 ck1 k2 =
k1 ?K k2 ?K
2
= ?0 c00 + ?k1 ?0 ck1 0 + ?0 ?k2 c0k2 + ?k1 ?k2 ck1 k2 .
k1 =0 k2 =0 k1 =0 k2 =0

Учитывая, что c00 = ck1 0 = c0k2 = 0, и ?k = ?k (1 ? ?0 ) получаем

?P = (1 ? ?0 )2
2
?k1 ?k2 ck1 k2 = (1 ? ?0 )2 ?R
2

k1 =0 k2 =0

или
?P = (1 ? ?0 )?R .
Вернемся к анализу портфеля, в котором все рискованные активы жестко положительно корре-
лированы. Учитывая полученный только что результат, охарактеризуем все комбинированные
7.7. Приложение: модель Марковица и CAPM 275

портфели в этом случае. Каждый из них является точкой на луче, выходящем из точки (0, r0 )
и проходящем через одну из точек многогранника рискованных активов. Таким образом, ком-
бинированные портфели в данном случае представляют собой выпуклый конус, составленный
из таких лучей. Оптимальный портфель должен лежать на верхней границе этого конуса, в
точке, где ее касается кривая безразличия инвестора (см. Рис. 7.12).

rP оптимальный
?
портфель



r0


?P


Рис. 7.12. Оптимальный портфель в случае жестко положительно коррелированных активов

В оптимальный портфель в невырожденном случае войдет только один рискованный актив,
имеющий наилучшие характеристики.
Здесь рискованная часть портфеля определяется из задачи

rk ? r0
?
> max .
?k k=1,...,l


Выбирается актив, для которого луч будет иметь наибольший наклон. Только он и может
войти в портфель с положительным весом.
В вырожденном случае (см. Рис. 7.13) несколько активов характеризуются максимальным
наклоном и все они могут войти в оптимальный портфель. В оптимуме относительные доли
вложений в такие активы не определены однозначно.

rP
?




r0


?P


Рис. 7.13. Жестко положительно коррелированные активы — вырожденный случай

Мы рассматривали только поведение инвестора, т. е. спрос на активы, но можно рассмат-
ривать и предложение активов. Если те, кто предлагает активы, могут менять доходность, но
не коэффициенты корреляции, то естественно ожидать, что в равновесии на рынке активов
все предлагаемые активы лежат на оптимальном луче. Таким образом, для строго положи-
тельно коррелированных активов «вырожденный» случай в определенном смысле довольно
естественен.
Второй случай коррелированности — жесткая отрицательная корреляция. Имеет смысл
рассматривать только пару таких активов (для более чем двух активов все коэффициенты
корреляции не могут равняться ?1). Таким образом, пусть есть два актива, 1 и 2, такие что
7.7. Приложение: модель Марковица и CAPM 276

?12 = ?1. Применяя общую формулу для расчета дисперсии, получим
2 ??1 ?2
?1 ?1
2
?P = (?1 , ?2 ) =
2
??1 ?2 ?2 ?2
= ?1 ?1 ? 2?1 ?2 ?1 ?2 + ?2 ?2 = (?1 ?1 ? ?2 ?2 )2 ,
22 22


откуда среднеквадратическое отклонение равно

?P = ?1 ?1 ? ?2 ?2 .

Ожидаемая доходность портфеля равна

rP = ?1 r1 + ?2 r2 .
? ? ?

Несложно понять, что допустимые комбинации таких двух активов составляют ломаную. Точ-
ка излома соответствует портфелю с нулевым риском (?P = 0). Это означает, что из двух
жестко отрицательно коррелированных активов можно составить безрисковый портфель.

<< Предыдущая

стр. 63
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>