<< Предыдущая

стр. 64
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


rP
? безрисковый
портфель
(?1 ,?1 )
r


(?2 ,?2 )
r


?P

Рис. 7.14. Возможные рискованные портфели в случае жестко отрицательно
коррелированных активов

Чтобы получить такую ломаную на графике, нужно отразить одну из точек относительно
вертикальной оси и соединить отрезком с другой точкой.

rP
?

(?1 ,?1 )
r


(?2 ,?2 )
r
?P


Рис. 7.15. Построение ломаной возможных рискованных портфелей в случае жестко
отрицательно коррелированных активов

Безрисковый портфель получается при следующей структуре портфеля:
?2 ?1
?1 = , ?2 = .
?1 + ?2 ?1 + ?2
Его доходность, которую мы обозначим r00 , равна
? 1 r2 + ? 2 r 1
? ?
r00 = .
?1 + ?2
7.7. Приложение: модель Марковица и CAPM 277

Поскольку из двух таких активов можно составить безрисковый портфель, то рассматривать,
как эти активы будут сочетаться с безрисковым активом, не имеет особого смысла. Можно
сказать только, что при r00 > r0 и возможности кредита по ставке r0 получается парадоксаль-
ный результат — можно брать в кредит по ставке r0 и инвестировать без риска с доходностью
r00 . При этом можно получить сколь угодно большую доходность портфеля. (Формально в
модели решение существует, так как целевая функция насыщаема.) Ясно, что этого не мо-
жет происходить в рыночном равновесии. Следует учесть предложение активов. Естественно
предположить, что в равновесии должно быть r00 r0 (отсутствие «рога изобилия»).
Третий случай, который мы рассмотрим — некоррелированные активы. Тогда

V = diag(?1 , . . . , ?l2 ).
2

2 22
?P = ? V? = ?k ?k .
k

22
?P = ?k ?k .
k

Ожидаемая доходность портфеля, как всегда, равна

rP =
? ?k rk .
?
k

Из двух некоррелированных активов комбинируется дуга, изогнутая влево (см. Рис. 7.16).

rP = ?1 r1 + ?2 r2 = ?1 r1 + (1 ? ?1 )?2 .
? ? ? ? r

22 22 22 2
?1 ?1 + (1 ? ?1 )2 ?2 .
?P = ?1 ?1 + ?2 ?2 =



rP
?

(?1 ,?1 )
r


(?2 ,?2 )
r


?P


Рис. 7.16. Возможные рискованные портфели в случае двух некоррелированных активов

В отличие от случая жесткой положительной коррелированности, риски при некоррелиро-
ванности не складываются, поэтому риск при комбинировании активов будет снижен. Тогда
все активы с доходностью выше гарантированной должны войти в оптимальный портфель
(эффект диверсификации). Другими словами, для случая некоррелированных доходностей в
модели Марковица выполняется аналог теоремы о диверсификации:

: Если доходности всех рискованных активов в модели Марковица некоррелированны, то рис-
кованный актив войдет в оптимальный портфель (?k > 0), если, ?? и только если, его ожида-
емая доходность выше гарантированной ( rk > r0 ).
?

Доказательство этого утверждения будет приведено ниже.
7.7. Приложение: модель Марковица и CAPM 278

rP оптимальный
? rP
?
а) б)
оптимальный
портфель
портфель
(?1 ,?1 )
r
(?1 ,?1 )
r
r0
(?2 ,?2 )
r (?2 ,?2 )
r
r0
?P ?P


Рис. 7.17. Оптимальные портфели в случае двух некоррелированных активов.


На Рис. 7.17а оба рискованных актива входят в оптимальный портфель, так как их ожи-
даемая доходность больше доходности безрискового актива. На Рис. 7.17б только один риско-
ванный актив (1-й) входит в оптимальный портфель.
При произвольном коэффициенте корреляции комбинации доходности и риска, достижи-
мые комбинированием двух активов, окажутся на графике некоторой кривой соединяющей
эти точки и выгибающейся, при неполной коррелированности, влево. На Рис. 7.18 показаны
портфели, которые можно составить из двух активов при разных коэффициентах корреляции.
Чем меньше коэффициент корреляции, тем сильнее влево выгибается кривая возможных порт-
фелей.

rP
?
?12 =0
?12 =?1
(?1 ,?1 )
r
?12 =1
(?2 ,?2 )
r
?12 =?0,5
?12 =0,5
?P

Рис. 7.18. Возможные портфели из двух рискованных активов при разных коэффициентах
корреляции

В общем случае допустимое множество R всех доступных инвестору портфелей, состоящих
из рискованных активов, на диаграмме риск-доходность будет изображаться некоторой связ-
ной фигурой, граница которой оказывается кривой, выпуклой влево (см. напр. Рис. 7.19)15 .
Очевидно, что множество R лежит в пределах, задаваемых наибольшей и наименьшей ожида-
емой доходностью доступных активов. Т. е. для любого рискованного портфеля (?M , rM ) ? R
?
выполнено
min rk
? rM
? max rk .
?

Если бы инвестор выбирал портфель из множества R, то он не стал бы выбирать такой
портфель (?M , rM ), для которого существует другой допустимый портфель (?M , rM ) ? R с
? ?
лучшими характеристиками, т. е. такой что

?M ? M и rM
? rM ,
?
15
Диаграмма изображает множество возможных портфелей, составленных из 7 активов, при некоторой мат-
рице корреляций доходностей этих активов.
7.7. Приложение: модель Марковица и CAPM 279

rP
?

R

эффективная
граница



?P


Рис. 7.19. Множество возможных рискованных портфелей для нескольких активов


причем одно из неравенств строгое. Выбор инвестора всегда лежал бы на эффективной границе,
состоящей из портфелей, для которых при заданной величине риска доходность максимальна
(см. Рис. 7.19).
Комбинируя рискованные портфели с безрисковым активом получим множество всех воз-
можных портфелей, которое на диаграмме будет выглядеть как конус с вершиной в точке
(0, r0 ) (см. Рис. 7.20). Этот конус состоит из всех таких лучей, что они выходят из точки
(0, r0 ) и проходят через одну из точек (?M , rM ) ? R.
?

эффективный
rP
?
луч
R

r0
рыночный
портфель

?P


Рис. 7.20. Множество возможных портфелей для нескольких активов

Комбинируя наилучшую (по наклону луча) точку из R с безрисковым активом, как и ранее
получаем наилучший по соотношению риска и доходности. Оптимальный портфель определя-
ется наиболее крутым лучом (см. Рис. 7.20), т. е.
rM ? r0
?
> max .
?M (?M ,?M )?R
r

Полезность инвестора от оптимального портфеля равна
r2 2
U = rP ? ?(?P + ?P ),
?
2
где величины rP и ?P можно выразить через доли всех активов, кроме безрискового, (?k ,
?
k = 1, . . . , l ) следующим образом:
l
?k (?k ? r0 ),
r P = r0 +
? r
k=1

l l
2
?P = ?k1 ?k2 ck1 k2 .
k1 =1 k2 =1
7.7. Приложение: модель Марковица и CAPM 280

Заметим, что
l
2
? rP
? ??P
= rk ? r 0 и
? =2 ?j cjk .
??k ??k j=1

Будем рассматривать полезность U как функцию долей всех рискованных активов. Оптималь-
ный портфель характеризуется долями, максимизирующими эту функцию (при ограничениях
на их неотрицательность).
Найдем производную U по ?k :

<< Предыдущая

стр. 64
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>