<< Предыдущая

стр. 65
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

2
?U ? rP
? ? rP
? ??P
? ? 2?P
= r + =
??k ??k ??k ??k
? ?
l
= rk ? r0 ? ? ?2?P (?k ? r0 ) + 2
? rr ?j cjk ? =
j=1
l
= (1 ? 2? rP )(?k ? r0 ) ? 2?
?r ?j cjk .
j=1

Для оптимального портфеля ?U/??k 0, причем для активов, входящих в портфель (?k >
0), по условию дополняющей нежесткости, ?U/??k = 0.
Из условий дополняющей нежесткости
l
?U
?k = 0,
??k
k=1

т. е.
2
(1 ? 2? rP )(?P ? r0 ) ? 2??P = 0,
?r
2
откуда, исключая обсуждавшийся выше вырожденный случай, когда ?P = 0, получим
2
2??P
1 ? 2? rP =
? ,
rP ? r0
?
Отсюда ? ?
l
2 rk ? r0
?U ?
?
= 2? ??P ?j cjk ? .
rP ? r0 j=1
??k ?

Взвешенная сумма ковариаций в этой формуле равна:
l l l
?j cjk = ?j Cov(?j , rk ) = Cov(
r? ?j rj , rk ) =
??
j=1 j=1 j=1

= Cov(?P ? ?0 r0 , rk ) = Cov(?P , rk ).
r ? r?
Обозначим эту величину cP k . Тогда

2 rk ? r 0
?U ?
? cP k .
= 2? ?P
rP ? r0
??k ?

Следовательно, условия первого порядка ?U/??k 0, характеризующие оптимальный порт-
фель, можно записать следующим образом:
r k ? r0
?
2
?P cP k ,
rP ? r0
?
7.7. Приложение: модель Марковица и CAPM 281

причем если k -й актив входит в оптимальный портфель (?k > 0), то здесь достигается равен-
ство. Т. е. для активов, входящих в портфель, выполнено следующее условие оптимальности:
cP k
rk ? r0 = 2 (?P ? r0 ).
? r
?P
Пусть ? = (?1 , . . . , ?l ) — структура рискованной части портфеля. Величина ?k представля-
ет собой долю вложений в k -й актив в общих вложениях в рискованные активы. Другими
словами, если (?1 , . . . , ?l ) — оптимальный для инвестора портфель, то
?k
?k = , k = 0.
j=0 ?j

В знаменателе стоит j=0 ?j = 1 ? ?0 — доля рискованной части портфеля. Можно записать
это соотношение и в другом виде:
?k = ?k (1 ? ?0 ), k = 0.
Рассмотрим портфель, составленный только из рискованных активов, с долями ?k . Его до-
ходность обозначим через rM . Она связана с доходностью полного оптимального портфеля
?
как
rP = ?0 r0 + (1 ? ?0 )?M .
? r
Следовательно,
rP = ?0 r0 + (1 ? ?0 )?M ,
? r
?P = (1 ? ?0 )2 ?M ,
2 2

cP k = Cov(?P , rk ) = Cov((1 ? ?0 )?M , rk ) =
r? r?
= (1 ? ?0 ) Cov(?M , rk ) = (1 ? ?0 )cM k .
r?
Используя эти обозначения, условия первого порядка для актива, входящего в оптимальный
портфель, можно записать как
rk ? r0 = ?k (?M ? r0 ),
? r
где
Cov(?M , rk )
r? cM k
?k = = 2.
Var(?M )
r ?M
Это основная формула модели CAPM 16 . В соответствии с этим соотношением ожидаемую
доходность актива, вошедшего в портфель, можно разбить на две части:
1) доходность безрискового актива, r0 (это компенсация за отложенное потребление);
2) компенсация за подверженность риску, rk ? r0 (премия за риск).
?
Коэффициент ?k — это ковариация между доходностью k -го актива и доходностью риско-
ванной части оптимального портфеля, нормированная на дисперсию доходности рискованной
части оптимального портфеля. Такой нормированный показатель называется величиной бета
этого актива.
Для активов, не входящих в оптимальный портфель, выполнено
rk ? r0 ?k (?M ? r0 ).
? r
В частном случае, когда доходности рискованных активов некоррелированны?? между собой,
очевидно, что беты всех активов, не вошедших в оптимальный портфель, будут равны нулю.
Следовательно, для актива, не вошедшего в портфель, выполнено
rk ? r0 ?k (?M ? r0 ) = 0.
? r
16
См. напр., статью Уильяма Шарпа W. F. Sharpe: Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium
under Conditions of Risk, Journal of Finance 19 (1964): 425–442.
7.7. Приложение: модель Марковица и CAPM 282

С другой стороны, если актив вошел в портфель, то его бета должна быть положительна.
Следовательно, для такого актива

rk ? r0 = ?k (?M ? r0 ) > 0
? r

(где мы предполагаем, что rM > r0 ). Тем самым, мы доказали «теорему о диверсификации»,
?
сформулированную выше.
Интерпретируем теперь полученные результаты в контексте ситуации, когда всем инвесто-
рам на рынке доступны одни и те же активы.
1) Множество R допустимых комбинаций рискованных активов у всех будет одним и тем
же.
2) Поскольку оптимальный портфель у каждого инвестора лежит на луче с наибольшим
наклоном, выходящим из точки (0, r0 ) и проходящем через точку множества R, то у всех
инвесторов рискованная часть портфеля будет иметь одно и то же соотношение (?M ? r0 )/?M .
r
Рискованный портфель, характеризующийся этим оптимальным соотношением называется ры-
ночным портфелем (см. Рис. 7.21). Это точка «касания» эффективного луча и множества R.
Ясно, что всякая точка (?P , rP ), лежащая на эффективном луче удовлетворяет уравнению
?
?P
rP = r0 ? (?M ? r0 )
? r
?M
или
rP ? r0 rM ? r0
? ?
= ,
?P ?M
где (?M , rM ) — характеристики рыночного портфеля.
?

оптимальный
оптимальный
rP
? rP
?
портфель
портфель
R R

r0 r0
рыночный рыночный
портфель портфель

?P ?P
оптимальный
rP
?
портфель
R

r0
рыночный
портфель

?P


Рис. 7.21. Оптимальные портфели разных инвесторов


: Теорема о разделении (Separation Theorem):
Для всякого инвестора (независимо от ? ) рискованная часть оптимального портфеля яв-
ляется рыночным портфелем.
7.7. Приложение: модель Марковица и CAPM 283

Соответственно, процесс поиска оптимального портфеля можно разделить на два этапа:
сначала определяется оптимальный рискованный портфель (?M , rM ), а затем в зависимости
?
от склонности к риску выбирается его оптимальное сочетание с безрисковым активом. При
отождествлении оптимального рискованного портфеля с рыночным задачу первого «реша-
ет» рынок и инвестору достаточно выбрать соотношение между безрисковым активом и этим
портфелем. Тем самым, вместо того, чтобы рассматривать все активы, инвестору достаточно
выбрать соотношение между безрисковым активом и рыночным портфелем. (Выше мы уже
анализировали подобную задачу.)
Это утверждение называют также «теоремой о взаимных фондах» (“Mutual Fund Theo?
rem”). Название отражает тот факт, что в «мире Марковица» инвесторы могут доверить со-
ставление оптимального портфеля рискованных активов инвестиционным организациям («вза-
имным фондам»), а сами должны будут лишь комбинировать этот готовый портфель с безри-
сковым активом в соответствии со своими предпочтениями.
Как мы видели, точка касания (?M , rM ), вообще говоря, может быть не единственной. Кро-
?
ме того, в общем случае данной паре (?M , rM ) не всегда соответствует единственная структура
?
активов, поэтому рыночный портфель может быть не единственным.
Если мы имеем дело с невырожденным случаем (например, когда матрица корреляций
доходностей рискованных активов невырождена), то рыночный портфель (?1 , . . . , ?l ) един-
ственный и вектор (?1 , . . . , ?l ) для любого инвестора характеризует структуру рискованной
части портфеля. Таким образом, этот же вектор характеризует структуру продаж активов на
рынке в целом (отсюда и термин «рыночный портфель»).
2
Показатель бета отдельного актива, ?k = cM k /?M , представляет собой характеристику
актива, общую для всех инвесторов. Бета актива измеряет степень взаимосвязанности доход-
ности актива и доходности рыночного портфеля. Соотношения
rk ? r0 = ?k (?M ? r0 ).
? r
показывают, что премия за риск, rk ? r0 , пропорциональна коэффициенту ?k . Коэффициент
?
пропорциональности здесь — премия за риск для рыночного портфеля, rM ? r0 .
?
Бета актива, фактически, представляет собой наклон теоретической линии регрессии до-
ходности актива по доходности рыночного портфеля (отсюда и название). Действительно,
можем ввести обозначение ?k = rk ? r0 ? ?k (?M ? r0 ) для ошибки регрессии. Тогда уравнение
? ? r
регрессии будет иметь вид
rk = (1 ? ?k )r0 + ?k rM + ?k ,
? ? ?
где ошибка имеет нулевое математическое ожидание E ?k = rk ? r0 ? ?k (?M ? r0 ) = 0 и некор-
? ? r
релирована с регрессором:

r2
Cov(?k , rM ) = E(?k rM ) = E(?k rM ) ? r0 rM ? ?k (E(?M ) ? r0 rM ) =
?? ?? r? ? ??
r2 ?2 2
= E(?k rM ) ? rk rM ? ?k (E(?M ) ? rM ) = cM k ? ?k ?M = 0.
r? ??
(См. Рис. 7.22.)
Отметим несколько свойств приведенных равновесных соотношений и коэффициентов бета.
Ожидаемая доходность актива с нулевой бетой (т. е. актива, доходность которого некорре-
лированна с рыночной доходностью) равна безрисковой ставке, r0 . Поскольку такой актив не
изменяет риск рыночного портфеля, то он, по сути дела, является безрисковым (несмотря на
то, что дисперсия доходности может быть положительной).
Актив с бетой равной единице эквивалентен рыночному портфелю и обладает той же ожи-
даемой доходностью, что и рыночный портфель.
Определим бету произвольного портфеля следующим образом:
Cov(?P , rM )
r? cM P
?P = = 2.

<< Предыдущая

стр. 65
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>