<< Предыдущая

стр. 66
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Var(?M )
r ?M
7.7. Приложение: модель Марковица и CAPM 284

rk
?




?k

r0

rM
?
r0


Рис. 7.22. Интерпретация беты актива как наклона линии регрессии


При этом бета портфеля — это взвешенное среднее бет активов, составляющих портфель:
l l l
1 1 1
?P = 2 Cov(?P , rM ) = 2 Cov(
r? ?k rk , rM ) = 2
?? ?k cM k = ?k ?k .
?M ?M ?M
k=1 k=1 k=1

Заметим, что для любого портфеля, лежащего на эффективном луче ?P = (1 ? ?0 )?M и
2
cM P = Cov(?P , rM ) = (1 ? ?0 )?M .
r?

Следовательно, у такого портфеля бета равна
cM P ?P
?P = = .
2 ?M
?M

В частности, бета рыночного портфеля равна единице.
Для эффективного портфеля так же, как для активов, входящих в оптимальный портфель,
выполнено
?P
rP ? r0 = ?P (?M ? r0 ) = r0 + (?M ? r0 ).
? r r
?M
Это уравнение эффективного луча, которое мы вывели выше.

7.7.1 Задачи
 409. Предпочтения инвестора описываются функцией полезности типа Неймана — Морген-
штерна с квадратичной элементарной функцией полезности. Он обладает некоторым богат-
ством ? и может формировать портфель из активов со следующими характеристиками (ожи-
даемая доходность, среднеквадратическое отклонение доходности): (?0 , ?0 ) = (1, 0) (безрис-
r
ковый актив с возможностью кредита), (?1 , ?1 ) = (1,2, 0,3), (?2 , ?2 ) = (1,15, 0,2), (?1 , ?1 ) =
r r r
(1,3, 0,4). Рискованные активы жестко положительно коррелированы (с коэффициентом 1).
Что можно сказать о структуре рисковой части оптимального портфеля? Поясните словами и
графически.
 410. Предпочтения инвестора описываются функцией полезности типа Неймана — Морген-
штерна с квадратичной элементарной функцией полезности. Он обладает некоторым богат-
ством ? и может формировать портфель из активов со следующими характеристиками (ожи-
даемая доходность, среднеквадратическое отклонение доходности): (r0 , ?0 ) = (?; 0) (безриско-
вый актив с возможностью кредита), (?1 , ?1 ) = (1,1, 0,2), (?2 , ?2 ) = (1,2, 0,2). Рискованные
r r
активы некоррелированы. При какой величине r0 рисковая часть оптимального портфеля
v
может иметь характеристики (?R , ?R ) = (1,15, 0,2)? Поясните словами и графически.
r
7.7. Приложение: модель Марковица и CAPM 285

 411. Предпочтения инвестора описываются функцией полезности типа Неймана — Морген-
штерна с квадратичной элементарной функцией полезности. Он обладает некоторым богат-
ством ? и может формировать портфель из активов со следующими характеристиками (ожи-
даемая доходность, среднеквадратическое отклонение доходности): (r0 , ?0 ) = (1, 0) (безрис-
ковый актив с возможностью кредита), (?1 , ?1 ) = (0,9, 0,1), (?2 , ?2 ) = (1,1, 0,2). Рискованные
r r
активы жестко отрицательно коррелированы (с коэффициентом ?1). Что можно сказать о
структуре рисковой части оптимального портфеля? Поясните словами и графически.
 412. В модели Марковица инвестор со строгим неприятием риска выбирает какую долю
капитала оставить в безрисковой форме с доходностью r0 а сколько вложить в рискованные
активы (акции) двух типов со средними доходностями r1 > r0 , r2 > r0 . Могут ли какие-либо
? ?
условия на коэффициент корреляции ? и (или) доходности гарантировать, что
(A) все три актива войдут в портфель;
(B) только первый из рискованных активов войдет в портфель;
(C) только два рискованных актива войдут в портфель?
 413. Пусть в модели Марковица инвестор, обладающий капиталом 1 млн. долл. делает
выбор между тремя активами: один безрисковый с доходностью r0 = 1,1, а другие два —
2 2
с доходностями r1 = 1,2 и r2 = 1,5 соответственно и дисперсиями доходностей ?1 = ?2 =
? ?
1. Известно, что инвестор выбрал портфель, характеризующейся доходностью rP = 1,27 и
2
дисперсией доходности ?P = 0,17. Доходность рискованной части его портфеля равна rR =
1,44.
(1) Найдите суммы, вложенные инвестором в каждый из активов.
(2) Найдите дисперсию доходности рискованной части портфеля этого инвестора.
(3) Найдите коэффициент корреляции доходностей двух рискованных активов.
 414. В модели Марковица инвестор сталкивается с двумя рискованными активами с ха-
2 2 2
рактеристиками ?1 = 4, r1 = 2, ?2 = 1, r2 = 11/2, где ?k — дисперсия доходности k -го
? ?
актива, а rk — ожидаемая доходность, и с одним безрисковым активом с доходностью r0 = 1.
?
Известно, что инвестор выбрал такой портфель, что его рискованная часть имеет характе-
2
ристики ?R = 8/3, rR = 12/3, а сам оптимальный портфель имеет ожидаемую доходность
?
rP = 12/3. Найдите дисперсию доходности оптимального портфеля. Найдите доли активов в
?
оптимальном портфеле. Найдите величину корреляции между доходностями двух рискован-
ных активов.
 415. В модели Марковица — Тобина полезность инвестора насыщается при доходности рав-
ной 1,6. Имеются два вида активов: акции с параметрами риск-доходность (?1 , r1 ) = (2, 1,2)
?
и облигации с параметрами (?2 , r2 ) = (1, 1,4), причем они некоррелированы. Будет ли строго
?
возрастать или убывать доля облигаций в рисковой (рыночной) части портфеля инвестора по
мере роста доходности безрискового актива от r0 = 1 до r0 = 2?
(A) Нарисовать ее приблизительный график и объяснить ход рассуждений, можно с помо-
щью графиков.
(B) Вывести функциональную зависимость.
 416. В модели Марковица — Тобина полезность инвестора насыщается при доходности рав-
ной 1,7. Имеются два вида активов: акции с параметрами риск-доходность (?1 , r1 ) = (1, 0,8) и
?
облигации с параметрами (?2 , r2 ) = (1, 1,4), причем они отрицательно коррелированы с коэф-
?
фициентом ?1. Будет ли строго возрастать или убывать доля облигаций в портфеле инвестора
по мере роста доходности безрискового актива от r0 = 1 до r0 = 2?
(A) Нарисовать ее приблизительный график и объяснить ход рассуждений, можно с помо-
щью графиков.
(B) Вывести функциональную зависимость.
 417. В модели Марковица — Тобина полезность инвестора насыщается при доходности рав-
ной 1,8. Имеются два вида активов: акции с параметрами риск-доходность (?1 , r1 ) = (2, 1, 4)
?
7.8. Задачи к главе 286

и облигации с параметрами (?2 , r2 ) = (1, 1, 3), причем они положительно коррелированы с
?
коэффициентом 1. Будет ли строго возрастать или убывать доля акций в портфеле инвестора
по мере роста доходности безрискового актива от r0 = 1 до r0 = 2?
(A) Нарисовать ее приблизительный график и объяснить ход рассуждений, можно с помо-
щью графиков.
(B) Вывести функциональную зависимость.
 418. (Очень осторожный инвестор)?? Некий инвестор всегда предпочитает активы с мень-
шим риском (дисперсией) вне зависимости от ожидаемой доходности. Пусть он составляет
2
портфель из двух активов с ожидаемыми полезностями r1 и r2 и дисперсиями доходности ?1
? ?
2
и ?2 . В какой пропорции войдут в портфель эти активы, если они . . .
(1) жестко положительно коррелированы (коэффициент корреляции равен ?12 = 1),
(2) некоррелированы (?12 = 0),
(3) строго отрицательно коррелированы (?12 = ?1).
 419. На отрезке в ряд расзположены четыре предприятия:

v v v v
1 2 3 4

Время от времени происходит стихийное бедствие, которое сокращает прибыли на двух со-
седних предприятиях наполовину. Без учета этого прибыль на всех предприятиях одинакова.
Вероятность стихийного бедствия для каждой пары предприятий, (1, 2), (2, 3), (3, 4), одинако-
ва. В какой пропорции распределит свой капитал между акциями этих предприятий инвестор
с квадратичной элементарной функцией полезности?
 420. Покажите, что если инвестору доступны два рискованных актива (?1 , ?1 ), (?2 , ?2 ), до-
r r
ходности которых некоррелированны, и выполнено r1 < r2 , то оптимальный портфель обяза-
? ?
тельно содержит 2-й актив. Покажите, что условие некоррелированности активов существенно
для справедливости этого утверждения, приведя соответствующий контрпример.
 421. Покажите в явном виде, что если инвестору доступны два рискованных актива (?1 , ?1 ),
r
(?2 , ?2 ), доходности которых некоррелированны, и безрисковый актив, и выполнено r1 < r2 , то
r ? ?
оптимальный портфель содержит 1-й актив тогда и только тогда, когда r0 < r1 . Покажите, что
?
условие некоррелированности активов существенно для справедливости этого утверждения,
приведя соответствующий контрпример.



7.8 Задачи к главе

 422. Имеются два вида активов — облигации и акции. Их доходности, зависящие от предпо-
лагаемого состояния экономики, приведены в таблице ??: Кредит невозможен. Элементарная

Состояние Вероятность Доходность Доходность
экономики события облигаций акций
1/3 1,1 1,0
Спад
1/3 1,4 1,6
Норма
1/3 1,7 2,2
Подъем

функция полезности инвестора равна u(x) = 4x ? x2 .
(А) Найдите оптимальную структуру инвестиционного портфеля методом максимизации
функции полезности фон Неймана — Моргенштерна.
7.8. Задачи к главе 287

(Б) Найдите оптимальную структуру инвестиционного портфеля методом модели Марко-
вица — Тобина.
(В) Найдите оптимальную структуру инвестиционного портфеля методом модели Марко-
вица — Тобина, если дополнительно существует безрисковый актив с доходностью 1,3.
sssssssssssssssssssssssssssss
Глава

Рынки в условиях
8
неопределенности

В этом параграфе мы рассматриваем модели общего равновесия (обмена) с контингентны-
ми благами в предположении, что существует конечное множество таких благ, а, следователь-
но, и состояний мира. Участники обмена при этом имеют собственные (возможно неверные)
представления о вероятностях возможных состояний мира. Частным случаем этой ситуации
является рынок, где представления всех участников о вероятностях совпадают. Заметим, что
часто полученные результаты не зависят от того, являются ли эти представления верными
или ошибочными.


8.1 Модель Эрроу—Дебре экономики с риском
Как и прежде, будем предполагать, что имеется m потребителей (i ? I = {1, . . . , m})
и l товаров (k ? K = {1, . . . , l}). S = {1, . . . , s} — множество всех возможных состояний
?
мира. Условно можно представить, что рассматриваются два момента времени — «сегодня»
и «завтра». Предполагается, что сегодня заключаются сделки и уравновешиваются рынки, а
выполняться сделки будут завтра, когда выяснится, какое из состояний мира реализуется.
Напомним, что контингентным благом (k, s) является контракт, заключаемый сегодня и
гарантирующий поставку единицы товара k ? K завтра в том случае, если реализуется состо-
яние s ? S .
Цену такого контингентного блага обозначим pks , а его количество, приобретаемое потре-
бителем i — xiks . Таким образом, потребительский набор в данной модели характеризуется
вектором xi = {xiks }ks ? Rl? . Заметим, что контингентное благо покупается и оплачивается
s

сегодня, когда неизвестно, какое состояние мира реализуется.
Как и прежде, будем предполагать, что в каждом из состояний мира s ? S потребитель
i обладает начальными запасами ?is ? Rl . Таким образом, начальные запасы ? i = {?iks }ks
потребителя i состоят из наборов контингентных благ.
Будем рассматривать здесь только экономику без производства (экономику обмена). По-
требители обмениваются между собой только имеющимися у них контингентными благами и
заключают сделки в рамках бюджетного ограничения. Каждый из потребителей максимизи-
рует в рамках такого ограничения свою функцию полезности Ui (xi ).
Напомним, что задача потребителя имеет вид
Ui (xi ) > max
xi

pks xiks pks ?iks , ()
s?S k?K s?S k?K
xis ? Xi ?s ? S.
Соответствующую экономику назовем экономикой Эрроу — Дебре (экономикой с риском)1 .
Выполнение балансов в этой экономике требуется для каждого из состояний мира s ? S
1
См. напр. G. Debreu: Theory of Value: An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium, John Wiley & Sons,
1959 (Cowles Foundation Monograph No. 17), ch. 7, “Uncertainty”, а также статью К. Эрроу, упомянутую в
сноске 4.


288
8.2. Теоремы благосостояния для экономики Эрроу—Дебре 289

отдельно. Т. е. состояние экономики Эрроу — Дебре допустимо, если для каждого блага и
каждого состояния мира выполнен баланс:

?iks , ?k ? K, ?s ? S.
xiks =

<< Предыдущая

стр. 66
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>